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A. Angles et parallélisme

1. Droites parallèles

  Rappels
Deux droites qui ont un seul point commun sont dites sécantes.
Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles.
Deux droites qui ont deux points distincts en commun sont dites confondues. Elles ont alors tous leurs points en commun.

 

2. Couples d'angles

  Définitions
Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun et s’ils sont de part et d’autre de ce côté en commun.
Quand on coupe un angle plat en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut 180°. On dit qu’ils sont supplémentaires.
Quand on coupe un angle droit en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut 90°. On dit qu’ils sont complémentaires.

  Définitions
Soit deux droites dd et dd^\prime sécantes en un point A. Les angles A^1\widehat{\text{A}}_1 et A^3\widehat{\text{A}}_3 sont dits opposés par le sommet et A^1=A^3\widehat{\text{A}}_1 = \widehat{\text{A}}_3. De même, les angles A^2\widehat{\text{A}}_2 et A^4\widehat{\text{A}}_4 sont opposés par le sommet et A^2=A^4\widehat{\text{A}}_2 = \widehat{\text{A}}_4.
  Définitions
On considère deux droites d1d_1 et d2d_2 coupées par une sécante dd. Il existe plusieurs couples d’angles remarquables, dont :
  • les angles alternes-internes

  • les angles correspondants
  J'applique
Consigne : 
Dans la figure ci-contre, quelle est la nature des angles ci-dessous ?
a. ABC^\widehat{\text{ABC}} et DBE^\widehat{\text{DBE}}
b. DBE^\widehat{\text{DBE}} et BEF^\widehat{\text{BEF}}
c. DBE^\widehat{\text{DBE}} et GEH^\widehat{\text{GEH}}
Correction : 
a. Les angles ABC^\widehat{\text{ABC}} et DBE^\widehat{\text{DBE}} sont opposés par le sommet.
b. Les angles DBE^\widehat{\text{DBE}} et BEF^\widehat{\text{BEF}} sont de part et d’autre de la sécante et à l’intérieur des deux droites. Ils sont donc alternes-internes.
c. Les angles DBE^\widehat{\text{DBE}} et GEH^\widehat{\text{GEH}} sont du même côté de la sécante. DBE^\widehat{\text{DBE}} est à l'intérieur mais GEH^\widehat{\text{GEH}} à l’extérieur. Ils sont donc correspondants.

 

3. Parallélisme

  Propriétés
  • Si d1d_1 et d2d_2 sont parallèles et coupées par dd, alors deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure. 
  • Si deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure, alors d1d_1 et d2d_2 sont parallèles. 
  • Si deux angles alternes-internes ou correspondants n’ont pas la même mesure, alors d1d_1 et d2d_2 ne sont pas parallèles.
  J'applique
Consigne : 
On considère la figure ci-dessous dans laquelle les droites (AB) et (ED) sont parallèles. Quelle est la mesure de l'angle BCD^\widehat{\text{BCD}} ?
Correction : Les angles EDF^\widehat{\text{EDF}} et ACD^\widehat{\text{ACD}} sont correspondants.
Comme les droites (AB) et (ED) sont parallèles, EDF^=ACD^=45\widehat{\text{EDF}} = \widehat{\text{ACD}} = 45^{\circ}.
Or les angles ACD^\widehat{\text{ACD}} et BCD^\widehat{\text{BCD}} sont supplémentaires, donc ACD^+BCD^=180\widehat{\text{ACD}} + \widehat{\text{BCD}} = 180^{\circ}.
Donc BCD^=135\widehat{\text{BCD}} = 135^{\circ}.

Consigne :  Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Correction : Les angles HGA^\widehat{\text{HGA}} et BGE^\widehat{\text{BGE}} sont opposés par le sommet ; ils ont donc la même mesure.
Or les angles HGA^\widehat{\text{HGA}} et CHF^\widehat{\text{CHF}} sont correspondants et n'ont pas la même mesure. Donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.

B. Parallélogrammes quelconques

1. Propriétés des parallélogrammes

  Définition
Un parallélogramme ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Donc (AB) ⁄⁄ (DC) et (AD) ⁄⁄ (BC).

  Propriétés
Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce point est un centre de symétrie du quadrilatère.
Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.
  J'applique
Consigne : 
On reprend le parallélogramme ABCD ci-contre.
On sait que AD = 3 cm et que OB = 2 cm. Quelles sont les valeurs des longueurs des segments :
a. [BC] ?
b. [BD] ?
Correction : 
a. [BC] est le segment opposé à [AD], donc BC=AD=3cm\text{BC} = \text{AD} = 3 \text{cm}.
b. [AC] et [BD] se croisent en leur milieu, donc : 
BD=OD+OB=2×OB\text{BD} = \text{OD} + \text{OB} = 2 \times \text{OB}
BD=4\text{BD} = 4 cm.

Remarque : L’image de A par la symétrie de centre O est C ; l’image de B par cette même symétrie est D.

 

2. Caractérisations des parallélogramme

  Propriétés
  • Un quadrilatère qui vérifie au moins l’une de ces propriétés est un parallélogramme.
  • Un parallélogramme vérifie toutes ces propriétés.
  • Un quadrilatère qui ne vérifie pas l’une d’entre elles n’est donc pas un parallélogramme.
  • (AB) // (CD) et (BC) // (AD)

C. Parallélogrammes particuliers

1. Quelques parallélogrammes particuliers

  Rappel
Les carrés, les losanges et les rectangles sont des parallélogrammes. Toutes les propriétés des parallélogrammes s’appliquent à eux, mais ils en possèdent d’autres qui leur sont propres.
  • Rectangle : Tous ses angles sont droits et ses diagonales sont de même longueur.
  • Losange : Ses diagonales sont perpendiculaires et tous ses côtés sont de même longueur.
  • Carré : C’est un parallélogramme particulier qui est à la fois un rectangle et un losange.

 

2. Reconnaitre un parallélogramme particulier.

  Méthodes
  • Un parallélogramme ayant un angle droit ou des diagonales de même longueur est un rectangle
  • Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur ou des diagonales perpendiculaires est un losange.

  J'applique
Consigne : 
Le quadrilatère ABCD suivant est-il un quadrilatère particulier ?
Correction : 
  • ABCD est-il un parallélogramme ?
    On remarque que AB = CD et que AD = BC. Les côtés opposés sont donc de même longueur.
    ABCD est donc un parallélogramme.
  • ABCD est-il un rectangle ?
    L’angle DAB^\widehat{\text{DAB}} vaut 124°. Il n’est donc pas droit. ABCD n’est donc pas un rectangle
  • ABCD est-il un losange ?
    L’angle entre les diagonales [AC] et [DB] vaut 93°. Ses diagonales ne sont pas perpendiculaires. ABCD n’est donc pas un losange.
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