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Problèmes résolus

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Triangles et symétriques.

A (0 ; 0), B (2 ; 0), C (2 ; 1) et D (0 ; 1) forment un rectangle, et AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. E est le milieu de [B'D'] et E' le symétrique de E par rapport à A.
Méthode 1

En dessinant la figure et en traçant la position de E', il est possible de déterminer les coordonnées de E'.
Méthode 2

Il ne faut jamais oublier que les propriétés étudiées dans d’autres classes et d’autres chapitres peuvent toujours être utilisées. Ici, les propriétés des rectangles vues en sixième peuvent être utilisées.
Corrigé 1
  • On réalise le dessin, sur une feuille blanche ou quadrillée.
  • Par symétrie (on peut aussi s’aider du quadrillage), les coordonnées des nouveaux points sont : B' (−2 ; 0), C' (−2 ; −1) et D' (0 ; −1).
    On lit que le milieu de [B'D'] est le point E (−1 ; −12\dfrac{1}{2}).
  • Le symétrique de E est donc E' (1 ; 12\dfrac{1}{2}).
    En le traçant, on peut vérifier, à l’aide d’une règle, que E' est bien le milieu de [AC].
Corrigé 2
  • B', C' et D' sont les images respectives de B, C et D par la symétrie de centre A. Donc AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. Or ABCD est un rectangle donc AB'C'D' est également un rectangle.
  • E est le milieu de [B'D'] qui est la diagonale du rectangle AB'C'D', donc E est le milieu du rectangle AB'C'D'.
  • E' est le symétrique de E par rapport à A et ABCD est également le symétrique de AB'C'D' par rapport à A. Donc E' est le milieu de ABCD.
  • E' est le milieu de ABCD donc il est le milieu de ses diagonales. Donc E' est le milieu de [AC].
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