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A. Symétries

1. Symétrie axiale

  Rappel
Le point A' est l’image de A par la symétrie d’axe dd si dd est la médiatrice de [AA'].

 

2. Symétrie centrale

Définition
Le point A' est l’image de A par la symétrie de centre O si O est le milieu de [AA'].
Une figure FF' est symétrique d’une figure FF par rapport à un point O lorsqu’elle est obtenue en faisant tourner d’un demi-tour la figure FF autour du point O.

Exemple : 
L’image FF' d’une figure FF par la symétrie de centre O s’obtient en construisant les symétriques par rapport à O de tous les points de FF.

  Propriétés
  • Le symétrique d’une droite est une droite. 
  • Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur. 
  • Les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. 
  • Le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
Une figure admet un centre de symétrie si une symétrie centrale à partir de ce point ne fait pas changer la figure.

Remarque : On parle de propriété de conservation.

B. Translations

  Définition
Une translation est une transformation qui glisse les figures le long d’une droite, dans un sens, d’une certaine distance.
Si une translation est le long d’une droite (AB), dans le sens de A vers B, de distance AB, on l’appellera translation qui envoie A vers B.

  J'applique
Consigne : 
Tracez un carré ABCD, puis placez un point A' à l'extérieur de ce carré. Tracez l'image du carré ABCD par la translation qui envoie A vers A'.
Correction : Avec (AA'), (BB'), (CC') et (DD') parallèles entre elles et AA' = BB' = CC' = DD'.

Remarque : Si ABNM est un parallélogramme, le point N est l’image de M par la translation qui envoie A sur B.

  Propriétés
  • L’image d’une droite par une translation est une droite. 
  • L’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur. 
  • Les images de deux droites parallèles par une translation sont deux droites parallèles. 
  • L’image d’un angle par une translation est un angle de même mesure.

C. Rotations

  Définitions

Faire subir à une figure FF une rotation de centre O, d’angle xx, dans le sens direct, revient à la faire tourner autour de O dans le sens inverse des aiguilles dʼune montre de xx degrés.
 
Faire subir à une figure FF une rotation de centre O, d’angle xx, dans le sens indirect, revient à la faire tourner autour de O dans le sens des aiguilles dʼune montre de xx degrés.

  J'applique
Consigne : 
Tracez l'image de la figure par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens indirect.
Correction : On trace l'image de chaque point puis on les relie.

  Propriétés
  • L’image d’une droite par une rotation est une droite. 
  • L’image d’un segment par une rotation est un segment de même longueur. 
  • Les images de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles. 
  • L’image d’un angle par une rotation est un angle de même mesure.

D. Homothéties

1. Rapport positif

  Définitions
Le point A' est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k>0k > 0 si A' appartient à la demi-droite [OA) et si OA' =k×= k \times OA.
Une homothétie de rapport k>1k > 1 est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport 0<k<10 < k < 1 est appelée réduction.

Remarque : Dans une homothétie de rapport kk, OA' est proportionnel à OA, avec kk pour coefficient de proportionnalité.

  J'applique
Consigne : Construisez l'image de la figure par l'homothétie de rapport 3 et de centre O.
Correction : 

 

2. Rapport négatif

  Définitions
Le point A' est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k<0k < 0 si O appartient au segment [AA'] et si OA' =k×=-k\timesOA.
Une homothétie de rapport k<1k<-1 est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport 1<k<O-1<k<O est appelée réduction.

  J'applique
Consigne :
Construisez l'image de la figure par l'homothétie de rapport 2-2 et de centre O.


Correction : 
Remarque : L’image par la symétrie de centre O est aussi l’image par l’homothétie de centre O et de rapport 1-1.

 

3. Effets d'une homothétie

  Propriétés
  • L’image d’une droite par une homothétie est une droite. 
  • Les images de deux droites parallèles par une homothétie sont deux droites parallèles. 
  • L’image d’un angle par une homothétie est un angle de même mesure. 
Une homothétie de rapport k>0k > 0 multiplie par :
    • kk la longueur d’un segment ; 
    • k2k^2 l’aire d’une surface ; 
    • k3k^3 le volume d’un solide.

  J'applique
Consigne : 
ABC est un triangle rectangle avec AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 3 cm. O est un autre point. A'B'C' est l'image de ABC par l'homothétie de centre O et de rapport 3-3.
Quel est le périmètre de A'B'C' ?
Correction :  Une homothétie multiplie les disctances par son rapport ? Alors : 
A’B’=3×AB=12\text{A'B'}= 3 \times \text{AB} = 12
B’C’=3×BC=15\text{B'C'} = 3 \times \text{BC} = 15
A’C’=3×AC=9\text{A'C'}= 3 \times \text{AC} = 9
A’B’+B’C’+A’C’=12+15+9=36\text{A'B'} + \text{B'C'} + \text{A'C'} = 12 + 15 + 9 = 36
Donc le périmètre de A'B'C' vaut 36 cm.
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