Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 15
Exercices

Je résous des problèmes

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25
Un beau paquet cadeau

Le cadeau de Virginie est de forme cubique. Il est empaqueté dans du papier rouge. Deux rubans verts lʼentourent en joignant le milieu des arêtes.
Représentez le cadeau et les rubans en perspective cavalière, puis dessinez un patron de ce cube et indiquez-y lʼendroit où passent les rubans.
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26
Savoir refaire
Coupe d'un pavé droit

Graphique lié à l'exercice 1
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est un parallélépipède rectangle. Le point appartient à et . Le point appartient à et .

1. Que peut-on dire de et  ?

2. Le point de est tel que . Le plan passant par , et coupe en . Déterminez la nature de la section plane de par ce plan. Donnez les dimensions de la section plane.
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27
Camion citerne

Graphique lié à l'exercice 2
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Un camion est équipé dʼune citerne longue de .

1. Déterminez la capacité maximale de la citerne.

2. La citerne est remplie partiellement : le niveau dʼeau est à en dessous de la moitié du réservoir. Quelle est la forme de la surface de lʼeau ?

3. Déterminez les dimensions de cette surface.

4. Déterminez lʼaire de cette surface en .
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28
Savoir refaire
Château d'eau

Graphique lié à l'exercice 3
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.

1. Déterminez le volume de la citerne au près.

2. Combien de litres dʼeau faut-il pour remplir la citerne à moitié ?

3. Quelle part de la contenance totale un remplissage au niveau de la ligne rouge représente-t-il ?
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29
Vers le Brevet (Polynésie, 2011)

On considère la section du cube par un plan parallèle à lʼarête et passant par les points et . Les mesures sont en cm.

1. La section du cube est-elle un losange, un rectangle, un parallélogramme ou un carré ?

Graphique lié à l'exercice 4
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2. Dessinez en grandeur réelle le triangle et la section .
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3. Montrez que lʼaire du triangle est égale à .

4. La partie basse du cube est un prisme droit. Calculez le volume du prisme droit en .
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30
Savoir refaire
Dans un aquarium

Un aquarium en forme de sphère coupée de de rayon est rempli d'eau à une hauteur de .

image d'un aquarium
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1. Quelle forme a la surface de lʼeau ? Quelle est lʼaire en de cette surface ?

2. Le niveau dʼeau baisse jusquʼà atteindre le point . Quel volume dʼeau en reste-t-il dans le bocal ?
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31
Un jeu finlandais

Marc, Pierre et Romain jouent à un jeu de quilles un peu spécial. Ce jeu se joue avec des quilles en bois. Les quilles sont obtenues par la section en biais dʼun cylindre en bois.

1. Construisez une représentation cavalière dʼune quille.
Dessinez ici
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32
Coupe d'une sphère

est une sphère de centre . On la coupe par un plan passant par tel que . est un point de cette section tel que le triangle est rectangle isocèle en .
Graphique lié à l'exercice 6
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1. Quel est le rayon de la sphère  ?
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33
La Géode

La Géode est une salle de cinéma à Paris permettant de projeter des films à . Cette salle a la forme dʼune sphère de de diamètre, avec une section à sa base. Lorsque lʼon est à lʼintérieur de la Géode, le plafond se trouve au-dessus de notre tête.
Graphique lié à l'exercice 7
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1. Quelle est la surface au sol de la Géode ?
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34
De l'autre côté du monde

Les coordonnées géographiques de la ville de Syracuse en Italie sont approximativement de et .

1. Déterminez les coordonnées géographiques du point situé diamétralement à lʼopposé de Syracuse.

2. Où se situe approximativement ce point ?
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35
Distances terrestres

Sachant que la Terre a un rayon de . Quelle est la distance du Sud à lʼOuest...

1. en ligne droite, à lʼintérieur de la Terre ?

2. à vol dʼoiseau en suivant la surface de la Terre ?
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36
Méridiens et parallèles

Graphique lié à l'exercice 9
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Crédits : MercelClemens/Shutterstock
La Terre peut être représentée comme une boule dʼenviron de diamètre.

Graphique lié à l'exercice 8
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1. Quelle est la nature des méridiens ? Quelle est la nature des parallèles ?

2. Quelle est la longueur de lʼÉquateur ?

3. Quelle est la longueur dʼun méridien ?

4. Quelles sont les coordonnées du pôle Nord ? Du pôle Sud ? Dʼune ville située sur lʼÉquateur ? De la ville de Greenwich ?

5. Le plus court chemin pour aller du point de coordonnées , au point , passe-t-il par lʼÉquateur ? Par le méridien de Greenwich ?
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37
À la surface de la Terre

On considère les villes de Santiago du Chili , Boston et Carcassonne . Leurs coordonnées géographiques sont :
 ;
 ;
.

1. Que peut-on dire des villes Santiago du Chili et Boston ?

2. est le centre de la Terre. Quelle est la mesure de l'angle  ?

3. Sachant que le rayon de la Terre est de , calculez une valeur arrondie au près de la distance entre Santiago du Chili et Boston.

4. Reprennez les questions précédentes avec Boston et Carcassonne.
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38
De Cape Town à Sydney

On considère les villes de Cape Town et de Sydney . Le rayon de la Terre est de .

1. Quel est le rayon du parallèle situé  ?
Le rayon forme un angle droit avec l'axe de rotation de la Terre. On peut utiliser la trigonométrie.
Coup de pouce

2. Quelle est la distance à vol dʼoiseau entre ces deux villes au près ?
Il faut d'abord trouver l'angle entre ces deux villes qui ont pour sommet le centre de la sphère.
Coup de pouce
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39
Cartes avec courbes de niveau et randonnées

Pour mieux se repérer sur une carte et pouvoir représenter des montagnes en deux dimensions, il existe une solution : les courbes de niveau.
Graphique lié à l'exercice 10
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Il suffit de sʼimaginer que lʼon coupe en tranches le relief du paysage. Une personne qui se déplace du point au point descend de . Une personne qui se déplace du point au point monte de .
Graphique lié à l'exercice 11
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Pour représenter cela sur une carte, il suffit de symboliser avec des courbes tous les endroits de la carte ayant la même altitude.

1. Sur la carte, quel est le point le plus haut représenté ?

2. La ville de Le Monestier se trouve-t-elle à plus de dʼaltitude ? À moins de  ? À moins de  ?

3. Combien y a-t-il de courbes de niveau entre et dʼaltitude ? Quelle différence dʼaltitude y a-t-il entre deux courbes de niveaux ?
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40
Londres

Graphique lié à l'exercice 13
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Le dessin ci-après représente la Terre qui est assimilée à une sphère de de rayon. Le cercle de centre passant par représente lʼéquateur. Le point représente la ville de Londres. est situé sur la sphère et sur le cercle de centre . On admettra que l'angle est un angle droit. On donne .

Graphique lié à l'exercice 12
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1. Calculez au près.
LPC est un triangle rectangle en P.
Coup de pouce

2. Calculez la mesure de lʼangle et arrondissez-le au degré près.
On peut utiliser la trigonométrie.
Coup de pouce

3. Déduisez-en, au degré près, la latitude Nord de Londres par rapport à lʼéquateur, cʼest-à-dire l'angle .
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41
Vers le Brevet (Métropole, 2002)

La Terre est assimilée à une sphère de rayon .
Graphique lié à l'exercice 14
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1. On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles et équidistant de ces deux pôles. Lʼintersection de ce plan avec la Terre sʼappelle lʼéquateur. Calculez la longueur de lʼéquateur.

2. On note le centre de la Terre et un point de lʼéquateur. On considère deux points et situés en Afrique sur lʼéquateur. Ces points sont disposés comme l'indique le schéma. On sait que et . Calculez la longueur de l'arc , portion de l'équateur située en Afrique.
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42
L'aquarium de Margaux

Margaux possède un aquarium. Elle le soulève pour changer lʼeau. Avant que Margaux ne vide lʼaquarium, un canard en plastique flottait en plein milieu de la surface de lʼeau.
Graphique lié à l'exercice 15
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schéma de l'aquarium juste avant qu'il ne déborde
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1. Quelles étaient ses coordonnées dans lʼaquarium ?
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A
Exercice numérique

Jeanne dispose d'un moule en silicone composé de cubes de de côté ainsi que de de pâte à gâteaux qu'elle veut utiliser.

1. Combien de fournées va-t-elle devoir réaliser ?
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B
Exercice numérique

On dispose d'une citerne de lait de forme cylindrique de de diamètre et d'une capacité de .

1. Déterminer la hauteur de cette citerne.
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Tâche complexe
Un sacré périple !

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Énoncé

Lucile sʼest fait plein dʼamis à lʼuniversité et décide de leur rendre visite pendant ses vacances. Elle veut savoir combien de kilomètres elle a parcouru. Elle fait la liste de ses déplacements.

1. Quelle distance a-t-elle parcourue à votre avis ?
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Doc. 1
Extrait du carnet de Lucile

« Je suis partie de Londres dont les coordonnées sont pour aller jusqu'à Valencia en Espagne . Puis je me suis dirigée vers Pékin . J'ai ensuite fait vers le Sud et vers l'Ouest. C'est à partir de ce point que je suis revenue à Londres. »
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Doc. 2
Terre

La Terre est assimilée à une sphère de rayon . Le parallèle passant à a une longueur approximative de .
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Doc. 3
Planisphère

Graphique lié à l'exercice 3
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