Fiche méthode 5
Outils mathématiques
Primitives
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ADéfinition
Une fonction, notée F, est une primitive de f si la dérivée de F est égale à f, soit F' = f.
Cette définition implique que, pour une fonction f donnée, s'il existe une primitive, elle n'est pas unique. En effet, si F est une primitive de f, alors toutes les fonctions s'écrivant de la forme F + A, avec A une constante réelle, sont aussi des primitives de f.
En Physique-Chimie, la détermination d'une primitive s'accompagne également de la détermination de la constante d'intégration A dépendant des conditions initiales ou finales.
Cette définition implique que, pour une fonction f donnée, s'il existe une primitive, elle n'est pas unique. En effet, si F est une primitive de f, alors toutes les fonctions s'écrivant de la forme F + A, avec A une constante réelle, sont aussi des primitives de f.
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BPrimitives usuelles
| Fonction f | Primitive F | Condition d'intégration |
| 0 | A | — |
| k | k \cdot x + A | — |
| x | \dfrac{x^2}{2} + A | — |
| x^n | \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + A | Si n est un entier naturel non nul |
| \dfrac{1}{x} | \ln(x) + A | Si x est strictement positif |
| \exp (k \cdot x) | \dfrac{1}{k} \cdot \exp (k \cdot x) + A | — |
| \sin(x) | - \cos(x) + A | — |
| \cos(x) | \sin(x) + A | — |
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CLinéarité de l'intégration
Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison linéaire de fonctions simples u et v présentées ci-dessus, on utilise la règle suivante :
Pour un mouvement selon (Ox), la vitesse v correspond à une primitive de l'accélération a. La coordonnée x est quant à elle une primitive de la vitesse v.
| Combinaison linéaire de fonctions | Primitve |
| f = a \cdot u + b \cdot v | F = a \cdot U + b \cdot V + A |
Pour un mouvement selon (Ox), la vitesse v correspond à une primitive de l'accélération a. La coordonnée x est quant à elle une primitive de la vitesse v.
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