Une montgolfière est constituée d'une nacelle avec des passagers, d'un ballon ouvert par le bas (appelé enveloppe) et d'un brûleur permettant de chauffer l'air dans l'enveloppe. Avant le vol, la montgolfière est attachée au sol par des cordes.

1. En supposant que l'air est un gaz parfait, déterminer l'expression littérale de la masse volumique de l'air \rho en fonction, notamment, de sa température et de sa masse molaire.

2. On porte l'air de l'enveloppe jusqu'à une température \theta_{env} = 50 °C. Déterminer la valeur du poids P et de la poussée d'Archimède \Pi.
3. Préciser ce qui se produit lorsque l'on coupe les cordes.

• Masse de l'ensemble {nacelle + brûleur + enveloppe + passagers} : m_{\text{tot}} = 450 kg
• Volume de l'enveloppe : V = 4 000 m³
• Température de l'air ambiant : \theta_0 = 15 °C
• Pression atmosphérique : p_0 = 1{,}013 bar
• Masse molaire de l'air  : M = 29{,}0 g⋅mol^-1
• Intensité de pesanteur : g = 9{,}81 N⋅kg^-1
• Constante des gaz parfaits : R = 8{,}314 J⋅K^-1⋅mol^-1

1. Par définition, \rho = \dfrac{m}{V} et m est reliée à la quantité de matière par la relation m = n\cdot M, avec M la masse molaire du gaz considéré. On a \rho = \dfrac{n ⋅ M} {V}

L'air étant considéré comme un gaz parfait, on a la relation :
p \cdot V = n \cdot R \cdot T
\dfrac{n}{V} = \dfrac{p}{R⋅T}

\rho = \dfrac{M⋅p}{R⋅T}

2. La valeur de la poussée d'Archimède P ne dépend que du volume de l'enveloppe :
\Pi = \rho_0 ⋅ V ⋅ g
\Pi = \dfrac{M \cdot p_0}{R \cdot T_0} \cdot V \cdot g

AN : \Pi = \dfrac{29{,}0 \times 10^{-3} \times 1,013 \times 10^5 \times 4\ 000 \times 9{,}81}{8{,}31 \times (273{,}15 + 15)} = 48{,}1 kN
Le poids P dépend de la température de l'air dans l'enveloppe :
P=(\rho_{\text{env}} \cdot V + m_{\text{tot}}) \cdot g
P \left( \dfrac{M \cdot p_0}{R⋅T_{\text{env}}} \cdot V + m_{\text{tot}} \right) \cdot g

AN : P = \left(\dfrac{29{,}0 \times 10^{-3} \times 1{,}013 \times 105 \times 4\ 000 }{8{,}314 \times (273{,}15 + 50)}+ 450\right) \times 9{,}81
P = 4{,}73 \times 10^4 N

3. D'après la 2^e loi de Newton, la résultante de ces forces est verticale, dirigée vers le haut. La montgolfière étant immobile initialement, elle décolle quand les cordes sont coupées.

1. Rappeler la définition de la masse volumique et la relation liant masse, quantité de matière et masse molaire.
Rappeler la loi des gaz parfaits.
Substituer le rapport \dfrac{n}{V} pour faire apparaître la température et la masse molaire.

2. Rappeler l'expression de la poussée d'Archimède et remplacer la masse volumique par la relation établie à la question 1.
Rappeler l'expression du poids en remplaçant de la même manière la masse volumique de l'air dans l'enveloppe.
Effectuer les applications numériques en respectant le bon nombre de chiffres significatifs.

3. Comparer les valeurs de la poussée d'Archimède et du poids.
Conclure en justifiant à l'aide de la deuxième loi de Newton.

Mise en application

Découvrez l'

exercice 33

, Validité du gaz parfait pour travailler cette notion.

Retrouvez un épisode de C'est pas sorcier consacré aux ballons en

cliquant ici

.