On considère le programme de calcul ci-dessous :
Choisir un nombre de départ.
Multiplier ce nombre par (-2).
Ajouter 5 au produit.
Multiplier le résultat par 5.
Écrire le résultat obtenu.
1
Vérifiez que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.
2
Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?
3
Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?
4
Arthur prétend que, pour nʼimporte quel nombre de départ, lʼexpression (x−5)2−x2 permet dʼobtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?
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Exercice 40 : Programmes de calcul.
Deux programmes de calcul sont donnés :
Programme 1
Programme 2
Choisir un nombre x
Choisir un nombre x
Prendre son triple
Prendre son carré
Ajouter 14
Retrancher 4
1
Avec le programme 1, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est -5 ?
2
Avec le programme 2, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ?
3
Déterminez la fonction f correspondant au programme 1 et la fonction g correspondant au programme 2.
4
Représentez, dans un même repère, ces deux fonctions.
5
À lʼaide du graphique, justifiez lʼaffirmation suivante : « Il existe un nombre compris entre –5 et 5 qui donne le même résultat avec le programme 1 et le programme 2. » Quel semble être ce nombre ?
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Exercice 41 : f est définie par f(x)=−x2+2x−1, représentée par la courbe Cf ci-dessous.
1
Calculez f(−3).
2
Quelle est lʼimage de 6 par f ?
3
Factorisez f(x) à lʼaide dʼune identité remarquable. Déduisez-en le(s) antécédent(s) de -25 par f.
4
Lisez graphiquement lʼantécédent de 0 par f, lʼimage de 3 par f, les antécédents éventuels de 2 puis de -2.
5
g est la fonction représentée par la droite Cg. Lisez graphiquement lʼimage de 0 et lʼimage de 1 par g.
6
Pour tout réel x, on donne g(x)=ax+b avec a et b réels. Utilisez les résultats du e. pour déterminer a et b.
7
Le point A (0,5 ; –2,5) appartient-il à Cg ?
8
Montrez que −x2+2x+1=−((x−1)2−2). Déduisez-en les valeurs exactes des antécédents de -2 par f et comparez avec les résultats obtenus précédemment.
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Exercice 42 : Représentations graphiques.
Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.
1
f:x↦6,5x
2
g est la fonction linéaire qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 2,5).
3
h est la fonction linéaire dont le coefficient directeur est 31.
4
i est la fonction qui correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 50 %.
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Exercice 43 : Représentations graphiques.
Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.
1
f:x↦4x−3
2
g est la fonction affine dʼordonnée à lʼorigine 4 et qui passe par le point A (3 ; 0,5).
3
h est la fonction affine de coefficient directeur 2,5 qui passe par le point B (–3 ; –1).
4
i est la fonction affine qui passe par les points C (0,5 ; 0,5) et D (4 ; 1,5).
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Exercice 44 : Fonctions affines.
Déterminez lʼexpression de la fonction affine f telle que :
1
f(0)=0 et f(−2)=3
2
f(0)=4 et f(4)=0
3
f(21)=−1 et f(−2)=1
4
f(−5)=3 et f(−10)=6
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Exercice 45 : Fonctions affines.
Trouvez lʼexpression de f:x↦ax+b telle que la droite représentative de f passe par :
1
A (0 ; 0) et B (6 ; 7).
2
A (2 ; 3) et B (7 ; 6).
3
A (−1 ; 2) et B (7 ; −3).
4
A (5 ; −8) et B (−5 ; −4).
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Exercice 46 : Températures.
La fonction f est déterminée par la relation suivante : f:t↦1,8t+32. f correspond à la relation qui permet de convertir une température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Le Fahrenheit est lʼunité de température que les Anglo-Saxons utilisent. On pose t la température en degrés Celsius, f(t) la température en degrés Fahrenheit.
1
Complétez le tableau de valeurs suivant. Tracez la représentation obtenue.
Température en °C
-10
40
100
Température en °F
32
68
2
Tracez la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal : sur lʼaxe des abscisses, un carreau représente 10°C ; sur lʼaxe des ordonnées, un carreau représente 20°F.
3
Quelle est la température dʼébullition de lʼeau en degrés Fahrenheit ? Quelle est la température du passage à lʼétat solide de lʼeau ? La température usuelle du corps humain est de 37°C. Et en Fahrenheit ? À quelle température en degrés Celsius correspondent 0°F ?
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Exercice 47 : Fonctions et rectangles.
x est un nombre positif. Soit un rectangle de longueur x et de largeur x−4.
1
Exprimez le périmètre du rectangle en fonction de x.
2
f est la fonction qui à la longueur x du rectangle associe son périmètre. f est-elle linéaire ? Est-elle affine ?
3
Que vaut f(5) ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.
4
Exprimez lʼaire du rectangle en fonction de x.
5
g est la fonction qui, à la longueur x du rectangle, associe son aire. g est-elle linéaire ? Est-elle affine ?
6
Que vaut g(10) ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.
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Exercice 48 : Cercle et fonction.
On trace un cercle de centre O et de rayon x. f est la fonction qui, au rayon du cercle, associe son périmètre. g est la fonction qui, au rayon du cercle, associe lʼaire du disque correspondant.
1
Quelle est la nature de f ?
2
Calculez les images de 1,5 et π par f et g.
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Exercice 49 : Effectifs dʼun collège.
En 2012, lʼeffectif dʼun collège est de 400 élèves. Il augmente de 1,25 % à chaque nouvelle rentrée scolaire.
1
Combien compte-t-il dʼélèves lʼannée suivante ? Et en 2014 ?
2
Exprimez cette situation sous la forme dʼune fonction dont vous préciserez la nature.
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Exercice 50 : Boissons à un festival.
Dans un festival, 75 % des visiteurs achètent des boissons à la buvette pour un montant moyen de 6,40 €. x est le nombre de visiteurs et f est la fonction définie par f:x↦43x
1
Que représente f ?
2
Calculez f(0), f(100), f(256), f(2500). Concluez chacun de vos résultats par une phrase réponse.
3
On note g la fonction qui, au nombre de visiteurs, associe la recette totale de la buvette. Quelle est lʼexpression de g ?
4
À partir de combien de visiteurs la recette de la buvette dépasse-t-elle 1 000 € ?
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Exercice 51 : Les couts dʼune voiture.
Le père de Paul veut acheter une nouvelle voiture et sʼintéresse à la consommation dʼessence en litres de deux modèles.
1
f est la fonction qui, au nombre x de kilomètres parcourus, associe la quantité dʼessence consommée par le modèle A et g représente la fonction équivalente pour le modèle B. Quelle est la nature de f et g ?
2
Dʼaprès les plaquettes publicitaires, le modèle A consomme 6 L aux 100 km et le B, 8 L aux 100 km. Déduisez-en les coefficients directeurs de f et g.
3
Les performances indiquées sur les publicités concernent uniquement la conduite en ville. Sur une route, le modèle A consomme 5 L aux 100 km, le modèle B, 4 L aux 100 km. Sachant que le père de Paul roule 45 % du temps en ville seulement, calculez sa consommation moyenne aux 100 km pour les deux modèles, quel que soit le type de conduite.
4
Quelle voiture choisiriez-vous ?
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Exercice 52 : Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2010).
Les parents de Charlotte souhaitent lʼinscrire dans le club dʼéquitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose 3 formules différentes.
Formule A : 18 € la séance.
Formule B : 165 € par carte de 10 séances.
Formule C : paiement dʼune cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances.
1
Calculez le cout de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ?
2
Charlotte désirant faire du cheval toute lʼannée, ses parents décident de comparer les formules B et C. Complétez le tableau suivant.
Prix
1 carte
2 cartes
5 cartes
Formule B (en €)
Formule C (en €)
3
On appelle x le nombre de cartes de 10 séances achetées. Exprimez en fonction de x le cout pour la famille si elle choisit la formule B, puis si elle choisit la C.
4
Résolvez lʼinéquation suivante : 140x+70≤165x.
5
À partir de combien de cartes achetées la formule C devient-elle avantageuse ?
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Exercice 53 : Pourboires au Canada.
Dans les restaurants canadiens, le service nʼest pas inclus dans le montant inscrit sur lʼaddition, et il est de coutume de laisser un pourboire de 15 % du montant de la note.
1
Pour une addition de 40 dollars canadiens, combien le client doit-il verser, pourboire inclus ? Et pour 100 dollars ?
2
x est le montant de la note en dollars canadiens. f est la fonction qui, au montant de lʼaddition, associe le pourboire que reçoit le serveur. Exprimez f en fonction de x. Quelle est la nature de f ?
3
Sachant que le montant moyen des additions est de 78 dollars, de combien de tables un serveur doit-il sʼoccuper pour espérer gagner au moins 100 dollars dans la journée ? 200 dollars ?
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Exercice 54 : Vers le Brevet (Métropole, 2008).
On étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids dʼune personne est adapté à sa taille. Sur le graphique, on lit en abscisse la taille en cm et en ordonnée le poids en kg.
1
Donnez le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm, arrondis au kg.
2
Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? De combien ?
3
Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ?
4
t représente la taille dʼune personne, exprimée en cm. On calcule ce quʼon appelle le poids idéal en kg, que lʼon note p. On a : p=t−100−4t−150. Calculez le poids idéal de personnes mesurant respectivement 160 cm, 165 cm et 180 cm.
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Exercice 55 : Aires et fonctions.
TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que TP = 3 cm ; PA = 5 cm ; AR = 4 cm. M est un point variable du segment [PA] et on note x la longueur du segment [PM].
1
Dans le cas où x=1 cm, démontrez que le triangle ARM est isocèle en A. Calculez les aires des triangles PTM et ARM.
2
Donnez les valeurs entre lesquelles x peut varier.
3
Montrez que lʼaire du triangle PTM est 1,5x et que lʼaire du triangle ARM est 10−2x.
4
Pour quelle valeur de x lʼaire du triangle ARM est-elle égale à 6 cm2 ?
5
Lorsque x=4 cm, quelle est lʼaire du triangle ARM ?
6
Pour x=35100, montrez par le calcul que les aires sont égales.
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Exercice 56 : Représentation graphique.
f est une fonction dont la représentation graphique est la courbe Cf ci-contre.
1
Résolvez graphiquement les équations f(x)=6 et f(x)=0.
2
En vous aidant du graphique, que pouvez-vous conjecturer sur le signe de f ?
3
On vous donne lʼexpression algébrique de f : f:x↦(x−7)2. Votre conjecture est-elle vérifiée ?
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Exercice 57 : Un cycliste.
La courbe ci-contre représente la distance d en km parcourue par un cycliste en fonction de la durée t de son trajet en minutes.
1
La vitesse du cycliste a t-elle été constante sur toute la durée du parcours ?
2
Déterminez, par lecture graphique, combien de temps il lui a fallu pour parcourir les dix premiers kilomètres.
3
Le parcours nʼétait pas plat. Combien de montées pouvez-vous repérer sur le graphique ? Où ?
4
Déterminez la vitesse moyenne sur la totalité du parcours. Et sur les 10 premières minutes ?
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Exercice 58 : Fonctions affines.
f et g sont deux fonctions représentées dans le repère orthogonal ci-dessous.
1
Résolvez graphiquement lʼéquation f(x)=g(x).
2
Déterminez les expressionsf et g en fonction de x.
3
Résolvez algébriquement lʼéquation f(x)=g(x). Que constatez-vous ?
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Exercice 59 : Location de voiture.
Afin de louer une voiture, Arthur contacte trois agences de location : ADGET, BURTZ et HEVIS. Proposition dʼADGET : 150 € de frais de location auxquels sʼajoutent 0,50 € par kilomètre parcouru. Proposition de BURTZ : pas de frais de location mais 1 € par kilomètre parcouru. Proposition dʼHEVIS : forfait de 500 €, quel que soit le nombre de kilomètres parcourus.
1
Complétez le tableau :
Proposition d'ADGET
Proposition de burtz
Proposition d'HEVIS
100 km
500 km
1 000 km
2
On définit les fonctions A, B et H représentant les couts de location pour chacune des trois agences pour x km parcourus. Définissez ces trois fonctions.
3
Dans un repère orthogonal, tracez les fonctions avec : en abscisse, 1 cm représente 100 km ; en ordonnée, 1 cm représente 100 €.
4
Déterminez graphiquement les coordonnées des points dʼintersection. Que représentent-ils ?
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Exercice 60 : Vers le Brevet (Centres étrangers, 2009).
Une lanterne entièrement vitrée a la forme dʼune pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
1
Calculez le volume de la lanterne si la hauteur SO est égale à 12 cm.
2
On désigne par x la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. Montrez que le volume en cm3 de la lanterne est donné par : V(x)=1470+35x. Calculez ce volume pour x=7. Pour quelle valeur de x le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm3 ?
3
Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté V(x), pour plusieurs valeurs de x. On veut dans la colonne A la valeur de x et la valeur de V(x) dans la colonne B. Choisissez la formule à saisir dans la case B1 pour obtenir le calcul du volume 1 de la lanterne :
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Exercice 61 : Part de gâteau.
On considère un cercle de centre A et de rayon 1 cm. B et C sont deux points du cercle. On note x la mesure en degrés de lʼangle BAC.
1
Quelles sont les valeurs possibles de x ?
2
On rappelle quʼun tour complet représente 360°. Complétez le tableau suivant :
Mesure de l'angle (degrés)
15
30
60
72
90
120
180
240
270
360
Proportion du tour complet (%)
100
3
f est la fonction qui, à la mesure x de lʼangle BAC , associe lʼaire de la surface orange. Exprimez f en fonction de x. Quelle est la nature de f ?
Montrez que, pour tout x compris entre 0 et 360, f(x)+g(x)=π.
8
Si x=90, quel pourcentage du cercle représente la zone verte ? Quel est le périmètre de la zone verte ? Même question si x=120.
9
h est la fonction qui, à la mesure de lʼangle BAC , associe le périmètre de la zone verte. Exprimez h en fonction de x. Quelle est la nature de h ?
10
Calculez h(360), h(180), h(90), h(0).
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Exercice 62 : On définit : f:x↦xx2+3
1
Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 par f ?
2
Calculez lʼimage par f de −1 ; 1; 3 ; 6.
3
Factorisez A =x2−4x+3.
4
Déterminez le ou les antécédents de 4 par f.
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Exercice 63 : Roues de vélos.
On représente les roues de 3 vélos différents. Les dimensions sont en centimètres. On cherche à mesurer la distance parcourue avec ces trois vélos en fonction du nombre de tours de roue réalisés. On assimile les roues de ces vélos à des cercles de rayon 30 cm, 40 cm et 50 cm.
1
Exprimez la distance parcourue par le vélo en fonction du nombre de tours que fait la roue.
2
Complétez ce tableau pour qu'il donne la distance en mètres parcourue en fonction du nombre de tours
2
10
20
Vélo 1
100
Vélo 2
100
Vélo 3
100
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Tâche complexe : Maximisation d'un profit.
Le directeur dʼune salle de théâtre de 800 places organise chaque année un grand évènement. Il sʼinterroge sur le prix auquel il doit vendre ses places.Attention : On n'attend pas de vous la solution mathématique mais juste le raisonnement.
1
Comment lui conseilleriez-vous de faire ?
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Doc. 1
Résultats de l'année précédente.
L’année dernière, il avait fixé le prix à 40 €, ce qui lui a permis de vendre 300 places.
Doc. 2
Étude de marché.
Grâce aux chiffres des années précédentes, voici ce dont le directeur s’est aperçu : Quand le prix baisse de 0,50 €, il vend 10 places de plus.