Maths autrement : Le triangle de Sierpinski

Waclaw Sierpiński (1882-1969) est un mathématicien polonais. Il a donné son nom à plusieurs courbes fractales, notamment le triangle de Sierpiński.

Une fractale est un objet qui se répète à l’infini : en zoomant sur une partie le tout réapparait.

Envie d’en savoir plus ? Partez à la découverte du carré de Sierpinski.

Exercice 1 : Étape 1 : Découverte et construction

L’étape 0 débute avec un triangle équilatéral ABC. L’étape 1 renvoie la figure formée des trois images de la figure de l’étape 0 par les homothéties de rapport 0,5 et de centre A, B et C. Les images du triangle de départ sont représentées ci-dessous en orange, vert et bleu.

1

Construisez le triangle de Sierpinski à l’étape 4 en prenant un triangle ABC de 16 cm de côté.

2

Combien y a-t-il de triangles noirs à l’étape 4 ?

3

Pour une étape $n$ donnée, déterminez le nombre de triangles noirs en fonction de $n$.

4

Quelle fraction de l’aire du triangle ABC est coloriée à l’étape 4 ?

5

Pour une étape $n$ donnée, déterminez, en fonction de $n$, la fraction de l’aire du triangle ABC qui est coloriée.

6

Construction avec un logiciel de géométrie dynamique.

Exercice 2 : Étape 2 : Le tétraèdre de Sierpinski

Voici à quoi ressemble, à l’étape 3, un tétraèdre de Sierpinski :

1

Si chaque élève de la classe construit deux tétraèdres, peut-on réaliser cette construction ?

2

Jusqu’à quelle étape peut-on construire un tétraèdre de Sierpinski si chaque élève du collège construit deux tétraèdres ?