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Exercices

53

Un parallélogramme ?

Considérez la figure suivante.
Soit D le symétrique de B par rapport à (AC).
55

ABCD est un parallélogramme.

Z est le symétrique de B par rapport à A, F le symétrique de C par rapport à D, G le symétrique de F par rapport à Z et H le symétrique de C par rapport à B.
56

Vrai ou faux ?

En considérant que (MP) est parallèle à (NQ), ces affirmations sont-elles vraies ? Justifiez.
61

Angles manquants

Les droites (DF) et (BC) sont parallèles.
A, F, C d’une part et A, E, B d’autre part sont alignés.
66

Démontrez que des quadrilatères sont des parallélogrammes.

ABCD est un rectangle, E le milieu de [AB], F le milieu de [BC], G le milieu de [CD] et H le milieu de [AD].
On note O l’intersection des droites (EG) et (FH).
67

Parallélogramme et parallélisme.

ABCD est un parallélogramme de centre O.
Les points I et J appartiennent à [AC] avec AI = IJ = JC.
70

Triangle et parallélogramme.

Soit un triangle ABC.
On construit le point D, symétrique de A par rapport à la droite (BC).
73

Diagonales et losanges.

ABCD est un parallélogramme et O le point d’intersection de ses diagonales.
P et Q sont des points de [AB] et [BC].
Les droites (OP) et (OQ) coupent respectivement [CD] et [AD] en R et S.
74

Symétrique et médiatrices.

Soit le segment [AB], H son milieu, et D un point de sa médiatrice tel que DAH^=45\widehat{\text{DAH}} = 45^{\circ}.
Soit O le milieu de [DB].
75

Symétriques.

dd est une droite.
O appartient à dd et A n’appartient pas à dd.
(OA) n’est pas perpendiculaire à dd.
B est le symétrique de A par rapport à dd et C et D ceux de A et B par rapport à O.

Tâche complexe : Un phare, un chameau et un puits.

Pendant lʼAntiquité, alors que lʼÉgypte était encore gouvernée par des descendants des Grecs qui avaient accompagné Alexandre le Grand, Ératosthène parvint à calculer la circonférence de la Terre avec un phare, un puits et un chameau.
Tout d’abord, des voyageurs lui rapportèrent qu’à Syène, au solstice d’été, il n’y avait aucune ombre projetée dans les puits de la ville. Ératosthène en déduisit que les rayons de Soleil étaient donc alignés avec les bords des puits, et donc que les rayons du Soleil étaient alignés avec le centre de la Terre.
Ératosthène, qui se trouvait alors à Alexandrie, en profita pour mesurer l’ombre projetée par le phare d’Alexandrie le jour du solstice d’été, pour être sûr que les mesures seraient comparables à celles faites à Syène. Il en déduisit que l’angle formé par les rayons de lumière et l’axe sommet du phare – centre de la Terre mesurait 7,2°.
Enfin, à l’aide d’un chameau, qui servait à l’époque à calculer les distances grâce à ses pas très réguliers, il mesura que la distance entre Syène et Alexandrie était d’environ 5 000 stades.
Doc. 1
Extrait de la biographie d'Ératosthène.
StadeMètres
1157,5
Doc. 3
Le stade.
Table de conversion d'un stade, l'unité de mesure des grandes distances des Grecs d'Égypte.
Du temps d’Ératosthène, les scientifi ques étaient très bons en astronomie, mais ils ne disposaient pas de certaines connaissances d’aujourd’hui, faute d’instruments de mesure adaptés pour vérifi er leurs hypothèses. Voici les hypothèses qui permirent à Ératosthène de calculer la circonférence de la Terre :
a. La Terre est ronde.
b. Le Soleil est une sphère immense, plus grande que la Terre.
c. Puisque le Soleil est extrêmement loin, ses rayons frappent la Terre comme s’ils étaient parallèles entre eux.
Doc. 2
Hypothèses de travail.
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