Notion de fonction

1. Le processus qui, à un nombre donné au départ, associe un unique autre nombre, s'appelle une fonction, souvent notée $f$.

2. Le nombre de départ est noté $x$ et s'appelle un antécédent.

3. Le nombre associé à cet antécédent est noté $f(x)$, se lit « $f$ de $x$ » et s'appelle l'image de $x$ par la fonction $f$.

Il ne faut pas confondre $f$ et $f(x)$. $f$ désigne une fonction alors que $f(x)$ désigne un nombre (l'image du nombre $x$ par la fonction $f$).

On peut noter les fonctions de deux manières différentes :

• à l'aide de la notation $\text{f: x}\mapsto \text{…}$ , qui se lit « fonction $f$ qui à $x$ associe ... » ;
• à l'aide de l'expression algébrique de l'image $\text{f(x) = …}$ , qui se lit « $f$ de $x$ est égal à … ».

Si l'on considère la machine $c$ : « Élever au carré le nombre introduit », on peut écrire :

• $c:x\mapsto x^2$ ;
• $c(x)=x^2$.

1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^2+5x$. Calculer l'image de $4$ par la fonction $f$.

2. Soit $g$ la fonction définie par $g:x\mapsto -2x^2$. Calculer l'image de $-5$ par la fonction $g$.

1. On remplace tous les $x$ dans l'expression de $f(x)$ par le nombre pour lequel on demande de calculer l'image, ici $4$.
On calcule et on conclut.

2. On écrit l'expression algébrique de l'image $g(x)$. On remplace tous les $x$ par le nombre pour lequel on demande de calculer l'image, ici $-5$.
On calcule et on conclut.

1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=2x-9$. Déterminer les antécédents de $7$ par la fonction $f$.

2. Soit $g$ la fonction définie par $g:x\mapsto -3x$. Déterminer les antécédents de $12$ par la fonction $g$.

1. On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'image de $x$ par la fonction $f$ est égale à $7$. On a donc $f(x)=7$.
On résout l'équation obtenue. On conclut.

2. On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles l'image de $x$ par la fonction $g$ est égale à $12$. On a donc $g(x)=12$.
On résout l'équation obtenue. On conclut.

1. Toute fonction $f$ peut être représentée dans un repère à l'aide d'une courbe représentative.
On la note généralement $C_f$.

2. La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées $(x;f(x))$. Autrement dit, l'antécédent $x$ se lit sur l'axe des abscisses et l'image $f(x)$ se lit sur l'axe des ordonnées.

Dans certains cas, les valeurs lues sont exactes (points indiqués par une croix ou points dont les coordonnées se lisent sur le quadrillage du graphique), mais le plus souvent, il s'agit de valeurs approchées.

Un tableau de valeurs d'une fonction $f$ regroupe les coordonnées d'un certain nombre de points de la courbe représentative de $f.$

On donne ci‑dessous un tableau de valeurs d'une fonction $g$.


L'image de $0$ par la fonction $g$ est $3$.
Les antécédents de $2$ par la fonction $g$ présents dans le tableau sont $-1$ et $6.$

1. Sur l'axe des abscisses, on se place sur le nombre dont on souhaite déterminer l'image par $h$, ici $3$.
On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par ce point (tracé rouge).
On lit l'ordonnée du point de la courbe ayant pour abscisse $3$ (tracé vert).
On conclut : ce nombre est l'image de $3$ par $h$

2. Sur l'axe des ordonnées, on se place sur le nombre dont on souhaite déterminer les antécédents par $h$, ici $2$.
On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point (tracé bleu).
On lit les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée $2$ (tracés orange).
On conclut : ces nombres sont les antécédents de $2$ par $h$.