Mathématiques 3e - 2021

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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Chapitre 5
Cours et méthodes

Notion de fonction

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1
Introduction aux fonctions

A
Vocabulaire

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Définitions

1. Le processus qui, à un nombre donné au départ, associe un unique autre nombre, s'appelle une fonction, souvent notée f.

2. Le nombre de départ est noté x et s'appelle un antécédent.

3. Le nombre associé à cet antécédent est noté f(x), se lit « f de x » et s'appelle l'image de x par la fonction f.
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Remarque

Il ne faut pas confondre f et f(x). f désigne une fonction alors que f(x) désigne un nombre (l'image du nombre x par la fonction f).
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Exemple

Illustration d'une fonction qui transforme un antécédent en image
Le zoom est accessible dans la version Premium.
On considère la machine « Élever au carré le nombre introduit » :
  • si l'on introduit 2 dans la machine, il sortira le nombre 4 puisque 2^2 = 4. On dit alors que 2 a pour image 4 ;
  • si l'on a obtenu 49, on a pu introduire 7 ou -7. En effet, 7^2 = 49 et (-7)^2 = 49. On dit alors que 49 a deux antécédents : 7 et -7.
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B
Expression algébrique d'une fonction

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Définitions

On peut noter les fonctions de deux manières différentes :
  • à l'aide de la notation \textbf{\textit{f: x}} \mapsto \textbf{\ldots} , qui se lit « fonction f qui à x associe ... » ;
  • à l'aide de l'expression algébrique de l'image \textbf{\textit{f(x) = \ldots}} , qui se lit « f de x est égal à … ».
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Exemple

Si l'on considère la machine c : « Élever au carré le nombre introduit », on peut écrire :
  • c: x \mapsto x^{2} ;
  • c(x)=x^{2}.
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Méthodes

Calculer l'image d'un nombre par une fonction

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Énoncé
1. Soit f la fonction définie par f(x) = x^2 + 5x. Calculer l'image de 4 par la fonction f.

2. Soit g la fonction définie par g\:: x \mapsto -2x^2. Calculer l'image de -5 par la fonction g.
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Méthode

1. On remplace tous les x dans l'expression de f(x) par le nombre pour lequel on demande de calculer l'image, ici 4.
On calcule et on conclut.

2. On écrit l'expression algébrique de l'image g(x). On remplace tous les x par le nombre pour lequel on demande de calculer l'image, ici -5.
On calcule et on conclut.
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Solution
1. f(\textcolor{#a3c946}{4}) = \textcolor{#a3c946}{4}^2 + 5 \times \textcolor{#a3c946}{4}
f(\textcolor{#a3c946}{4}) = 36
L'image de 4 par la fonction f est 36.

2. g(x) = -2x^2
g(\textcolor{#a3c946}{-5}) = -2 \times (\textcolor{#a3c946}{-5})^2
g(\textcolor{#a3c946}{-5}) = -2 \times 25
g(\textcolor{#a3c946}{-5}) = -50
L'image de -5 par la fonction g est -50.

Pour s'entraîner
Exercices p. 98 et p. 100
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Déterminer un antécédent d'un nombre par une fonction

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Énoncé
1. Soit f la fonction définie par {f(x) = 2x - 9}. Déterminer les antécédents de 7 par la fonction f.

2. Soit g la fonction définie par {g\:: x \mapsto -3x}. Déterminer les antécédents de 12 par la fonction g.
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Méthode

1. On cherche les valeurs de x pour lesquelles l'image de x par la fonction f est égale à 7. On a donc f(x) = 7.
On résout l'équation obtenue. On conclut.

2. On cherche les valeurs de x pour lesquelles l'image de x par la fonction g est égale à 12. On a donc g(x) = 12.
On résout l'équation obtenue. On conclut.
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Solution
1. On a f(x) = 7 soit 2x - 9 = 7.
On résout cette équation.
\begin{aligned} 2 x-9\textcolor{#cd422b}{+9} &=7\textcolor{#cd422b}{+9} \\ 2 x &=16 \\ \frac{2 x}{\textcolor{#cd422b}{2}} &=\frac{16}{\textcolor{#cd422b}{2}} \\ x &=8 \end{aligned}
L'antécédent de 7 par la fonction f est 8.

2. On a g(x) = -3x soit -3x = 12.
On résout cette équation.
\begin{aligned} \frac{-3 x}{\textcolor{#cd422b}{-3}}&=\frac{12}{\textcolor{#cd422b}{-3}} \\ x&=-4 \end{aligned}
L'antécédent de 12 par la fonction g est -4.

Pour s'entraîner
Exercices p. 98 et p. 100
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2
Représentation graphique d'une fonction

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Définitions

1. Toute fonction f peut être représentée dans un repère à l'aide d'une courbe représentative.
On la note généralement C_f.

2. La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). Autrement dit, l'antécédent x se lit sur l'axe des abscisses et l'image f(x) se lit sur l'axe des ordonnées.
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Remarques

Dans certains cas, les valeurs lues sont exactes (points indiqués par une croix ou points dont les coordonnées se lisent sur le quadrillage du graphique), mais le plus souvent, il s'agit de valeurs approchées.
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Exemple

On donne la représentation graphique suivante d'une fonction f.
Par lecture graphique, l'image de 1 par la fonction f est 2. Le point \text{A} a pour coordonnées (1~; 2).
Par lecture graphique, un antécédent de 4 par la fonction f est environ 1{,}7. C'est une valeur approchée.
4 a un deuxième antécédent qui est environ -1{,}7.

Représentation graphique d'une fonction f
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3
Tableau de valeurs d'une fonction

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Définition

Un tableau de valeurs d'une fonction f regroupe les coordonnées d'un certain nombre de points de la courbe représentative de f.
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Exemple

On donne ci‑dessous un tableau de valeurs d'une fonction g.

Antécédent \boldsymbol{x}-102468
Image \boldsymbol{g(x)}235420

L'image de 0 par la fonction g est 3.
Les antécédents de 2 par la fonction g présents dans le tableau sont -1 et 6.
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Méthode

Déterminer l'image et les antécédents d'un nombre par lecture graphique

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Énoncé
On donne la représentation graphique suivante d'une fonction h.

Déterminer :
1. l'image de 3 par h ;
2. les antécédents de 2 par h.

Représentation graphique d'une fonction h
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Méthode

1. Sur l'axe des abscisses, on se place sur le nombre dont on souhaite déterminer l'image par h, ici 3.
On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par ce point (tracé rouge).
On lit l'ordonnée du point de la courbe ayant pour abscisse 3 (tracé vert).
On conclut : ce nombre est l'image de 3 par h

2. Sur l'axe des ordonnées, on se place sur le nombre dont on souhaite déterminer les antécédents par h, ici 2.
On trace la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par ce point (tracé bleu).
On lit les abscisses des points de la courbe ayant pour ordonnée 2 (tracés orange).
On conclut : ces nombres sont les antécédents de 2 par h.
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Solution
1. Par lecture graphique, l'image de 3 par la fonction h est 5.
2. Par lecture graphique, les antécédents de 2 par la fonction h sont environ :
-0{,}9 ; 1{,}3 et 2{,}5.

Lecture graphique d'une fonction h
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Pour s'entraîner
Exercices et p. 99.

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