Chapitre 12
Problèmes résolus
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44Triangles et symétriques.
✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème
✔ Je me repère sur une droite, dans un plan ou dans l'espace
A (0 ; 0), B (2 ; 0), C (2 ; 1) et D (0 ; 1) forment un rectangle, et AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. E est le milieu de [B'D'] et E' le symétrique de E par rapport à A.
Vérifiez que E' est le milieu de [AC].
✔ Je me repère sur une droite, dans un plan ou dans l'espace
A (0 ; 0), B (2 ; 0), C (2 ; 1) et D (0 ; 1) forment un rectangle, et AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. E est le milieu de [B'D'] et E' le symétrique de E par rapport à A.
Vérifiez que E' est le milieu de [AC].
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Méthode 1
En dessinant la figure et en traçant la position de E', il est possible de déterminer les coordonnées de E'.
Corrigé 1
- On réalise le dessin, sur une feuille blanche ou quadrillée.
- Par symétrie (on peut aussi s'aider du quadrillage), les coordonnées des nouveaux points sont :
B' (−2 ; 0), C' (−2 ; −1) et D' (0 ; −1).
On lit que le milieu de [B'D'] est le point E (−1 ; −\dfrac{1}{2}). - Le symétrique de E est donc E' (1 ; \dfrac{1}{2}).
En le traçant, on peut vérifier, à l'aide d'une règle, que E' est bien le milieu de [AC].
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Méthode 2
Il ne faut jamais oublier que les propriétés étudiées dans d'autres classes et d'autres chapitres peuvent toujours être utilisées. Ici, les propriétés des rectangles vues en sixième peuvent être utilisées.
Corrigé 2
- B', C' et D' sont les images respectives de B, C et D par la symétrie de centre A. Donc AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. Or ABCD est un rectangle donc AB'C'D' est également un rectangle.
- E est le milieu de [B'D'] qui est la diagonale du rectangle AB'C'D', donc E est le milieu du rectangle AB'C'D'.
- E' est le symétrique de E par rapport à A et ABCD est également le symétrique de AB'C'D' par rapport à A. Donc E' est le milieu de ABCD.
- E' est le milieu de ABCD donc il est le milieu de ses diagonales. Donc E' est le milieu de [AC].
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45Problème similaireDu rectangle au…?
1. Tracez un rectangle ABCD tel que AD = x et AB =\dfrac{x}{3}. On prendra pour x une valeur comprise entre 6 cm et 12 cm.
GeoGebra
2. Construisez les points E, F et G, symétriques respectifs de D, A et B par rapport au point C.
3. Montrez que le quadrilatère CEFG est un rectangle de mêmes dimensions que ABCD.
4. Construisez les points H, I et J, symétriques respectifs des points C, G et F par rapport à E.
5. Montrez que le quadrilatère EHIJ est un rectangle de mêmes dimensions que CEFG.
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6. On admet que les points A, B, J et I sont alignés. Montrez que le quadrilatère ADHI a quatre angles droits et trois côtés de même longueur.
7. Quelle est la nature de ADHI ?
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
