Je résous des problèmes

$\text{ABCDEFGH}$ est un parallélépipède rectangle. Le point $\text{I}$ appartient à $[\text{AH}]$ et $\text{AI = 2 cm}$. Le point $\text{J}$ appartient à $[\text{BG}]$ et $\text{BJ = 2 cm}$.

1. Que peut-on dire de $\text{(IJ)}$ et $\text{(AB)}$ ?

Insérer une formule mathématique

2. Le point $\text{K}$ de $\text{[FG]}$ est tel que $\text{FK = 3,5 cm}$. Le plan passant par $\text{I}$, $\text{J}$ et $\text{K}$ coupe $\text{[EH]}$ en $\text{L}$. Déterminez la nature de la section plane de $\text{ABCDEFGH}$ par ce plan. Donnez les dimensions de la section plane.

Insérer une formule mathématique

Un camion est équipé dʼune citerne longue de $\text{10 m}$.

1. Déterminez la capacité maximale de la citerne.

2. La citerne est remplie partiellement : le niveau dʼeau est à $\text{20 cm}$ en dessous de la moitié du réservoir. Quelle est la forme de la surface de lʼeau ?

3. Déterminez les dimensions de cette surface.

4. Déterminez lʼaire de cette surface en ${\mathrm{m}}^2$.

$S$ est une sphère de centre $\text{O}$. On la coupe par un plan passant par $\text{O’}$ tel que $\text{OO’ = 4 cm}$. $\text{M}$ est un point de cette section tel que le triangle $\text{OO’M}$ est rectangle isocèle en $\text{O’}$. 1. Quel est le rayon de la sphère $S$ ?

La Géode est une salle de cinéma à Paris permettant de projeter des films à $360^{\circ }$. Cette salle a la forme dʼune sphère de $\text{36 m}$ de diamètre, avec une section à sa base. Lorsque lʼon est à lʼintérieur de la Géode, le plafond se trouve $\text{29 m}$ au-dessus de notre tête. 1. Quelle est la surface au sol de la Géode ?

Les coordonnées géographiques de la ville de Syracuse en Italie sont approximativement de $37^{\circ }\mathrm{N}$ et $15^{\circ }\mathrm{E}$.

1. Déterminez les coordonnées géographiques du point situé diamétralement à lʼopposé de Syracuse.

2. Où se situe approximativement ce point ?

Sachant que la Terre a un rayon de $6371\mathrm{km}$. Quelle est la distance du Sud à lʼOuest...

1. en ligne droite, à lʼintérieur de la Terre ?

2. à vol dʼoiseau en suivant la surface de la Terre ?

La Terre peut être représentée comme une boule dʼenviron $12800\mathrm{km}$ de diamètre.

1. Quelle est la nature des méridiens ? Quelle est la nature des parallèles ?

2. Quelle est la longueur de lʼÉquateur ?

3. Quelle est la longueur dʼun méridien ?

4. Quelles sont les coordonnées du pôle Nord ? Du pôle Sud ? Dʼune ville située sur lʼÉquateur ? De la ville de Greenwich ?

5. Le plus court chemin pour aller du point de coordonnées $22^{\circ }\mathrm{S}$, $43^{\circ }\mathrm{O}$ au point $10^{\circ }\mathrm{N}$, $106^{\circ }\mathrm{E}$ passe-t-il par lʼÉquateur ? Par le méridien de Greenwich ?

On considère les villes de Santiago du Chili $(\text{S})$, Boston $(\text{B})$ et Carcassonne $(\text{C})$. Leurs coordonnées géographiques sont :
$\mathrm{S}\left(33^{\circ }\mathrm{S};70^{\circ }\mathrm{O}\right)$ ;
$\mathrm{B}\left(43^{\circ }\mathrm{N};70^{\circ }\mathrm{O}\right)$ ;
$\mathrm{C}\left(43^{\circ }\mathrm{N};2^{\circ }\mathrm{E}\right)$.

1. Que peut-on dire des villes Santiago du Chili et Boston ?

2. $\text{O}$ est le centre de la Terre. Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{\text{SOB}}$ ?

3. Sachant que le rayon de la Terre est de $\text{6 371 km}$, calculez une valeur arrondie au $\text{km}$ près de la distance entre Santiago du Chili et Boston.

4. Reprennez les questions précédentes avec Boston et Carcassonne.

On considère les villes de Cape Town $(33^{\circ }\mathrm{S};18^{\circ }\mathrm{E})$ et de Sydney $(33^{\circ }\mathrm{S};151^{\circ }\mathrm{E})$. Le rayon de la Terre est de $\text{6 371 km}$.

1. Quel est le rayon du parallèle situé $33^{\circ }\mathrm{S}$ ?

Coup de pouce

Le rayon forme un angle droit avec l'axe de rotation de la Terre. On peut utiliser la trigonométrie.

2. Quelle est la distance à vol dʼoiseau entre ces deux villes au $\text{km}$ près ?

Coup de pouce

Il faut d'abord trouver l'angle entre ces deux villes qui ont pour sommet le centre de la sphère.

Pour mieux se repérer sur une carte et pouvoir représenter des montagnes en deux dimensions, il existe une solution : les courbes de niveau. Il suffit de sʼimaginer que lʼon coupe en tranches le relief du paysage. Une personne qui se déplace du point $\text{A}$ au point $\text{B}$ descend de $\text{50 m}$. Une personne qui se déplace du point $\text{B}$ au point $\text{C}$ monte de $\text{100 m}$. Pour représenter cela sur une carte, il suffit de symboliser avec des courbes tous les endroits de la carte ayant la même altitude.

1. Sur la carte, quel est le point le plus haut représenté ?

2. La ville de Le Monestier se trouve-t-elle à plus de $\text{1 000 m}$ dʼaltitude ? À moins de $\text{600 m}$ ? À moins de $\text{800 m}$ ?

3. Combien y a-t-il de courbes de niveau entre $\text{1 200 m}$ et $\text{1 400 m}$ dʼaltitude ? Quelle différence dʼaltitude y a-t-il entre deux courbes de niveaux ?

Le dessin ci-après représente la Terre qui est assimilée à une sphère de $\text{6 371 km}$ de rayon. Le cercle de centre $\text{C}$ passant par $\text{M}$ représente lʼéquateur. Le point $\text{L}$ représente la ville de Londres. $\text{L}$ est situé sur la sphère et sur le cercle de centre $\text{P}$. On admettra que l'angle $\widehat{\text{LPC}}$ est un angle droit. On donne $\text{CP = 4 880 km}$.

1. Calculez $\text{PL}$ au $\text{km}$ près.

2. Calculez la mesure de lʼangle $\widehat{\text{PCL}}$ et arrondissez-le au degré près.

3. Déduisez-en, au degré près, la latitude Nord de Londres par rapport à lʼéquateur, cʼest-à-dire l'angle $\widehat{\text{LCM}}$.

La Terre est assimilée à une sphère de rayon $\text{6 371 km}$.
1. On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles $\text{(NS)}$ et équidistant de ces deux pôles. Lʼintersection de ce plan avec la Terre sʼappelle lʼéquateur. Calculez la longueur de lʼéquateur.

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2. On note $\text{C}$ le centre de la Terre et $\text{G}$ un point de lʼéquateur. On considère deux points $\text{A}$ et $\text{B}$ situés en Afrique sur lʼéquateur. Ces points sont disposés comme l'indique le schéma. On sait que $\widehat{\text{GCA}}=42^{\circ }$ et $\widehat{\text{GCB}}=9^{\circ }$. Calculez la longueur de l'arc $\text{AB}$, portion de l'équateur située en Afrique.

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Margaux possède un aquarium. Elle le soulève pour changer lʼeau. Avant que Margaux ne vide lʼaquarium, un canard en plastique flottait en plein milieu de la surface de lʼeau.
1. Quelles étaient ses coordonnées dans lʼaquarium ?

Jeanne dispose d'un moule en silicone composé de $\text{6}$ cubes de $\text{5 cm}$ de côté ainsi que de $\text{5 L}$ de pâte à gâteaux qu'elle veut utiliser.

1. Combien de fournées va-t-elle devoir réaliser ?

On dispose d'une citerne de lait de forme cylindrique de $\text{80 cm}$ de diamètre et d'une capacité de $\text{800 L}$.

1. Déterminer la hauteur de cette citerne.

La Terre est assimilée à une sphère de rayon $\text{6 371 km}$. Le parallèle passant à $40^{\circ }\mathrm{N}$ a une longueur approximative de $\text{30 740 km}$.