Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 12
J'apprends

Transformations dans le plan

A
Symétries

Je découvre

1
Symétrie axiale

Rappel
Le point A' est l'image de A par la symétrie d'axe si est la médiatrice de [AA'].

Exercices n°  p. 271

2
Symétrie centrale

Définition
Figure de la définition.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Le point A' est l'image de A par la symétrie de centre O si O est le milieu de [AA'].
Une figure est symétrique d'une figure par rapport à un point O lorsqu'elle est obtenue en faisant tourner d'un demi-tour la figure autour du point O.


Exercices n°  p. 270, 272
Exemple : L'image d'une figure par la symétrie de centre O s'obtient en construisant les symétriques par rapport à O de tous les points de .
Image F′ d'une figure F par la symétrie de centre O s'obtient en construisant les symétriques par rapport à O de tous les points de F.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Propriétés
  • Le symétrique d'une droite est une droite. 
  • Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur. 
  • Les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. 
  • Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
Une figure admet un centre de symétrie si une symétrie centrale à partir de ce point ne fait pas changer la figure.

Exercices n°  p. 270, 272
Carte du roi de carreau
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Une figure admet un centre de symétrie si une symétrie centrale à partir de ce point ne fait pas changer la figure.
Remarque :  On parle de propriété de conservation.

B
Translations

J'approfondis
Définition
Une translation est une transformation qui glisse les figures le long d'une droite, dans un sens, d'une certaine distance.
Si une translation est le long d'une droite (AB), dans le sens de A vers B, de distance AB, on l'appellera translation qui envoie A vers B.

Exercices n°  p. 273, 274

J'applique

Consigne : Tracez un carré ABCD, puis placez un point A' à l'extérieur de ce carré. Tracez l'image du carré ABCD par la translation qui envoie A vers A'.

Correction : Avec (AA'), (BB'), (CC') et (DD') parallèles entre elles et AA' = BB' = CC' = DD'.

Carré ABCD et son image
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Remarque :  Si ABNM est un parallélogramme, le point N est l'image de M par la translation qui envoie A sur B.
Propriété
  • L'image d'une droite par une translation est une droite. 
  • L'image d'un segment par une translation est un segment de même longueur. 
  • Les images de deux droites parallèles par une translation sont deux droites parallèles. 
  • L'image d'un angle par une translation est un angle de même mesure.

Exercices n°  p. 273, 274

C
Rotations

J'approfondis
Définitions
Faire subir à une figure une rotation de centre O, d'angle , dans le sens direct, revient à la faire tourner autour de O dans le sens inverse des aiguilles dʼune montre de degrés.
Figure de F et de son image F' d'après un angle x
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Faire subir à une figure une rotation de centre O, d'angle , dans le sens indirect, revient à la faire tourner autour de O dans le sens des aiguilles dʼune montre de degrés.
Figure de F et de son image F' d'après un angle x
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices n°  p. 272, 273

J'applique

Consigne : Tracez l'image de la figure par la rotation de centre O, d'angle 90°, dans le sens indirect.
Figure DABC
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Correction : On trace l'image de chaque point puis on les relie.
Figure DABC et son image
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Propriété
  • L'image d'une droite par une rotation est une droite. 
  • L'image d'un segment par une rotation est un segment de même longueur. 
  • Les images de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles. 
  • L'image d'un angle par une rotation est un angle de même mesure.

Exercices n°  p. 272, 273

D
Homothéties

Je prefectionne

1
Rapport positif

Définitions
  Le point A' est l'image de A par l'homothétie de centre O et de rapport si A' appartient à la demi-droite [OA) et si OA' OA.
Une homothétie de rapport est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport est appelée réduction.

Exercices n°  p. 274, 275
Remarque :  Dans une homothétie de rapport , OA' est proportionnel à OA, avec pour coefficient de proportionnalité.

J'applique

Consigne : Construisez l'image de la figure par l'homothétie de rapport 3 et de centre O.
Figure ABC
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Correction : 
Image de la figure ABC par l'homothétie de rapport 3 et de centre O
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2
Rapport négatif

Définitions
Le point A' est l'image de A par l'homothétie de centre O et de rapport si O appartient au segment [AA'] et si OA' OA.
Une homothétie de rapport  est appelée agrandissement.
Une homothétie de rapport est appelée réduction.

Exercices n°  p. 274, 275

J'applique

Consigne : Construisez l'image de la figure par l'homothétie de rapport −2 et de centre O.
Figure ABC
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Correction :
Image de la figure ABC par l'homothétie de rapport −2 et de centre O.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Remarque :  L'image par la symétrie de centre O est aussi l'image par l'homothétie de centre O et de rapport −1.

3
 Effets d'une homothétie

Propriété
  • L'image d'une droite par une homothétie est une droite. 
  • Les images de deux droites parallèles par une homothétie sont deux droites parallèles. 
  • L'image d'un angle par une homothétie est un angle de même mesure. 
Une homothétie de rapport multiplie par :
    • la longueur d'un segment ; 
    • l'aire d'une surface ; 
    • le volume d'un solide.

Exercices n°  p. 274, 275

J'applique

Consigne : ABC est un triangle rectangle avec AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 3 cm. O est un autre point. A'B'C' est l'image de ABC par l'homothétie de centre O et de rapport .
Quel est le périmètre de A'B'C' ?

Correction :  Une homothétie multiplie les disctances par son rapport ? Alors : 




Donc le périmètre de A'B'C' vaut 36 cm.

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