Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 12
Les maths autrement

Le triangle de Sierpiński

Présentation

Waclaw Sierpiński
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : © IREM Paris Nord

Waclaw Sierpiński


Waclaw Sierpiński (1882-1969) est un mathématicien polonais. Il a donné son nom à plusieurs courbes fractales, notamment le triangle de Sierpiński.

Une fractale est un objet qui se répète à l'infini : en zoomant sur une partie le tout réapparait.

Compétences travaillées

  • Je représente des objets et des figures géométriques
  • J'argumente et j'échange sur une démarche mathématique
  • J'utilise des cas particuliers pour orienter ma démarche de résolution

Étape 1
Découverte et construction

L'étape 0 débute avec un triangle équilatéral ABC. L'étape 1 renvoie la figure formée des trois images de la figure de l'étape 0 par les homothéties de rapport 0,5 et de centre A, B et C. Les images du triangle de départ sont représentées ci-dessous en orange, vert et bleu.

Graphique lié à l'exercice 1
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Graphique lié à l'exercice 2
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Construisez le triangle de Sierpinski à l'étape 4 en prenant un triangle ABC de 16 cm de côté.

2. Combien y a-t-il de triangles noirs à l'étape 4 ?

3. Pour une étape donnée, déterminez le nombre de triangles noirs en fonction de .

4. Quelle fraction de l'aire du triangle ABC est coloriée à l'étape 4 ?

5. Pour une étape donnée, déterminez, en fonction de , la fraction de l'aire du triangle ABC qui est coloriée.

6. Construction avec un logiciel de géométrie dynamique.
a. Débutez avec un triangle ABC. Créez les images du triangle par les homothéties de centre A, B et C et de rapport 0,5 .
b. Vous pouvez à présent créer un nouvel outil. Les objets finaux sont les trois images ; l'objet initial est le triangle ABC.
c. Utilisez cet outil pour créer la fractale avec le logiciel : sélectionnez l'outil puis cliquez sur le triangle que vous souhaitez...
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Étape 2
Le tétraèdre de Sierpinski

Voici à quoi ressemble, à l'étape 3, un tétraèdre de Sierpinski :
Graphique lié à l'exercice 3
Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Si chaque élève de la classe construit deux tétraèdres, peut-on réaliser cette construction ?

2. Jusqu'à quelle étape peut-on construire un tétraèdre de Sierpinski si chaque élève du collège construit deux tétraèdres ?

Supplément numérique

Envie d'en savoir plus ? Partez à la découverte .

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