Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 10
Exercices

Je résous des problèmes

17 professeurs ont participé à cette page
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39
Vers le Brevet (Métropole, 2010).

On considère le programme de calcul ci‑dessous :
  • Choisir un nombre de départ.
  • Multiplier ce nombre par (-2).
  • Ajouter 5 au produit.
  • Multiplier le résultat par 5.
  • Écrire le résultat obtenu.

1. Vérifiez que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.

2. Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?

3. Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?

4. Arthur prétend que, pour nʼimporte quel nombre de départ, lʼexpression (x-5)^2 - x^2   permet dʼobtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?
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40
Programmes de calcul.

Deux programmes de calcul sont donnés :
Programme 1 Programme 2 
Choisir un nombre x Choisir un nombre x 
Prendre son triplePrendre son carré
Ajouter 14Retrancher 4

1. Avec le programme 1, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est -5 ?

2. Avec le programme 2, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ?

3. Déterminez la fonction f correspondant au programme 1 et la fonction g correspondant au programme 2.

4. Représentez, dans un même repère, ces deux fonctions.

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5. À lʼaide du graphique, justifiez lʼaffirmation suivante : « Il existe un nombre compris entre –5 et 5 qui donne le même résultat avec le programme 1 et le programme 2. » Quel semble être ce nombre ?
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41
f est définie par f (x) = -x^2 + 2x - 1, représentée par la courbe C_f ci-dessous.

Graphique lié à l'exercice 2
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1. Calculez f (-3).

2. Quelle est lʼimage de 6 par f ?

3. Factorisez f (x) à lʼaide dʼune identité remarquable. Déduisez-en le(s) antécédent(s) de -25 par f.

4. Lisez graphiquement lʼantécédent de 0 par f, lʼimage de 3 par f, les antécédents éventuels de 2 puis de -2.

5. g est la fonction représentée par la droite C_g. Lisez graphiquement lʼimage de 0 et lʼimage de 1 par g.

6. Pour tout réel x, on donne g (x) = ax + b avec a et b réels. Utilisez les résultats du e. pour déterminer a et b.

7. Le point A (0,5 ; –2,5) appartient-il à C_g ?




8. Montrez que -x^2 + 2x + 1 = -((x - 1)^2 - 2). Déduisez-en les valeurs exactes des antécédents de -2 par f et comparez avec les résultats obtenus précédemment.
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42
Représentations graphiques.

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

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1. f : x \mapsto 6\text{,}5x

2. g est la fonction linéaire qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 2,5).

3. h est la fonction linéaire dont le coefficient directeur est \dfrac{1}{3}.

4. i est la fonction qui correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 50 %.
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43
Représentations graphiques.

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

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1. f : x \mapsto 4x - 3

2. g est la fonction affine dʼordonnée à lʼorigine 4 et qui passe par le point A (3 ; 0,5).

3. h est la fonction affine de coefficient directeur 2,5 qui passe par le point B (–3 ; –1).

4. i est la fonction affine qui passe par les points C (0,5 ; 0,5) et D (4 ; 1,5).
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44
Savoir refaire
Fonctions affines.

Déterminez lʼexpression de la fonction affine f telle que :

1. f (0) = 0 et f (-2) = 3

2. f (0) = 4 et f (4) = 0

3. f (\dfrac{1}{2}) = -1 et f (-2) = 1

4. f (-5) = 3 et f (-10) = 6
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45
Fonctions affines.

Trouvez lʼexpression de f : x \mapsto ax + b telle que la droite représentative de f passe par :

1. A (0 ; 0) et B (6 ; 7).

2. A (2 ; 3) et B (7 ; 6).

3. A (−1 ; 2) et B (7 ; −3).

4. A (5 ; −8) et B (−5 ; −4).
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46
Températures.

La fonction f est déterminée par la relation suivante : f : t \mapsto 1\text{,}8\:t + 32. f correspond à la relation qui permet de convertir une température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Le Fahrenheit est lʼunité de température que les Anglo-Saxons utilisent. On pose t la température en degrés Celsius, f(t) la température en degrés Fahrenheit.

1. Complétez le tableau de valeurs suivant. Tracez la représentation obtenue.

Température en °C -10
40 100
Température en °F
32 68

2. Tracez la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal : sur lʼaxe des abscisses, un carreau représente 10°C ; sur lʼaxe des ordonnées, un carreau représente 20°F.

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3. Quelle est la température dʼébullition de lʼeau en degrés Fahrenheit ? Quelle est la température du passage à lʼétat solide de lʼeau ? La température usuelle du corps humain est de 37°C. Et en Fahrenheit ? À quelle température en degrés Celsius correspondent 0°F ?
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47
Fonctions et rectangles.

x est un nombre positif. Soit un rectangle de longueur x et de largeur x-4.

1. Exprimez le périmètre du rectangle en fonction de x.

2. f est la fonction qui à la longueur x du rectangle associe son périmètre. f est-elle linéaire ? Est-elle affine ?

3. Que vaut f (5) ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.

4. Exprimez lʼaire du rectangle en fonction de x.

5. g est la fonction qui, à la longueur x du rectangle, associe son aire. g est-elle linéaire ? Est-elle affine ?

6. Que vaut g (10) ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.
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48
Cercle et fonction.

On trace un cercle de centre O et de rayon x. f est la fonction qui, au rayon du cercle, associe son périmètre. g est la fonction qui, au rayon du cercle, associe lʼaire du disque correspondant.

1. Quelle est la nature de f ?

2. Calculez les images de 1,5 et \pi par f et g.
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49
Effectifs dʼun collège.

En 2012, lʼeffectif dʼun collège est de 400 élèves. Il augmente de 1,25 % à chaque nouvelle rentrée scolaire.

1. Combien compte-t-il dʼélèves lʼannée suivante ? Et en 2014 ?

2. Exprimez cette situation sous la forme dʼune fonction dont vous préciserez la nature.
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50
Boissons à un festival.

Placeholder pour Photos de boissons à base de fruits.Photos de boissons à base de fruits.
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Dans un festival, 75 % des visiteurs achètent des boissons à la buvette pour un montant moyen de 6,40 €. x est le nombre de visiteurs et f est la fonction définie par f : x \mapsto \dfrac{ 3}{ 4}x

1. Que représente f ?

2. Calculez f (0), f (100), f (256), f (2\:500). Concluez chacun de vos résultats par une phrase réponse.

3. On note g la fonction qui, au nombre de visiteurs, associe la recette totale de la buvette. Quelle est lʼexpression de g ?

4. À partir de combien de visiteurs la recette de la buvette dépasse-t-elle 1 000 € ?
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Les couts dʼune voiture.

Le père de Paul veut acheter une nouvelle voiture et sʼintéresse à la consommation dʼessence en litres de deux modèles.

1. f est la fonction qui, au nombre x de kilomètres parcourus, associe la quantité dʼessence consommée par le modèle A et g représente la fonction équivalente pour le modèle B. Quelle est la nature de f et g ?

2. Dʼaprès les plaquettes publicitaires, le modèle A consomme 6 L aux 100 km et le B, 8 L aux 100 km. Déduisez-en les coefficients directeurs de f et g.

3. Les performances indiquées sur les publicités concernent uniquement la conduite en ville. Sur une route, le modèle A consomme 5 L aux 100 km, le modèle B, 4 L aux 100 km. Sachant que le père de Paul roule 45 % du temps en ville seulement, calculez sa consommation moyenne aux 100 km pour les deux modèles, quel que soit le type de conduite.

4. Quelle voiture choisiriez-vous ?
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52
Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2010).

Les parents de Charlotte souhaitent lʼinscrire dans le club dʼéquitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose 3 formules différentes.

Formule A : 18 € la séance.
Formule B : 165 € par carte de 10 séances.
Formule C : paiement dʼune cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances.

1. Calculez le cout de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ?

2. Charlotte désirant faire du cheval toute lʼannée, ses parents décident de comparer les formules B et C. Complétez le tableau suivant.
Prix 1 carte 2 cartes 5 cartes
Formule B (en €)
Formule C (en €)

3. On appelle x le nombre de cartes de 10 séances achetées. Exprimez en fonction de x le cout pour la famille si elle choisit la formule B, puis si elle choisit la C.

4. Résolvez lʼinéquation suivante : 140x + 70 \leq 165x.

5. À partir de combien de cartes achetées la formule C devient-elle avantageuse ?
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53
Pourboires au Canada.

Dans les restaurants canadiens, le service nʼest pas inclus dans le montant inscrit sur lʼaddition, et il est de coutume de laisser un pourboire de 15 % du montant de la note.

1. Pour une addition de 40 dollars canadiens, combien le client doit-il verser, pourboire inclus ? Et pour 100 dollars ?

2. x est le montant de la note en dollars canadiens. f est la fonction qui, au montant de lʼaddition, associe le pourboire que reçoit le serveur. Exprimez f en fonction de x. Quelle est la nature de f ?

3. Sachant que le montant moyen des additions est de 78 dollars, de combien de tables un serveur doit-il sʼoccuper pour espérer gagner au moins 100 dollars dans la journée ? 200 dollars ?
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54
Vers le Brevet (Métropole, 2008).

Graphique représentant deux méthodes permettant de déterminer si le poids d'une personne est adapté à sa taille.
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On étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids dʼune personne est adapté à sa taille. Sur le graphique, on lit en abscisse la taille en cm et en ordonnée le poids en kg.

1. Donnez le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm, arrondis au kg.

2. Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? De combien ?

3. Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ?

4. t représente la taille dʼune personne, exprimée en cm. On calcule ce quʼon appelle le poids idéal en kg, que lʼon note p. On a : p = t - 100 - \dfrac{t - 150}{4}. Calculez le poids idéal de personnes mesurant respectivement 160 cm, 165 cm et 180 cm.
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55
Aires et fonctions.

Trapèze TRAP rectangle en A et P.
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TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que TP = 3 cm ; PA = 5 cm ; AR = 4 cm. M est un point variable du segment [PA] et on note x la longueur du segment [PM].

1. Dans le cas où x = 1 cm, démontrez que le triangle ARM est isocèle en A. Calculez les aires des triangles PTM et ARM.

2. Donnez les valeurs entre lesquelles x peut varier.

3. Montrez que lʼaire du triangle PTM est 1\text{,}5x et que lʼaire du triangle ARM est 10 - 2x.

4. Pour quelle valeur de x lʼaire du triangle ARM est-elle égale à 6 cm^2 ?

5. Lorsque x = 4 cm, quelle est lʼaire du triangle ARM ?

6. Pour x = \dfrac{100}{35}, montrez par le calcul que les aires sont égales.
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56
Représentation graphique.

Graphique lié à l'exercice 6
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f est une fonction dont la représentation graphique est la courbe C_f ci contre.

1. Résolvez graphiquement les équations f (x) = 6 et f (x) = 0.

2. En vous aidant du graphique, que pouvez‑vous conjecturer sur le signe de f ?

3. On vous donne lʼexpression algébrique de f : f : x \mapsto (x - 7)^2. Votre conjecture est‑elle vérifiée ?
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57
Un cycliste.

Graphique représentant une courbe du parcours en km d'un cycliste
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La courbe ci-contre représente la distance d en km parcourue par un cycliste en fonction de la durée t de son trajet en minutes.

1. La vitesse du cycliste a t-elle été constante sur toute la durée du parcours ?

2. Déterminez, par lecture graphique, combien de temps il lui a fallu pour parcourir les dix premiers kilomètres.

3. Le parcours nʼétait pas plat. Combien de montées pouvez-vous repérer sur le graphique ? Où ?

4. Déterminez la vitesse moyenne sur la totalité du parcours. Et sur les 10 premières minutes ?
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Savoir refaire
Fonctions affines.

Repère orthogonal sur lequel sont représentées les deux fonctions f et g
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f et g sont deux fonctions représentées dans le repère orthogonal ci-dessous.

1. Résolvez graphiquement lʼéquation f (x) = g (x).

2. Déterminez les expressionsf et g en fonction de x.

3. Résolvez algébriquement lʼéquation f (x) = g (x). Que constatez-vous ?
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Location de voiture.

Afin de louer une voiture, Arthur contacte trois agences de location : ADGET, BURTZ et HEVIS. Proposition dʼADGET : 150 € de frais de location auxquels sʼajoutent 0,50 € par kilomètre parcouru. Proposition de BURTZ : pas de frais de location mais 1 € par kilomètre parcouru. Proposition dʼHEVIS : forfait de 500 €, quel que soit le nombre de kilomètres parcourus.

1. Complétez le tableau :
Proposition d'ADGET Proposition de burtz Proposition d'HEVIS
100 km
500 km
1 000 km

2. On définit les fonctions A, B et H représentant les couts de location pour chacune des trois agences pour x km parcourus. Définissez ces trois fonctions.

3. Dans un repère orthogonal, tracez les fonctions avec : en abscisse, 1 cm représente 100 km ; en ordonnée, 1 cm représente 100 €.

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4. Déterminez graphiquement les coordonnées des points dʼintersection. Que représentent-ils ?
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60
Vers le Brevet (Centres étrangers, 2009).

Figure d'une lanterne pyramidale.
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Une lanterne entièrement vitrée a la forme dʼune pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

1. Calculez le volume de la lanterne si la hauteur SO est égale à 12 cm.

2. On désigne par x la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. Montrez que le volume en cm^3 de la lanterne est donné par : V (x) = 1\:470 + 35x. Calculez ce volume pour x = 7. Pour quelle valeur de x le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm^3 ?

3. Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté V (x), pour plusieurs valeurs de x. On veut dans la colonne A la valeur de x et la valeur de V (x) dans la colonne B. Choisissez la formule à saisir dans la case B1 pour obtenir le calcul du volume 1 de la lanterne :

AB
1
2
3





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61
Part de gâteau.

Cercle contenant le triangle ABC
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On considère un cercle de centre A et de rayon 1 cm. B et C sont deux points du cercle. On note x la mesure en degrés de lʼangle \widehat{\text{BAC}}.

1. Quelles sont les valeurs possibles de x ?

2. On rappelle qu'un tour complet représente 360^{\circ}. Complétez le tableau suivant :

Mesure de l'angle (degrés)1530607290120180240270360
Proportion du tour complet (\%)
100

3. f est la fonction qui, à la mesure x de l'angle \widehat{\text{BAC}}, associe l'aire de la surface orange. Exprimez f en fonction de x. Ouelle est la nature de f ?

4. Que vaut f(0) ? f(60) ? f(180) ? f(300) ? f(360) ?

5. g est la fonction qui, à la mesure x de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}}, associe l'aire de la surface verte. Exprimez g en fonction de x. Quelle est la nature de g ?

6. Que vaut g(360) ? g(300) ? g(180) ? g(60) ? g(0) ?

7. Montrez que, pour tout x compris entre 0 et 360 , f(x)+g(x)=\pi.