Équations

On souhaite résoudre l'équation $5x+23=-3x+7.$
On soustrait $23$ à chaque membre afin d'isoler le terme en $x$ à gauche : $5x=-3x-16.$
On ajoute $3x$ à chaque membre afin d'isoler le terme sans $x$ à droite : $8x=-16.$
On divise chaque membre par $8$ afin d'isoler $x$ à gauche : $x=-2.$
La solution de l'équation $5x+23=-3x+7$ est $-2.$

$\begin{array}{rl}7x-5& =4x+13\\ 7x-5-4x& =4x+13-4x\\ 3x-5& =13\\ 3x-5+5& =13+5\\ 3x& =18\\ 3x÷3& =18÷3\\ x& =6\end{array}$

En factorisant par $x$ on obtient $x(3x+2)=0.$
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul. Donc $x=0$ ou $3x+2=0,$ c'est-à-dire $x=\frac{-2}{3}.$
Les solutions de cette équation sont donc $0$ et $\frac{-2}{3}.$

Résoudre $x^2=a$ (avec $a⩾0$) revient à résoudre l'équation produit $(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0.$

Pour modéliser un problème par une équation afin de le résoudre, on doit suivre les étapes suivantes.

Juliette, Pierre et Sacha possèdent $225$ € à eux trois. Pierre a $15$ € de moins que Juliette et Sacha a le double de la somme détenue par Juliette. Déterminer la somme d'argent de chacun.

1. On désigne par $x$ la somme d'argent possédée par Pierre.

2. Puisqu'à eux trois ils possèdent $225$ € alors $x+(x+15)+2(x+15)=225.$

3.
$\begin{array}{rl}2x+15+2x+30& =225\\ 4x+45& =225\\ 4x& =180\\ x& =45\end{array}$

4. $45+(45+15)+2(45+15)=45+60+120=225$

5. Pierre possède $45$ €, Juliette $60$ € et Sacha $120$ €.

1. $144>0$ donc l'équation possède deux solutions qui sont $-\sqrt{144}=-12$ et $\sqrt{144}=12.$

2. $217>0$ donc l'équation possède deux solutions qui sont $-\sqrt{217}$ et $\sqrt{217}.$

3. $-14<0$ donc cette équation n'a aucune solution.