Mathématiques Cycle 4
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Calcul littéral
Ch. 5
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Ch. 8
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Grandeurs et mesures
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Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 12
J'apprends
Transformations dans le plan
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A Symétries
Je découvre
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1 Symétrie axiale
Rappel
Le point A' est l'image de A par la symétrie d'axe d si d est la médiatrice de [AA'].
Exercices n° p. 271
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2 Symétrie centrale
Définition
Le point A' est l'image de A par la symétrie de centre O si O est le milieu de [AA'].
Une figure F' est symétrique d'une figure F par rapport à un point O lorsqu'elle est obtenue en faisant tourner d'un demi-tour la figure F autour du point O.
Une figure F' est symétrique d'une figure F par rapport à un point O lorsqu'elle est obtenue en faisant tourner d'un demi-tour la figure F autour du point O.
Exemple : L'image F' d'une figure F par la symétrie de centre O s'obtient en construisant les symétriques par rapport à O de tous les points de F.
Propriétés
- Le symétrique d'une droite est une droite.
- Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
- Les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
- Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
Exercices n° p. 270, 272
Remarque :
On parle de propriété de conservation.
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B Translations
J'approfondis
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Définition
Une translation est une transformation qui glisse les figures le long d'une droite, dans un sens, d'une certaine distance.
Si une translation est le long d'une droite (AB), dans le sens de A vers B, de distance AB, on l'appellera translation qui envoie A vers B.
Si une translation est le long d'une droite (AB), dans le sens de A vers B, de distance AB, on l'appellera translation qui envoie A vers B.
Exercices n° p. 273, 274
J'applique
Consigne : Tracez un carré ABCD, puis placez un point A' à l'extérieur de ce carré. Tracez l'image du carré ABCD par la translation qui envoie A vers A'.Correction : Avec (AA'), (BB'), (CC') et (DD') parallèles entre elles et AA' = BB' = CC' = DD'.
Remarque : Si ABNM est un parallélogramme, le point N est l'image de M par la translation qui envoie A sur B.
Propriété
- L'image d'une droite par une translation est une droite.
- L'image d'un segment par une translation est un segment de même longueur.
- Les images de deux droites parallèles par une translation sont deux droites parallèles.
- L'image d'un angle par une translation est un angle de même mesure.
Exercices n° p. 273, 274
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CRotations
J'approfondis
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Définitions
Faire subir à une figure F une rotation de centre O, d'angle x, dans le sens direct, revient à la faire tourner autour de O dans le sens inverse des aiguilles dʼune montre de x degrés.
Faire subir à une figure F une rotation de centre O, d'angle x, dans le sens indirect, revient à la faire tourner autour de O dans le sens des aiguilles dʼune montre de x degrés.
Exercices n° p. 272, 273
J'applique
Consigne : Tracez l'image de la figure par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens indirect.
Correction : On trace l'image de chaque point puis on les relie.
Propriété
- L'image d'une droite par une rotation est une droite.
- L'image d'un segment par une rotation est un segment de même longueur.
- Les images de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles.
- L'image d'un angle par une rotation est un angle de même mesure.
Exercices n° p. 272, 273
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D Homothéties
Je prefectionne
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1 Rapport positif
Définitions
Le point A' est l'image de A par l'homothétie de centre O et de rapport k > 0 si A' appartient à la demi-droite [OA) et si OA' = k \times OA.
Une homothétie de rapport k > 1 est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport 0 \lt k \lt 1 est appelée réduction.
Une homothétie de rapport k > 1 est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport 0 \lt k \lt 1 est appelée réduction.
Exercices n° p. 274, 275
J'applique
Consigne : Construisez l'image de la figure par l'homothétie de rapport 3 et de centre O.
Correction :
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2 Rapport négatif
Définitions
Le point A' est l'image de A par l'homothétie de centre O et de rapport k \lt 0 si O appartient au segment [AA'] et si OA' =-k\timesOA.
Une homothétie de rapport k\lt −1 est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport −1\lt k \lt O est appelée réduction.
Une homothétie de rapport k\lt −1 est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport −1\lt k \lt O est appelée réduction.
Exercices n° p. 274, 275
J'applique
Consigne : Construisez l'image de la figure par l'homothétie de rapport −2 et de centre O.
Correction :
Remarque : L'image par la symétrie de centre O est aussi l'image par l'homothétie de centre O et de rapport −1.
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3 Effets d'une homothétie
Propriété
- L'image d'une droite par une homothétie est une droite.
- Les images de deux droites parallèles par une homothétie sont deux droites parallèles.
- L'image d'un angle par une homothétie est un angle de même mesure.
- k la longueur d'un segment ;
- k^2 l'aire d'une surface ;
- k^3 le volume d'un solide.
Exercices n° p. 274, 275
J'applique
Consigne : ABC est un triangle rectangle avec AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 3 cm. O est un autre point. A'B'C' est l'image de ABC par l'homothétie de centre O et de rapport -3.Quel est le périmètre de A'B'C' ?
Correction : Une homothétie multiplie les disctances par son rapport ? Alors :
\text{A'B'}= 3 \times \text{AB} = 12
\text{B'C'} = 3 \times \text{BC} = 15
\text{A'C'}= 3 \times \text{AC} = 9
\text{A'B'} + \text{B'C'} + \text{A'C'} = 12 + 15 + 9 = 36
Donc le périmètre de A'B'C' vaut 36 cm.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
