Rappel Le point A' est l’image de A par la symétrie d’axe d si d est la médiatrice de [AA'].
2. Symétrie centrale
Définition
Le point A' est l’image de A par la symétrie de centre O si O est le milieu de [AA']. Une figure F′ est symétrique d’une figure F par rapport à un point O lorsqu’elle est obtenue en faisant tourner d’un demi-tour la figure F autour du point O. Exemple : L’image F′ d’une figure F par la symétrie de centre O s’obtient en construisant les symétriques par rapport à O de tous les points de F.
Propriétés
Le symétrique d’une droite est une droite.
Le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
Les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
Le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
Une figure admet un centre de symétrie si une symétrie centrale à partir de ce point ne fait pas changer la figure.
Remarque : On parle de propriété de conservation.
B. Translations
Définition Une translation est une transformation qui glisse les figures le long d’une droite, dans un sens, d’une certaine distance. Si une translation est le long d’une droite (AB), dans le sens de A vers B, de distance AB, on l’appellera translation qui envoie A vers B.
J'applique Consigne : Tracez un carré ABCD, puis placez un point A' à l'extérieur de ce carré. Tracez l'image du carré ABCD par la translation qui envoie A vers A'. Correction : Avec (AA'), (BB'), (CC') et (DD') parallèles entre elles et AA' = BB' = CC' = DD'.
Remarque : Si ABNM est un parallélogramme, le point N est l’image de M par la translation qui envoie A sur B.
Propriétés
L’image d’une droite par une translation est une droite.
L’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur.
Les images de deux droites parallèles par une translation sont deux droites parallèles.
L’image d’un angle par une translation est un angle de même mesure.
C. Rotations
Définitions
Faire subir à une figure F une rotation de centre O, d’angle x, dans le sens direct, revient à la faire tourner autour de O dans le sens inverse des aiguilles dʼune montre de x degrés.
Faire subir à une figure F unerotation de centre O, d’angle x, dans lesens indirect, revient à la faire tourner autour de O dans lesens des aiguilles dʼune montrede x degrés.
J'applique Consigne : Tracez l'image de la figure par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens indirect.
Correction : On trace l'image de chaque point puis on les relie.
Propriétés
L’image d’une droite par une rotation est une droite.
L’image d’un segment par une rotation est un segment de même longueur.
Les images de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles.
L’image d’un angle par une rotation est un angle de même mesure.
D. Homothéties
1. Rapport positif
Définitions Le point A' est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k>0 si A' appartient à la demi-droite [OA) et si OA' =k× OA. Une homothétie de rapport k>1 est appelée agrandissement. Une homothétie de rapport 0<k<1 est appelée réduction.
Remarque : Dans une homothétie de rapport k, OA' est proportionnel à OA, avec k pour coefficient de proportionnalité.
J'applique Consigne : Construisez l'image de la figure par l'homothétie de rapport 3 et de centre O.
Correction :
2. Rapport négatif
Définitions Le point A' est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k<0 si O appartient au segment [AA'] et si OA' =−k×OA. Une homothétie de rapport k<−1 est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport −1<k<O est appelée réduction.
J'appliqueConsigne : Construisez l'image de la figure par l'homothétie de rapport −2 et de centre O.
Correction :
Remarque : L’image par la symétrie de centre O est aussi l’image par l’homothétie de centre O et de rapport −1.
3. Effets d'une homothétie
Propriétés
L’image d’une droite par une homothétie est une droite.
Les images de deux droites parallèles par une homothétie sont deux droites parallèles.
L’image d’un angle par une homothétie est un angle de même mesure.
Une homothétie de rapport k>0 multiplie par :
k la longueur d’un segment ;
k2 l’aire d’une surface ;
k3 le volume d’un solide.
J'applique Consigne : ABC est un triangle rectangle avec AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 3 cm. O est un autre point. A'B'C' est l'image de ABC par l'homothétie de centre O et de rapport −3. Quel est le périmètre de A'B'C' ? Correction : Une homothétie multiplie les disctances par son rapport ? Alors : A’B’=3×AB=12 B’C’=3×BC=15 A’C’=3×AC=9 A’B’+B’C’+A’C’=12+15+9=36 Donc le périmètre de A'B'C' vaut 36 cm.