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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 15
Exercices
Je résous des problèmes
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Un beau paquet cadeau
Le cadeau de Virginie est de forme cubique. Il est empaqueté dans du papier rouge. Deux rubans verts lʼentourent en joignant le milieu des arêtes.
Représentez le cadeau et les rubans en perspective cavalière, puis dessinez un patron de ce cube et indiquez-y lʼendroit où passent les rubans.
GeoGebra
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Savoir refaire
Coupe d'un pavé droit
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ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Le point I appartient à [AH] et AI = 2 cm. Le point J appartient à [BG] et BJ = 2 cm.
1. Que peut-on dire de (IJ) et (AB) ?
2. Le point K de [FG] est tel que FK = 3,5 cm. Le plan passant par I, J et K coupe [EH] en L. Déterminez la nature de la section plane de ABCDEFGH par ce plan. Donnez les dimensions de la section plane.
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27
Camion citerne
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Un camion est équipé dʼune citerne longue de 10 m.
1. Déterminez la capacité maximale de la citerne.
2. La citerne est remplie partiellement : le niveau dʼeau est à 20 cm en dessous de la moitié du réservoir. Quelle est la forme de la surface de lʼeau ?
3. Déterminez les dimensions de cette surface.
4. Déterminez lʼaire de cette surface en m2.
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28
Savoir refaire
Château d'eau
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AH=AO=11,4m.
1. Déterminez le volume de la citerne au dm3 près.
2. Combien de litres dʼeau faut-il pour remplir la citerne à moitié ?
3. Quelle part de la contenance totale un remplissage au niveau de la ligne rouge représente-t-il ?
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29
Vers le Brevet (Polynésie, 2011)
On considère la section AIJD du cube par un plan parallèle à lʼarête [BC] et passant par les points A et I. Les mesures sont en cm.
1. La section AIJD du cube est-elle un losange, un rectangle, un parallélogramme ou un carré ?
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2. Dessinez en grandeur réelle le triangle AIB et la section AIJD.
GeoGebra
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3. Montrez que lʼaire du triangle AIB est égale à 9cm2.
4. La partie basse ABCDJI du cube est un prisme droit. Calculez le volume du prisme droit ABCDJI en cm3.
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Savoir refaire
Dans un aquarium
Un aquarium en forme de sphère coupée de 15cm de rayon est rempli d'eau à une hauteur de 21cm.
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1. Quelle forme a la surface de lʼeau ? Quelle est lʼaire en cm2 de cette surface ?
2. Le niveau dʼeau baisse jusquʼà atteindre le point O. Quel volume dʼeau en cm3 reste-t-il dans le bocal ?
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Un jeu finlandais
Marc, Pierre et Romain jouent à un jeu de quilles un peu spécial. Ce jeu se joue avec des quilles en bois. Les quilles sont obtenues par la section en biais dʼun cylindre en bois.
1. Construisez une représentation cavalière dʼune quille.
Dessinez ici
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Coupe d'une sphère
S est une sphère de centre O. On la coupe par un plan passant par O’ tel que OO’ = 4 cm. M est un point de cette section tel que le triangle OO’M est rectangle isocèle en O’.
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1. Quel est le rayon de la sphère S ?
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La Géode
La Géode est une salle de cinéma à Paris permettant de projeter des films à 360∘. Cette salle a la forme dʼune sphère de 36 m de diamètre, avec une section à sa base. Lorsque lʼon est à lʼintérieur de la Géode, le plafond se trouve 29 m au-dessus de notre tête.
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1. Quelle est la surface au sol de la Géode ?
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De l'autre côté du monde
Les coordonnées géographiques de la ville de Syracuse en Italie sont approximativement de 37∘N et 15∘E.
1. Déterminez les coordonnées géographiques du point situé diamétralement à lʼopposé de Syracuse.
2. Où se situe approximativement ce point ?
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35
Distances terrestres
Sachant que la Terre a un rayon de 6371km. Quelle est la distance du Sud à lʼOuest...
1. en ligne droite, à lʼintérieur de la Terre ?
2. à vol dʼoiseau en suivant la surface de la Terre ?
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Méridiens et parallèles
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Crédits : MercelClemens/Shutterstock
La Terre peut être représentée comme une boule dʼenviron 12800km de diamètre.
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1. Quelle est la nature des méridiens ? Quelle est la nature des parallèles ?
2. Quelle est la longueur de lʼÉquateur ?
3. Quelle est la longueur dʼun méridien ?
4. Quelles sont les coordonnées du pôle Nord ? Du pôle Sud ? Dʼune ville située sur lʼÉquateur ? De la ville de Greenwich ?
5. Le plus court chemin pour aller du point de coordonnées 22∘S, 43∘O au point 10∘N, 106∘E passe-t-il par lʼÉquateur ? Par le méridien de Greenwich ?
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À la surface de la Terre
On considère les villes de Santiago du Chili (S), Boston (B) et Carcassonne (C). Leurs coordonnées géographiques sont : S(33∘S;70∘O) ; B(43∘N;70∘O) ; C(43∘N;2∘E).
1. Que peut-on dire des villes Santiago du Chili et Boston ?
2.O est le centre de la Terre. Quelle est la mesure de l'angle SOB ?
3. Sachant que le rayon de la Terre est de 6371 km, calculez une valeur arrondie au km près de la distance entre Santiago du Chili et Boston.
4. Reprennez les questions précédentes avec Boston et Carcassonne.
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De Cape Town à Sydney
On considère les villes de Cape Town (33∘S;18∘E) et de Sydney (33∘S;151∘E). Le rayon de la Terre est de 6371 km.
1. Quel est le rayon du parallèle situé 33∘S ?
Le rayon forme un angle droit avec l'axe de rotation de la Terre. On peut utiliser la trigonométrie.
Coup de pouce
2. Quelle est la distance à vol dʼoiseau entre ces deux villes au km près ?
Il faut d'abord trouver l'angle entre ces deux villes qui ont pour sommet le centre de la sphère.
Coup de pouce
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39
Cartes avec courbes de niveau et randonnées
Pour mieux se repérer sur une carte et pouvoir représenter des montagnes en deux dimensions, il existe une solution : les courbes de niveau.
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Il suffit de sʼimaginer que lʼon coupe en tranches le relief du paysage. Une personne qui se déplace du point A au point B descend de 50 m. Une personne qui se déplace du point B au point C monte de 100 m.
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Pour représenter cela sur une carte, il suffit de symboliser avec des courbes tous les endroits de la carte ayant la même altitude.
1. Sur la carte, quel est le point le plus haut représenté ?
2. La ville de Le Monestier se trouve-t-elle à plus de 1000 m dʼaltitude ? À moins de 600 m ? À moins de 800 m ?
3. Combien y a-t-il de courbes de niveau entre 1200 m et 1400 m dʼaltitude ? Quelle différence dʼaltitude y a-t-il entre deux courbes de niveaux ?
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Londres
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Le dessin ci-après représente la Terre qui est assimilée à une sphère de 6371 km de rayon. Le cercle de centre C passant par M représente lʼéquateur. Le point L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre P. On admettra que l'angle LPC est un angle droit. On donne CP = 4880 km.
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1. Calculez PL au km près.
LPC est un triangle rectangle en P.
Coup de pouce
2. Calculez la mesure de lʼangle PCL et arrondissez-le au degré près.
On peut utiliser la trigonométrie.
Coup de pouce
3. Déduisez-en, au degré près, la latitude Nord de Londres par rapport à lʼéquateur, cʼest-à-dire l'angle LCM.
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Vers le Brevet (Métropole, 2002)
La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6371 km.
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1. On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles (NS) et équidistant de ces deux pôles. Lʼintersection de ce plan avec la Terre sʼappelle lʼéquateur. Calculez la longueur de lʼéquateur.
2. On note C le centre de la Terre et G un point de lʼéquateur. On considère deux points A et B situés en Afrique sur lʼéquateur. Ces points sont disposés comme l'indique le schéma. On sait que GCA=42∘ et GCB=9∘. Calculez la longueur de l'arc AB, portion de l'équateur située en Afrique.
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L'aquarium de Margaux
Margaux possède un aquarium. Elle le soulève pour changer lʼeau. Avant que Margaux ne vide lʼaquarium, un canard en plastique flottait en plein milieu de la surface de lʼeau.
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1. Quelles étaient ses coordonnées dans lʼaquarium ?
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A
Exercice numérique
Jeanne dispose d'un moule en silicone composé de 6 cubes de 5cm de côté ainsi que de 5L de pâte à gâteaux qu'elle veut utiliser.
1.
Combien de fournées va-t-elle devoir réaliser ?
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B
Exercice numérique
On dispose d'une citerne de lait de forme cylindrique de 80cm de diamètre et d'une capacité de 800L.
1.
Déterminer la hauteur de cette citerne.
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Tâche complexe
Un sacré périple !
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Énoncé
Lucile sʼest fait plein dʼamis à lʼuniversité et décide de leur rendre visite pendant ses vacances. Elle veut savoir combien de kilomètres elle a parcouru. Elle fait la liste de ses déplacements.
1. Quelle distance a-t-elle parcourue à votre avis ?
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Doc. 1
Extrait du carnet de Lucile
« Je suis partie de Londres dont les coordonnées sont (51∘N;0∘E) pour aller jusqu'à Valencia en Espagne (40∘N;0∘E). Puis je me suis dirigée vers Pékin (40∘N;116∘E). J'ai ensuite fait 4450 km vers le Sud et 12900 km vers l'Ouest. C'est à partir de ce point que je suis revenue à Londres. »
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Doc. 2
Terre
La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6371 km. Le parallèle passant à 40∘N a une longueur approximative de 30740 km.
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Doc. 3
Planisphère
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