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Problèmes résolus
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Mathématiques - Problèmes résolus


Problèmes résolus




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Exercice 44 : Triangles et symétriques.

A (0 ; 0), B (2 ; 0), C (2 ; 1) et D (0 ; 1) forment un rectangle, et AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. E est le milieu de [B'D'] et E' le symétrique de E par rapport à A.

1
Vérifiez que E' est le milieu de [AC].



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Méthode 1

En dessinant la figure et en traçant la position de E', il est possible de déterminer les coordonnées de E'.

Corrigé 1

  • On réalise le dessin, sur une feuille blanche ou quadrillée.
  • Par symétrie (on peut aussi s’aider du quadrillage), les coordonnées des nouveaux points sont : B' (−2 ; 0), C' (−2 ; −1) et D' (0 ; −1).
    On lit que le milieu de [B'D'] est le point E (−1 ; −12\dfrac{1}{2}).
  • Le symétrique de E est donc E' (1 ; 12\dfrac{1}{2}).
    En le traçant, on peut vérifier, à l’aide d’une règle, que E' est bien le milieu de [AC].

Méthode 2

Il ne faut jamais oublier que les propriétés étudiées dans d’autres classes et d’autres chapitres peuvent toujours être utilisées. Ici, les propriétés des rectangles vues en sixième peuvent être utilisées.

Corrigé 2

  • B', C' et D' sont les images respectives de B, C et D par la symétrie de centre A. Donc AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. Or ABCD est un rectangle donc AB'C'D' est également un rectangle.
  • E est le milieu de [B'D'] qui est la diagonale du rectangle AB'C'D', donc E est le milieu du rectangle AB'C'D'.
  • E' est le symétrique de E par rapport à A et ABCD est également le symétrique de AB'C'D' par rapport à A. Donc E' est le milieu de ABCD.
  • E' est le milieu de ABCD donc il est le milieu de ses diagonales. Donc E' est le milieu de [AC].
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Exercice 45 : Du rectangle au… ?

1
Tracez un rectangle ABCD tel que AD =x= x et AB =x3=\dfrac{x}{3}. On prendra pour xx une valeur comprise entre 6 cm et 12 cm.



2
Construisez les points E, F et G, symétriques respectifs de D, A et B par rapport au point C.



3
Montrez que le quadrilatère CEFG est un rectangle de mêmes dimensions que ABCD.



4
Construisez les points H, I et J, symétriques respectifs des points C, G et F par rapport à E.



5
Montrez que le quadrilatère EHIJ est un rectangle de mêmes dimensions que CEFG.



6
On admet que les points A, B, J et I sont alignés. Montrez que le quadrilatère ADHI a quatre angles droits et trois côtés de même longueur.



7
Quelle est la nature de ADHI ?



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