Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 7
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Puissances

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Activité 1
Les appareils photo numériques, comment ça fonctionne ?

J'approfondis
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Compétence
Je structure mon raisonnement

Mattéo, photographe amateur, souhaiterait comprendre comment sont stockées ses photos en noir et blanc sur son disque dur. Yasmine, férue de mathématiques, lui explique alors le système binaire.
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Partie 1
Des 0 et des 1

« - Une image numérique est un tableau de valeurs, appelé “plan de bits”, le bit étant la plus petite unité dʼinformation compréhensible par une machine numérique. Lʼappareil photo, tout comme lʼordinateur, fonctionne avec un codage binaire, cʼest-à-dire sous deux états : “0” ou “1” explique Yasmine.
- OK, dit Mattéo, avec ces deux nombres 0 et 1, on montre donc deux états. Mais si je veux en montrer 4 ?
- Facile, répond Yasmine : tu ajoutes un “0” ou un “1” ! »

1
À votre tour, proposez une solution pour coder encore plus dʼétats avec les 0 et 1.

2
Combien dʼétats codez-vous ?

3
Complétez le tableau suivant à lʼaide du système binaire.

Valeur binaire sur 4 bits Valeur décimale
0000 0
0001 1
0010 2
0100
1000

Illustrations d'ampoules éteintes ou allumées
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Partie 2
Et les photos dans tout ça ?

« Dʼaccord, jʼai compris ton système binaire, mais quel est le rapport avec mes photos ?
– Attends, on continue, dit Yasmine. Si on utilise 1 seul bit, on a dit quʼon pouvait représenter 2 états ou encore deux couleurs : noir ou blanc. Si on utilise 2 bits, on pourra commencer à voir…
2 \times 2 = 4 nuances ! sʼécrie Mattéo.
– Donc, plus on multiplie le nombre de bits, plus on affine le réglage couleurs ! »

1
Combien de nuances de gris obtient-on lorsquʼon utilise 3 bits ? 4 bits ? 8 bits (cʼest-à-dire un octet) ?
Une image représentée sous cette forme est dite « en nuance de gris ».

2
Quel code en système binaire obtiendrait-on pour la couleur 9 ? La couleur 31 ? La couleur 255 ?
Placeholder pour Photographie d'un hibiscus en noir et blancPhotographie d'un hibiscus en noir et blanc
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Activité 2
Le cas des puissances de 10

J'approfondis
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Compétence
J'utilise l'écriture d'un nombre la plus appropriée pour calculer
Mattéo est encore en pleine réflexion sur le stockage de ses photos sur son ordinateur. Yasmine continue donc ses explications.
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Partie 1
Le coup du processeur

« - Je me souviens bien de ton système binaire, mais les nombres codés sont très très long ! Comment mon ordinateur fait-il pour traiter cette quantité phénoménale d'informations ?
- Facile, dit Yasmine : actuellement ton processeur a une cadence de 3 GHz.
- Qu'est-ce que cela veut dire ? l'interroge Mattéo.
- C'est la quantité d'informations que peut traiter ton ordinateur en 1 seconde, lui explique sa cousine. »

En vous aidant du tableau suivant, pouvez-vous expliquer à Mattéo combien dʼinformations à la seconde est capable de traiter son ordinateur ?

Placeholder pour photographie d'un bout d'une carte mèrephotographie d'un bout d'une carte mère
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Multiples
CoefficientNomSymbole
1hertzHz
10décahertzdaHz
10^2hectohertzhHz
10^3kilohertzkHz
10^6mégahertzMHz
10^9gigahertzGHz
10^{12}térahertzTHz
10^{15}petahertzPHz
10^{18}exahertzEHz
10^{21}zettahertzZHz
10^{24}yottahertzYHz
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Partie 2
Pour ne pas perdre de zéros

Yasmine montre alors à Mattéo tout un tas dʼopérations sur sa calculatrice. Et voilà que sa calculatrice lui joue un tour...

Placeholder pour Ciel étoiléCiel étoilé
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1
Entrez lʼopération 999 999 999 999 + 1 sur votre calculatrice. Quel résultat obtenez-vous ?

2
Pouvez-vous donner une explication et une signification à ce résultat ?
Ceci signifie 1 suivi de 12 zéros. C'est ce que l'on appelle une écriture scientifique.

3
Effectuez lʼopération 14^{27} sur votre calculatrice. Quel résultat sʼaffiche alors ?

4
À lʼaide de ces deux exemples, donnez une définition de lʼécriture scientifique dʼun nombre.

5
Yasmine explique alors : « Cette notation scientifique adaptée aux ordinateurs et aux calculatrices est très pratique pour comparer des nombres très grands ou très petits, sans perdre de zéros en cours de route. » Seriez-vous capable de donner des exemples dʼutilisation de ce type dʼécriture ?
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