Le théorème de Thalès peut servir à déterminer des longueurs qui ne peuvent pas être mesurées directement, comme le diamètre de certains astres ou leur distance depuis la Terre. Pour estimer des distances très grandes comme sur cette image des Piliers de la création (de gigantesques nuages de poussières interstellaires) situés à environ 7 000 années-lumière, il faut utiliser d'autres méthodes plus complexes.

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Objectifs du chapitre

Savoir calculer des longueurs en utilisant le théorème de Thalès dans le cas de deux triangles emboîtés, notamment en utilisant le calcul d'une quatrième proportionnelle.

Montrer à l'aide du théorème de Thalès que deux droites ne sont pas parallèles.

Montrer à l'aide de la réciproque du théorème de Thalès que deux droites sont parallèles.

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Ressource complémentaire

Retrouvez un tableau récapitulatif des compétences utilisées dans les exercices de ce chapitre.

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Rappels

1. Si deux angles alternes-internes formés par deux droites d et d' et une sécante sont égaux, alors les deux droites d et d' sont parallèles.

Exemple

Si \widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{ACD}} alors d et d' sont parallèles.

2. Si deux angles correspondants formés par deux droites d et d' et une sécante sont égaux, alors les deux droites d et d' sont parallèles.

Exemple

Si \widehat{\mathrm{BAE}}=\widehat{\mathrm{CDA}} alors d et d' sont parallèles.

3. Cas particulier des angles droits : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

4. Égalité des produits en croix : Pour tous nombres a, b, c et d avec b \neq 0 et d \neq 0 :

\frac{a}{b}=\frac{c}{d} revient à écrire a \times d=c \times b.

Exemple

Si {\frac{x}{4}=\frac{3}{11}} alors {x \times 11=3 \times 4} donc {x=\frac{3\times 4}{11}=\frac{12}{11}} ou bien {x=3 \times 4 \div 11}.

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1

Dans chacun de ces cas, expliquer pourquoi les droites rouges sont parallèles.

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2

Dans chacun de ces cas, expliquer pourquoi les droites rouges ne sont pas parallèles.

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3

En utilisant uniquement une règle et un rapporteur, tracer deux droites parallèles.

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4

Dans chaque cas, déterminer si les deux quotients sont égaux.

1. \frac{5}{10} et \frac{17}{34}.

2. \frac{4}{7} et \frac{7}{4}.

3. \frac{11{,}5}{2,4} et \frac{23}{4,8}.

4. \frac{4}{6} et \frac{6}{9}.

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5

Dans chaque cas, déterminer la valeur de x.

1. \frac{x}{2}=\frac{21}{14}

2. \frac{8}{x}=\frac{2}{3}

3. \frac{5}{12}=\frac{x}{3}

4. \frac{13,5}{5}=\frac{5,4}{x}

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6

Dans chaque cas, écrire deux quotients égaux à partir de l'égalité donnée.

1. 3 x=11 \times 4

2. 5 \times 13=x \times 7

3. 4 x=45

4. 6 x=56

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