Mathématiques Cycle 4Rejoignez la communauté !
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 10
Exercices
Je résous des problèmes
39 Vers le Brevet (Métropole, 2010).
On considère le programme de calcul ci‑dessous :
- Choisir un nombre de départ.
- Multiplier ce nombre par (-2).
- Ajouter 5 au produit.
- Multiplier le résultat par 5.
- Écrire le résultat obtenu.
1. Vérifiez que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.
2. Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?
2. Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?
3. Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?
4. Arthur prétend que, pour nʼimporte quel nombre de départ, lʼexpression permet dʼobtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?
4. Arthur prétend que, pour nʼimporte quel nombre de départ, lʼexpression permet dʼobtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?
40 Programmes de calcul.
Deux programmes de calcul sont donnés :
1. Avec le programme 1, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est -5 ?
2. Avec le programme 2, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ?
3. Déterminez la fonction correspondant au programme 1 et la fonction correspondant au programme 2.
4. Représentez, dans un même repère, ces deux fonctions.
5. À lʼaide du graphique, justifiez lʼaffirmation suivante : « Il existe un nombre compris entre –5 et 5 qui donne le même résultat avec le programme 1 et le programme 2. » Quel semble être ce nombre ?
| Programme 1 | Programme 2 |
| Choisir un nombre | Choisir un nombre |
| Prendre son triple | Prendre son carré |
| Ajouter 14 | Retrancher 4 |
1. Avec le programme 1, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est -5 ?
2. Avec le programme 2, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ?
3. Déterminez la fonction correspondant au programme 1 et la fonction correspondant au programme 2.
4. Représentez, dans un même repère, ces deux fonctions.
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5. À lʼaide du graphique, justifiez lʼaffirmation suivante : « Il existe un nombre compris entre –5 et 5 qui donne le même résultat avec le programme 1 et le programme 2. » Quel semble être ce nombre ?
41 est définie par , représentée par la courbe ci-dessous.
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1. Calculez .
2. Quelle est lʼimage de 6 par ?
3. Factorisez à lʼaide dʼune identité remarquable. Déduisez-en le(s) antécédent(s) de -25 par .
4. Lisez graphiquement lʼantécédent de 0 par , lʼimage de 3 par , les antécédents éventuels de 2 puis de -2.
2. Quelle est lʼimage de 6 par ?
3. Factorisez à lʼaide dʼune identité remarquable. Déduisez-en le(s) antécédent(s) de -25 par .
4. Lisez graphiquement lʼantécédent de 0 par , lʼimage de 3 par , les antécédents éventuels de 2 puis de -2.
5. est la fonction représentée par la droite . Lisez graphiquement lʼimage de 0 et lʼimage de 1 par .
6. Pour tout réel , on donne avec et réels. Utilisez les résultats du e. pour déterminer et .
7. Le point A (0,5 ; –2,5) appartient-il à ?
8. Montrez que . Déduisez-en les valeurs exactes des antécédents de -2 par et comparez avec les résultats obtenus précédemment.
6. Pour tout réel , on donne avec et réels. Utilisez les résultats du e. pour déterminer et .
7. Le point A (0,5 ; –2,5) appartient-il à ?
8. Montrez que . Déduisez-en les valeurs exactes des antécédents de -2 par et comparez avec les résultats obtenus précédemment.
42 Représentations graphiques.
Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.
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1.
2. est la fonction linéaire qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 2,5).
2. est la fonction linéaire qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 2,5).
3. est la fonction linéaire dont le coefficient directeur est .
4. est la fonction qui correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 50 %.
4. est la fonction qui correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 50 %.
43 Représentations graphiques.
Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.
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1.
2. est la fonction affine dʼordonnée à lʼorigine 4 et qui passe par le point A (3 ; 0,5).
2. est la fonction affine dʼordonnée à lʼorigine 4 et qui passe par le point A (3 ; 0,5).
3. est la fonction affine de coefficient directeur 2,5 qui passe par le point B (–3 ; –1).
4. est la fonction affine qui passe par les points C (0,5 ; 0,5) et D (4 ; 1,5).
4. est la fonction affine qui passe par les points C (0,5 ; 0,5) et D (4 ; 1,5).
44 Savoir refaire Fonctions affines.
Déterminez lʼexpression de la fonction affine telle que :
1. et
2. et
2. et
3. et
4. et
4. et
45 Fonctions affines.
Trouvez lʼexpression de telle que la droite représentative de passe par :
1. A (0 ; 0) et B (6 ; 7).
2. A (2 ; 3) et B (7 ; 6).
2. A (2 ; 3) et B (7 ; 6).
3. A (−1 ; 2) et B (7 ; −3).
4. A (5 ; −8) et B (−5 ; −4).
4. A (5 ; −8) et B (−5 ; −4).
46 Températures.
La fonction est déterminée par la relation suivante : . correspond à la relation qui permet de convertir une température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Le Fahrenheit est lʼunité de température que les Anglo-Saxons utilisent. On pose la température en degrés Celsius, la température en degrés Fahrenheit.
1. Complétez le tableau de valeurs suivant. Tracez la représentation obtenue.
2. Tracez la représentation graphique de la fonction dans un repère orthogonal : sur lʼaxe des abscisses, un carreau représente 10°C ; sur lʼaxe des ordonnées, un carreau représente 20°F.
3. Quelle est la température dʼébullition de lʼeau en degrés Fahrenheit ? Quelle est la température du passage à lʼétat solide de lʼeau ? La température usuelle du corps humain est de 37°C. Et en Fahrenheit ? À quelle température en degrés Celsius correspondent 0°F ?
1. Complétez le tableau de valeurs suivant. Tracez la représentation obtenue.
| Température en °C | -10 |
|
| 40 | 100 |
| Température en °F |
| 32 | 68 |
|
|
2. Tracez la représentation graphique de la fonction dans un repère orthogonal : sur lʼaxe des abscisses, un carreau représente 10°C ; sur lʼaxe des ordonnées, un carreau représente 20°F.
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3. Quelle est la température dʼébullition de lʼeau en degrés Fahrenheit ? Quelle est la température du passage à lʼétat solide de lʼeau ? La température usuelle du corps humain est de 37°C. Et en Fahrenheit ? À quelle température en degrés Celsius correspondent 0°F ?
47 Fonctions et rectangles.
est un nombre positif. Soit un rectangle de longueur et de largeur .
1. Exprimez le périmètre du rectangle en fonction de .
2. est la fonction qui à la longueur du rectangle associe son périmètre. est-elle linéaire ? Est-elle affine ?
3. Que vaut ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.
2. est la fonction qui à la longueur du rectangle associe son périmètre. est-elle linéaire ? Est-elle affine ?
3. Que vaut ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.
4. Exprimez lʼaire du rectangle en fonction de .
5. est la fonction qui, à la longueur du rectangle, associe son aire. est-elle linéaire ? Est-elle affine ?
6. Que vaut ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.
5. est la fonction qui, à la longueur du rectangle, associe son aire. est-elle linéaire ? Est-elle affine ?
6. Que vaut ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.
48 Cercle et fonction.
On trace un cercle de centre O et de rayon . est la fonction qui, au rayon du cercle, associe son périmètre. est la fonction qui, au rayon du cercle, associe lʼaire du disque correspondant.
1. Quelle est la nature de ?
2. Calculez les images de 1,5 et par et .
1. Quelle est la nature de ?
2. Calculez les images de 1,5 et par et .
49 Effectifs dʼun collège.
En 2012, lʼeffectif dʼun collège est de 400 élèves. Il augmente de 1,25 % à chaque nouvelle rentrée scolaire.
1. Combien compte-t-il dʼélèves lʼannée suivante ? Et en 2014 ?
2. Exprimez cette situation sous la forme dʼune fonction dont vous préciserez la nature.
1. Combien compte-t-il dʼélèves lʼannée suivante ? Et en 2014 ?
2. Exprimez cette situation sous la forme dʼune fonction dont vous préciserez la nature.
50 Boissons à un festival.
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Crédits : Elena Veselova/Shutterstock
1. Que représente ?
2. Calculez , , , . Concluez chacun de vos résultats par une phrase réponse.
2. Calculez , , , . Concluez chacun de vos résultats par une phrase réponse.
3. On note la fonction qui, au nombre de visiteurs, associe la recette totale de la buvette. Quelle est lʼexpression de ?
4. À partir de combien de visiteurs la recette de la buvette dépasse-t-elle 1 000 € ?
4. À partir de combien de visiteurs la recette de la buvette dépasse-t-elle 1 000 € ?
51 Les couts dʼune voiture.
Le père de Paul veut acheter une nouvelle voiture et sʼintéresse à la consommation dʼessence en litres de deux modèles.
1. est la fonction qui, au nombre de kilomètres parcourus, associe la quantité dʼessence consommée par le modèle A et représente la fonction équivalente pour le modèle B. Quelle est la nature de et ?
2. Dʼaprès les plaquettes publicitaires, le modèle A consomme 6 L aux 100 km et le B, 8 L aux 100 km. Déduisez-en les coefficients directeurs de et .
2. Dʼaprès les plaquettes publicitaires, le modèle A consomme 6 L aux 100 km et le B, 8 L aux 100 km. Déduisez-en les coefficients directeurs de et .
3. Les performances indiquées sur les publicités concernent uniquement la conduite en ville. Sur une route, le modèle A consomme 5 L aux 100 km, le modèle B, 4 L aux 100 km. Sachant que le père de Paul roule 45 % du temps en ville seulement, calculez sa consommation moyenne aux 100 km pour les deux modèles, quel que soit le type de conduite.
4. Quelle voiture choisiriez-vous ?
4. Quelle voiture choisiriez-vous ?
52 Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2010).
Les parents de Charlotte souhaitent lʼinscrire dans le club dʼéquitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose 3 formules différentes.
Formule A : 18 € la séance.
Formule B : 165 € par carte de 10 séances.
Formule C : paiement dʼune cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances.
1. Calculez le cout de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ?
2. Charlotte désirant faire du cheval toute lʼannée, ses parents décident de comparer les formules B et C. Complétez le tableau suivant.
3. On appelle le nombre de cartes de 10 séances achetées. Exprimez en fonction de le cout pour la famille si elle choisit la formule B, puis si elle choisit la C.
4. Résolvez lʼinéquation suivante : .
5. À partir de combien de cartes achetées la formule C devient-elle avantageuse ?
Formule A : 18 € la séance.
Formule B : 165 € par carte de 10 séances.
Formule C : paiement dʼune cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances.
1. Calculez le cout de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ?
2. Charlotte désirant faire du cheval toute lʼannée, ses parents décident de comparer les formules B et C. Complétez le tableau suivant.
| Prix | 1 carte | 2 cartes | 5 cartes |
| Formule B (en €) |
|
|
|
| Formule C (en €) |
|
|
|
3. On appelle le nombre de cartes de 10 séances achetées. Exprimez en fonction de le cout pour la famille si elle choisit la formule B, puis si elle choisit la C.
4. Résolvez lʼinéquation suivante : .
5. À partir de combien de cartes achetées la formule C devient-elle avantageuse ?
53 Pourboires au Canada.
Dans les restaurants canadiens, le service nʼest pas inclus dans le montant inscrit sur lʼaddition, et il est de coutume de laisser un pourboire de 15 % du montant de la note.
1. Pour une addition de 40 dollars canadiens, combien le client doit-il verser, pourboire inclus ? Et pour 100 dollars ?
2. est le montant de la note en dollars canadiens. est la fonction qui, au montant de lʼaddition, associe le pourboire que reçoit le serveur. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?
3. Sachant que le montant moyen des additions est de 78 dollars, de combien de tables un serveur doit-il sʼoccuper pour espérer gagner au moins 100 dollars dans la journée ? 200 dollars ?
1. Pour une addition de 40 dollars canadiens, combien le client doit-il verser, pourboire inclus ? Et pour 100 dollars ?
2. est le montant de la note en dollars canadiens. est la fonction qui, au montant de lʼaddition, associe le pourboire que reçoit le serveur. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?
3. Sachant que le montant moyen des additions est de 78 dollars, de combien de tables un serveur doit-il sʼoccuper pour espérer gagner au moins 100 dollars dans la journée ? 200 dollars ?
54 Vers le Brevet (Métropole, 2008).
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1. Donnez le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm, arrondis au kg.
2. Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? De combien ?
3. Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ?
4. représente la taille dʼune personne, exprimée en cm. On calcule ce quʼon appelle le poids idéal en kg, que lʼon note . On a : . Calculez le poids idéal de personnes mesurant respectivement 160 cm, 165 cm et 180 cm.
2. Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? De combien ?
3. Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ?
4. représente la taille dʼune personne, exprimée en cm. On calcule ce quʼon appelle le poids idéal en kg, que lʼon note . On a : . Calculez le poids idéal de personnes mesurant respectivement 160 cm, 165 cm et 180 cm.
55 Aires et fonctions.
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1. Dans le cas où cm, démontrez que le triangle ARM est isocèle en A. Calculez les aires des triangles PTM et ARM.
2. Donnez les valeurs entre lesquelles peut varier.
3. Montrez que lʼaire du triangle PTM est et que lʼaire du triangle ARM est .
2. Donnez les valeurs entre lesquelles peut varier.
3. Montrez que lʼaire du triangle PTM est et que lʼaire du triangle ARM est .
4. Pour quelle valeur de lʼaire du triangle ARM est-elle égale à 6 cm ?
5. Lorsque cm, quelle est lʼaire du triangle ARM ?
6. Pour , montrez par le calcul que les aires sont égales.
5. Lorsque cm, quelle est lʼaire du triangle ARM ?
6. Pour , montrez par le calcul que les aires sont égales.
56 Représentation graphique.
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1. Résolvez graphiquement les équations et
2. En vous aidant du graphique, que pouvez‑vous conjecturer sur le signe de ?
3. On vous donne lʼexpression algébrique de : . Votre conjecture est‑elle vérifiée ?
2. En vous aidant du graphique, que pouvez‑vous conjecturer sur le signe de ?
3. On vous donne lʼexpression algébrique de : . Votre conjecture est‑elle vérifiée ?
57 Un cycliste.
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1. La vitesse du cycliste a t-elle été constante sur toute la durée du parcours ?
2. Déterminez, par lecture graphique, combien de temps il lui a fallu pour parcourir les dix premiers kilomètres.
2. Déterminez, par lecture graphique, combien de temps il lui a fallu pour parcourir les dix premiers kilomètres.
3. Le parcours nʼétait pas plat. Combien de montées pouvez-vous repérer sur le graphique ? Où ?
4. Déterminez la vitesse moyenne sur la totalité du parcours. Et sur les 10 premières minutes ?
4. Déterminez la vitesse moyenne sur la totalité du parcours. Et sur les 10 premières minutes ?
58 Savoir refaire Fonctions affines.
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et sont deux fonctions représentées dans le repère orthogonal ci-dessous.
1. Résolvez graphiquement lʼéquation
2. Déterminez les expressionsf et en fonction de
3. Résolvez algébriquement lʼéquation Que constatez-vous ?
1. Résolvez graphiquement lʼéquation
2. Déterminez les expressionsf et en fonction de
3. Résolvez algébriquement lʼéquation Que constatez-vous ?
59 Location de voiture.
Afin de louer une voiture, Arthur contacte trois agences de location : ADGET, BURTZ et HEVIS. Proposition dʼADGET : 150 € de frais de location auxquels sʼajoutent 0,50 € par kilomètre parcouru. Proposition de BURTZ : pas de frais de location mais 1 € par kilomètre parcouru. Proposition dʼHEVIS : forfait de 500 €, quel que soit le nombre de kilomètres parcourus.
1. Complétez le tableau :
2. On définit les fonctions A, B et H représentant les couts de location pour chacune des trois agences pour km parcourus. Définissez ces trois fonctions.
3. Dans un repère orthogonal, tracez les fonctions avec : en abscisse, 1 cm représente 100 km ; en ordonnée, 1 cm représente 100 €.
4. Déterminez graphiquement les coordonnées des points dʼintersection. Que représentent-ils ?
1. Complétez le tableau :
| Proposition d'ADGET | Proposition de burtz | Proposition d'HEVIS | |
| 100 km |
|
|
|
| 500 km |
|
|
|
| 1 000 km |
|
|
|
2. On définit les fonctions A, B et H représentant les couts de location pour chacune des trois agences pour km parcourus. Définissez ces trois fonctions.
3. Dans un repère orthogonal, tracez les fonctions avec : en abscisse, 1 cm représente 100 km ; en ordonnée, 1 cm représente 100 €.
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4. Déterminez graphiquement les coordonnées des points dʼintersection. Que représentent-ils ?
60 Vers le Brevet (Centres étrangers, 2009).
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1. Calculez le volume de la lanterne si la hauteur SO est égale à 12 cm.
2. On désigne par la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. Montrez que le volume en cm de la lanterne est donné par : . Calculez ce volume pour . Pour quelle valeur de le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm ?
3. Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté , pour plusieurs valeurs de . On veut dans la colonne A la valeur de et la valeur de dans la colonne B. Choisissez la formule à saisir dans la case B1 pour obtenir le calcul du volume 1 de la lanterne :
2. On désigne par la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. Montrez que le volume en cm de la lanterne est donné par : . Calculez ce volume pour . Pour quelle valeur de le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm ?
3. Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté , pour plusieurs valeurs de . On veut dans la colonne A la valeur de et la valeur de dans la colonne B. Choisissez la formule à saisir dans la case B1 pour obtenir le calcul du volume 1 de la lanterne :
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 |
61 Part de gâteau.
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On considère un cercle de centre A et de rayon 1 cm. B et C sont deux points du cercle. On note la mesure en degrés de lʼangle .
1. Quelles sont les valeurs possibles de ?
1. Quelles sont les valeurs possibles de ?
2. On rappelle qu'un tour complet représente . Complétez le tableau suivant :
| Mesure de l'angle (degrés) | 15 | 30 | 60 | 72 | 90 | 120 | 180 | 240 | 270 | 360 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Proportion du tour complet | 100 |
3. est la fonction qui, à la mesure de l'angle , associe l'aire de la surface orange. Exprimez en fonction de . Ouelle est la nature de ?
4. Que vaut ? ? ? ? ?
5. est la fonction qui, à la mesure de l'angle , associe l'aire de la surface verte. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?
6. Que vaut ? ? ? ? ?
4. Que vaut ? ? ? ? ?
5. est la fonction qui, à la mesure de l'angle , associe l'aire de la surface verte. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?
6. Que vaut ? ? ? ? ?
7. Montrez que, pour tout compris entre et , .
8. Si , quel pourcentage du cercle représente la zone verte ? Quel est le périmètre de la zone verte ? Même question si .
9. est la fonction qui, à la mesure de l'angle , associe le périmètre de la zone verte. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?
10. Calculez , , ,
8. Si , quel pourcentage du cercle représente la zone verte ? Quel est le périmètre de la zone verte ? Même question si .
9. est la fonction qui, à la mesure de l'angle , associe le périmètre de la zone verte. Exprimez en fonction de . Quelle est la nature de ?
10. Calculez , , ,
62 On définit :
1. Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 par ?
2. Calculez lʼimage par de −1 ; 1; 3 ; 6.
2. Calculez lʼimage par de −1 ; 1; 3 ; 6.
3. Factorisez A .
4. Déterminez le ou les antécédents de 4 par .
4. Déterminez le ou les antécédents de 4 par .
63 Roues de vélos.
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1. Exprimez la distance parcourue par le vélo en fonction du nombre de tours que fait la roue.
2. Complétez ce tableau pour qu'il donne la distance en mètres parcourue en fonction du nombre de tours
| 2 | 10 | 20 |
|
|
| |
| Vélo 1 |
|
|
| 100 | ||
| Vélo 2 |
|
|
| 100 | ||
| Vélo 3 |
|
|
| 100 |
Tâche complexeMaximisation d'un profit.
Énoncé
Le directeur dʼune salle de théâtre de 800 places organise chaque année un grand évènement. Il sʼinterroge sur le prix auquel il doit vendre ses places. Attention : On n'attend pas de vous la solution mathématique mais juste le raisonnement.
Comment lui conseilleriez-vous de faire ?
Pour faire cet exercice pensez à utiliser le tableur-grapheur.
Aide
Comment lui conseilleriez-vous de faire ?
Doc. 1 Résultats de l'année précédente.
L'année dernière, il avait fixé le prix à 40 €, ce qui lui a permis de vendre 300 places.
Doc. 2 Étude de marché.
Grâce aux chiffres des années précédentes, voici ce dont le directeur s'est aperçu :
Quand le prix baisse de 0,50 €, il vend 10 places de plus.
Quand le prix baisse de 0,50 €, il vend 10 places de plus.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarahPremium activé
5
