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Thème 1 : Nombres et calculs
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
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Dossier d'actualité
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Chapitre 7
J'apprends

Puissances

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A
Notion de puissance

J'approfondis
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1
Puissance à exposant positif

Définition
Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois.
Au lieu dʼécrire 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2, on peut écrire 2^6 et on lit « 2 puissance 6 ».
2 puissance 6 où on apelle 2 la base et 6 l'exposant. La base indique quel nombre il faut multiplier répétitivement par lui-même. Et l'exposant indique le nombre de fois que l'on multiplie la base répétitivement par elle-même.
Exercices n° 
1 à 19
 p. 153 - 155.

Remarque : La base dʼune puissance peut également être un nombre négatif. On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe « - » fait partie de la base : (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9, alors que -3^2 = -(3 \times 3) = -9.

Aide
Quelle que soit la valeur de a, a^0 = 1.
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2
Puissance à exposant négatif

Définition
Pour tout nombre a non nul et tout entier positif {\color{#c51e50}n}, une puissance de a à lʼexposant négatif {\color{#c51e50}-n} sʼécrit :

a{\color{#c51e50}^{-n}} = \dfrac {1}{a{\color{#c51e50}^n}} = \underbrace{\dfrac{1}{a\times a \times ... \times a}}_{a\: \text{écrit {\color{#c51e50}n} fois}}

Exercices n° 
7 à 19
 p. 153 - 155.

  Exemple :
\dfrac {1}{5^4} = 5^{-4} et 7^3 = \dfrac{1}{7^{-3}}

Remarque : a^{-n} est l'inverse de a^n
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3
Signe d'une puissance

Propriété
Si a est un nombre non nul et n un entier non nul :
  • si a > 0, alors a^n > 0 ;
  • si a \lt 0 :
    • si n est pair, alors a^n > 0 ;
    • si n est impair, alors a^n \lt 0.
Exercices n° 
1 à 19
 p. 153 - 155.

Exemples :
2^4 > 0

(-2)^3 = -8 \lt 0

3^{-3} = \dfrac{1}{27} > 0

(-2)^2 = 4 > 0

(-2)^{-3} = - \dfrac{1}{8} \lt 0
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B
Calculs avec les puissances

J'approfondis
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Propriétés
Si {\color{#006141}m} et {\color{#c51e50}n} sont des entiers et a un nombre non nul

a{\color{#006141}^m} \times a{\color{#c51e50}^n} = a^{{\color{#006141}m} + {\color{#c51e50}n}}

\dfrac{a^{\color{#006141}m}}{b^{\color{#c51e50}n}} = \left(\dfrac{a}{b} \right)^{{\color{#006141}m} - {\color{#c51e50}n}}

Exercices n° 
20 à 30
 p. 155.
Attention
Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

Remarque : Si p est un entier positif, on généralise la règle précédente : 
(a^{n})^{\color{green}{p}}= \color{green}\underbrace{\color{black}a^{n} \times a^{n} \times \ldots \times a^{n}=a^{n \times \color{green}p}}_{a\: \text{écrit p fois}}

Propriétés
Si n est un entier et a et b des nombres non nuls
a^{\color{#c51e50}n} \times b^{\color{#c51e50}n} = (a \times b)^{\color{#c51e50}n}

\dfrac {a^{\color{#c51e50}n}}{b^{\color{#c51e50}n}} = \left(\dfrac {a}{b}\right) ^{\color{#c51e50}n}

Exercices n° 
20 à 30
 p. 155.

Exemple :
\begin{aligned} \frac{8^{4}}{7^{4}} & =\frac{8 \times 8 \times 8 \times 8}{7 \times 7 \times 7 \times 7} \\ & =\frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \\ & =\left(\frac{8}{7}\right)^{4} \end{aligned}
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C
L'écriture scientifique

J'approfondis
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1
Multiplication par une puissance 10

Rappel
Pour un entier n positif : 
  • 10^{\color{#c51e50}n} s'écrit avec un 1 suivi de {\color{#c51e50}n} zéros.
  • 10^{\color{#006141}-n} s'écrit avec un 1 précédé de {\color{#006141}n} zéros.
Exercices n° 
31 à 45
 p. 156 - 157.

Exemples :
10 puissance 6 = 1 000 000, soit 6 zéros
10 puissance -5 = 0,00 001, soit 5 zéros et 10 puissance 0 = 1
Définition
Si n est un entier positif : 
  • Multiplier un nombre en écriture décimale par 10^{\color{#c51e50}n} revient à décaler la virgule de {\color{#c51e50}n} crans vers la droite.
  • Multiplier un nombre en écriture décimale par 10^{{\color{#006141}-n}} revient à décaler la virgule de {\color{#006141}n} crans vers la gauche.  

Exercices n° 
32 à 45
 p. 156 - 157.
  

J'applique

Consigne :
Calculez :
a. 51\text{,}328 \times 10^2
b. 41\text{,}39 \times 10^4
c. 942\text{,}3 \times 10^{-1}
d. 8\text{,}312 \times 10^{-3}

Correction :
a. 51\text{,}328 \times 10^2 = 5\:132\text{,}8
b. 41\text{,}39 \times 10^4 = 413\:900
c. 942\text{,}3 \times 10^{-1} = 94\text{,}23
d. 8\text{,}312 \times 10^{-3} = 0\text{,}008312
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2
Écriture scientifique

Définition
Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c'est l'écrire sous la forme suivante : 
c47inf73
Exercices n° 
31 à 45
 p. 156 - 157.
Aide
La notation scientifique est très pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.

Exemples :
En écriture scientique : 
  • 453\text{,}2 = 4\text{,}532 \times 10^2
  • -0\text{,}26 = - 2\text{,}6 \times 10^{-1}
  • 893\:500\:000\:000 = 8\text{,}935 \times 10^{11}
  • 0\text{,}000\:000\:004\:603 = 4\text{,}603 \times 10{^-9}
  • 1 = 1 \times 10^0
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3
Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique

Méthode
On lit l'ordre de grandeur d'un nombre positif en écriture scientique dans l'exposant.
Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d'abord les exposants, puis les parties décimales.

Exercices n° 
41 à 45
 p. 156 - 157.

J'applique

Consigne :
Comparez 9\text{,}1 \times 10^4 et 8\text{,}9 \times 10^{-3}.

Correction :
10^4 \leq 9\text{,}1 \times 10^4 \lt 10^5
10^{-3} \leq 8\text{,}9 \times 10^{-3} \lt 10^{-2}
Or 10^{-2} \lt 10^4
Donc 8\text{,}9 \times 10^{-3} \lt 9\text{,}1 \times 10^4
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