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Je résous des problèmes
P.228-233

Mathématiques - Je résous des problèmes


Je résous des problèmes




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Exercice 39 : Vers le Brevet (Métropole, 2010).

On considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre de départ. Multiplier ce nombre par (-2). Ajouter 5 au produit. Multiplier le résultat par 5. Écrire le résultat obtenu.

1
Vérifiez que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.



2
Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?



3
Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?



4
Arthur prétend que, pour nʼimporte quel nombre de départ, lʼexpression   permet dʼobtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?



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Exercice 40 : Programmes de calcul.

Deux programmes de calcul sont donnés :
Programme 1  Programme 2 
Choisir un nombre   Choisir un nombre  
Prendre son triple Prendre son carré
Ajouter 14 Retrancher 4

1
Avec le programme 1, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est -5 ?



2
Avec le programme 2, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ?



3
Déterminez la fonction correspondant au programme 1 et la fonction correspondant au programme 2.



4
Représentez, dans un même repère, ces deux fonctions.



5
À lʼaide du graphique, justifiez lʼaffirmation suivante : « Il existe un nombre compris entre –5 et 5 qui donne le même résultat avec le programme 1 et le programme 2. » Quel semble être ce nombre ?



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Exercice 41 : est définie par , représentée par la courbe ci-dessous.

Graphique lié à l'exercice 2
1
Calculez .



2
Quelle est lʼimage de 6 par ?



3
Factorisez à lʼaide dʼune identité remarquable. Déduisez-en le(s) antécédent(s) de -25 par .



4
Lisez graphiquement lʼantécédent de 0 par , lʼimage de 3 par , les antécédents éventuels de 2 puis de -2.



5
est la fonction représentée par la droite . Lisez graphiquement lʼimage de 0 et lʼimage de 1 par .



6
Pour tout réel , on donne avec et réels. Utilisez les résultats du e. pour déterminer et .



7
Le point A (0,5 ; –2,5) appartient-il à ?







8
Montrez que . Déduisez-en les valeurs exactes des antécédents de -2 par et comparez avec les résultats obtenus précédemment.



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Exercice 42 : Représentations graphiques.

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

1




2
est la fonction linéaire qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 2,5).



3
est la fonction linéaire dont le coefficient directeur est .



4
est la fonction qui correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 50 %.



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Exercice 43 : Représentations graphiques.

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

1




2
est la fonction affine dʼordonnée à lʼorigine 4 et qui passe par le point A (3 ; 0,5).



3
est la fonction affine de coefficient directeur 2,5 qui passe par le point B (–3 ; –1).



4
est la fonction affine qui passe par les points C (0,5 ; 0,5) et D (4 ; 1,5).



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Exercice 44 : Fonctions affines.

Déterminez lʼexpression de la fonction affine telle que :

1
et



2
et



3
et



4
et



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Exercice 45 : Fonctions affines.

Trouvez lʼexpression de telle que la droite représentative de passe par :

1
A (0 ; 0) et B (6 ; 7).



2
A (2 ; 3) et B (7 ; 6).



3
A (−1 ; 2) et B (7 ; −3).



4
A (5 ; −8) et B (−5 ; −4).



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Exercice 46 : Températures.

La fonction est déterminée par la relation suivante : . correspond à la relation qui permet de convertir une température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Le Fahrenheit est lʼunité de température que les Anglo-Saxons utilisent. On pose la température en degrés Celsius, la température en degrés Fahrenheit.

1
Complétez le tableau de valeurs suivant. Tracez la représentation obtenue.

Température en °C -10 40 100
Température en °F 32 68




2
Tracez la représentation graphique de la fonction dans un repère orthogonal : sur lʼaxe des abscisses, un carreau représente 10°C ; sur lʼaxe des ordonnées, un carreau représente 20°F.



3
Quelle est la température dʼébullition de lʼeau en degrés Fahrenheit ? Quelle est la température du passage à lʼétat solide de lʼeau ? La température usuelle du corps humain est de 37°C. Et en Fahrenheit ? À quelle température en degrés Celsius correspondent 0°F ?



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Exercice 47 : Fonctions et rectangles.

est un nombre positif. Soit un rectangle de longueur et de largeur .

1
Exprimez le périmètre du rectangle en fonction de .



2
est la fonction qui à la longueur du rectangle associe son périmètre. est-elle linéaire ? Est-elle affine ?



3
Que vaut ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.



4
Exprimez lʼaire du rectangle en fonction de .



5
est la fonction qui, à la longueur du rectangle, associe son aire. est-elle linéaire ? Est-elle affine ?



6
Que vaut ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.



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Exercice 48 : Cercle et fonction.

On trace un cercle de centre O et de rayon . est la fonction qui, au rayon du cercle, associe son périmètre. est la fonction qui, au rayon du cercle, associe lʼaire du disque correspondant.

1
Quelle est la nature de ?



2
Calculez les images de 1,5 et par et .



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Exercice 49 : Effectifs dʼun collège.

En 2012, lʼeffectif dʼun collège est de 400 élèves. Il augmente de 1,25 % à chaque nouvelle rentrée scolaire.

1
Combien compte-t-il dʼélèves lʼannée suivante ? Et en 2014 ?



2
Exprimez cette situation sous la forme dʼune fonction dont vous préciserez la nature.



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Exercice 50 : Boissons à un festival.

Graphique lié à l'exercice 3
Dans un festival, 75 % des visiteurs achètent des boissons à la buvette pour un montant moyen de 6,40 €. est le nombre de visiteurs et est la fonction définie par

1
Que représente ?



2
Calculez , , , . Concluez chacun de vos résultats par une phrase réponse.



3
On note la fonction qui, au nombre de visiteurs, associe la recette totale de la buvette. Quelle est lʼexpression de ?



4
À partir de combien de visiteurs la recette de la buvette dépasse-t-elle 1 000 € ?



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Exercice 51 : Les couts dʼune voiture.

Le père de Paul veut acheter une nouvelle voiture et sʼintéresse à la consommation dʼessence en litres de deux modèles.

1
est la fonction qui, au nombre de kilomètres parcourus, associe la quantité dʼessence consommée par le modèle A et représente la fonction équivalente pour le modèle B. Quelle est la nature de et ?



2
Dʼaprès les plaquettes publicitaires, le modèle A consomme 6 L aux 100 km et le B, 8 L aux 100 km. Déduisez-en les coefficients directeurs de et .



3
Les performances indiquées sur les publicités concernent uniquement la conduite en ville. Sur une route, le modèle A consomme 5 L aux 100 km, le modèle B, 4 L aux 100 km. Sachant que le père de Paul roule 45 % du temps en ville seulement, calculez sa consommation moyenne aux 100 km pour les deux modèles, quel que soit le type de conduite.



4
Quelle voiture choisiriez-vous ?



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Exercice 52 : Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2010).

Les parents de Charlotte souhaitent lʼinscrire dans le club dʼéquitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose 3 formules différentes. Formule A : 18 € la séance. Formule B : 165 € par carte de 10 séances. Formule C : paiement dʼune cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances.

1
Calculez le cout de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ?



2
Charlotte désirant faire du cheval toute lʼannée, ses parents décident de comparer les formules B et C. Complétez le tableau suivant.

Prix 1 carte 2 cartes 5 cartes
Formule B (en €)
Formule C (en €)




3
On appelle le nombre de cartes de 10 séances achetées. Exprimez en fonction de le cout pour la famille si elle choisit la formule B, puis si elle choisit la C.



4
Résolvez lʼinéquation suivante : .



5
À partir de combien de cartes achetées la formule C devient-elle avantageuse ?



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Exercice 53 : Pourboires au Canada.

Dans les restaurants canadiens, le service nʼest pas inclus dans le montant inscrit sur lʼaddition, et il est de coutume de laisser un pourboire de 15 % du montant de la note.

1
Pour une addition de 40 dollars canadiens, combien le client doit-il verser, pourboire inclus ? Et pour 100 dollars ?



2
est le montant de la note en dollars canadiens. est la fonction qui, au montant de lʼaddition, associe le pourboire que reçoit le serveur. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?



3
Sachant que le montant moyen des additions est de 78 dollars, de combien de tables un serveur doit-il sʼoccuper pour espérer gagner au moins 100 dollars dans la journée ? 200 dollars ?



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Exercice 54 : Vers le Brevet (Métropole, 2008).

Graphique lié à l'exercice 4
On étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids dʼune personne est adapté à sa taille. Sur le graphique, on lit en abscisse la taille en cm et en ordonnée le poids en kg.

1
Donnez le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm, arrondis au kg.



2
Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? De combien ?



3
Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ?



4
représente la taille dʼune personne, exprimée en cm. On calcule ce quʼon appelle le poids idéal en kg, que lʼon note . On a : . Calculez le poids idéal de personnes mesurant respectivement 160 cm, 165 cm et 180 cm.



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Exercice 55 : Aires et fonctions.

Graphique lié à l'exercice 5
TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que TP = 3 cm ; PA = 5 cm ; AR = 4 cm. M est un point variable du segment [PA] et on note la longueur du segment [PM].

1
Dans le cas où cm, démontrez que le triangle ARM est isocèle en A. Calculez les aires des triangles PTM et ARM.



2
Donnez les valeurs entre lesquelles peut varier.



3
Montrez que lʼaire du triangle PTM est et que lʼaire du triangle ARM est .



4
Pour quelle valeur de lʼaire du triangle ARM est-elle égale à 6 cm ?



5
Lorsque cm, quelle est lʼaire du triangle ARM ?



6
Pour , montrez par le calcul que les aires sont égales.



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Exercice 56 : Représentation graphique.

Graphique lié à l'exercice 6
est une fonction dont la représentation graphique est la courbe ci-contre.

1
Résolvez graphiquement les équations et



2
En vous aidant du graphique, que pouvez-vous conjecturer sur le signe de ?



3
On vous donne lʼexpression algébrique de : . Votre conjecture est-elle vérifiée ?



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Exercice 57 : Un cycliste.

Graphique lié à l'exercice 7
La courbe ci-contre représente la distance en km parcourue par un cycliste en fonction de la durée de son trajet en minutes.

1
La vitesse du cycliste a t-elle été constante sur toute la durée du parcours ?



2
Déterminez, par lecture graphique, combien de temps il lui a fallu pour parcourir les dix premiers kilomètres.



3
Le parcours nʼétait pas plat. Combien de montées pouvez-vous repérer sur le graphique ? Où ?



4
Déterminez la vitesse moyenne sur la totalité du parcours. Et sur les 10 premières minutes ?



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Exercice 58 : Fonctions affines.

Graphique lié à l'exercice 8
et sont deux fonctions représentées dans le repère orthogonal ci-dessous.

1
Résolvez graphiquement lʼéquation



2
Déterminez les expressionsf et en fonction de .



3
Résolvez algébriquement lʼéquation . Que constatez-vous ?



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Exercice 59 : Location de voiture.

Afin de louer une voiture, Arthur contacte trois agences de location : ADGET, BURTZ et HEVIS. Proposition dʼADGET : 150 € de frais de location auxquels sʼajoutent 0,50 € par kilomètre parcouru. Proposition de BURTZ : pas de frais de location mais 1 € par kilomètre parcouru. Proposition dʼHEVIS : forfait de 500 €, quel que soit le nombre de kilomètres parcourus.

1
Complétez le tableau :

Proposition d'ADGET Proposition de burtz Proposition d'HEVIS
100 km
500 km
1 000 km




2
On définit les fonctions A, B et H représentant les couts de location pour chacune des trois agences pour km parcourus. Définissez ces trois fonctions.



3
Dans un repère orthogonal, tracez les fonctions avec : en abscisse, 1 cm représente 100 km ; en ordonnée, 1 cm représente 100 €.



4
Déterminez graphiquement les coordonnées des points dʼintersection. Que représentent-ils ?



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Exercice 60 : Vers le Brevet (Centres étrangers, 2009).

Graphique lié à l'exercice 9
Une lanterne entièrement vitrée a la forme dʼune pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

1
Calculez le volume de la lanterne si la hauteur SO est égale à 12 cm.



2
On désigne par la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. Montrez que le volume en cm de la lanterne est donné par : . Calculez ce volume pour . Pour quelle valeur de le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm ?



3
Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté , pour plusieurs valeurs de . On veut dans la colonne A la valeur de et la valeur de dans la colonne B. Choisissez la formule à saisir dans la case B1 pour obtenir le calcul du volume 1 de la lanterne :





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Exercice 61 : Part de gâteau.

Graphique lié à l'exercice 10
On considère un cercle de centre A et de rayon 1 cm. B et C sont deux points du cercle. On note la mesure en degrés de lʼangle .

1
Quelles sont les valeurs possibles de ?



2
On rappelle quʼun tour complet représente 360°. Complétez le tableau suivant :

Mesure de l'angle (degrés) 15 30 60 72 90 120 180 240 270 360
Proportion du tour complet (%) 100




3
est la fonction qui, à la mesure de lʼangle , associe lʼaire de la surface orange. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?



4
Que vaut ? ? ? ? ?



5
est la fonction qui, à la mesure de lʼangle , associe lʼaire de la surface verte. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?



6
Que vaut ? ? ? ? ?



7
Montrez que, pour tout compris entre 0 et 360, .



8
Si , quel pourcentage du cercle représente la zone verte ? Quel est le périmètre de la zone verte ? Même question si .



9
est la fonction qui, à la mesure de lʼangle , associe le périmètre de la zone verte. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?



10
Calculez , , , .



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Exercice 62 : On définit :

1
Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 par ?



2
Calculez lʼimage par de −1 ; 1; 3 ; 6.



3
Factorisez A .



4
Déterminez le ou les antécédents de 4 par .



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Exercice 63 : Roues de vélos.

Graphique lié à l'exercice 11
On représente les roues de 3 vélos différents. Les dimensions sont en centimètres. On cherche à mesurer la distance parcourue avec ces trois vélos en fonction du nombre de tours de roue réalisés. On assimile les roues de ces vélos à des cercles de rayon 30 cm, 40 cm et 50 cm.

1
Exprimez la distance parcourue par le vélo en fonction du nombre de tours que fait la roue.



2
Complétez ce tableau pour qu'il donne la distance en mètres parcourue en fonction du nombre de tours

2 10 20
Vélo 1 100
Vélo 2 100
Vélo 3 100
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Tâche complexe : Maximisation d'un profit.

Le directeur dʼune salle de théâtre de 800 places organise chaque année un grand évènement. Il sʼinterroge sur le prix auquel il doit vendre ses places.Attention : On n'attend pas de vous la solution mathématique mais juste le raisonnement.

1
Comment lui conseilleriez-vous de faire ?



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Doc. 1
Résultats de l'année précédente.

L’année dernière, il avait fixé le prix à 40 €, ce qui lui a permis de vendre 300 places.

Doc. 2
Étude de marché.

Grâce aux chiffres des années précédentes, voici ce dont le directeur s’est aperçu :
Quand le prix baisse de 0,50 €, il vend 10 places de plus.
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