Exercice 44 : Triangles et symétriques.

A (0 ; 0), B (2 ; 0), C (2 ; 1) et D (0 ; 1) forment un rectangle, et AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. E est le milieu de [B'D'] et E' le symétrique de E par rapport à A.

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Vérifiez que E' est le milieu de [AC].

En dessinant la figure et en traçant la position de E', il est possible de déterminer les coordonnées de E'.

• On réalise le dessin, sur une feuille blanche ou quadrillée.
  
• Par symétrie (on peut aussi s’aider du quadrillage), les coordonnées des nouveaux points sont : B' (−2 ; 0), C' (−2 ; −1) et D' (0 ; −1).
  On lit que le milieu de [B'D'] est le point E (−1 ; −$\frac{1}{2}$).
• Le symétrique de E est donc E' (1 ; $\frac{1}{2}$).
  En le traçant, on peut vérifier, à l’aide d’une règle, que E' est bien le milieu de [AC].

Il ne faut jamais oublier que les propriétés étudiées dans d’autres classes et d’autres chapitres peuvent toujours être utilisées. Ici, les propriétés des rectangles vues en sixième peuvent être utilisées.

• B', C' et D' sont les images respectives de B, C et D par la symétrie de centre A. Donc AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. Or ABCD est un rectangle donc AB'C'D' est également un rectangle.
• E est le milieu de [B'D'] qui est la diagonale du rectangle AB'C'D', donc E est le milieu du rectangle AB'C'D'.
• E' est le symétrique de E par rapport à A et ABCD est également le symétrique de AB'C'D' par rapport à A. Donc E' est le milieu de ABCD.
• E' est le milieu de ABCD donc il est le milieu de ses diagonales. Donc E' est le milieu de [AC].

Exercice 45 : Du rectangle au… ?

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Tracez un rectangle ABCD tel que AD $=x$ et AB $=\frac{x}{3}$. On prendra pour $x$ une valeur comprise entre 6 cm et 12 cm.

2

Construisez les points E, F et G, symétriques respectifs de D, A et B par rapport au point C.

3

Montrez que le quadrilatère CEFG est un rectangle de mêmes dimensions que ABCD.

4

Construisez les points H, I et J, symétriques respectifs des points C, G et F par rapport à E.

5

Montrez que le quadrilatère EHIJ est un rectangle de mêmes dimensions que CEFG.

6

On admet que les points A, B, J et I sont alignés. Montrez que le quadrilatère ADHI a quatre angles droits et trois côtés de même longueur.

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Quelle est la nature de ADHI ?