Je résous des problèmes

Exercice 39 : Vers le Brevet (Métropole, 2010).

On considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre de départ. Multiplier ce nombre par (-2). Ajouter 5 au produit. Multiplier le résultat par 5. Écrire le résultat obtenu.

1

Vérifiez que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.

2

Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?

3

Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?

4

Arthur prétend que, pour nʼimporte quel nombre de départ, lʼexpression $(x-5{)}^2-x^2$  permet dʼobtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?

Exercice 40 : Programmes de calcul.

Deux programmes de calcul sont donnés :

Programme 1	Programme 2
Choisir un nombre $x$	Choisir un nombre $x$
Prendre son triple	Prendre son carré
Ajouter 14	Retrancher 4

1

Avec le programme 1, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est -5 ?

2

Avec le programme 2, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ?

3

Déterminez la fonction $f$ correspondant au programme 1 et la fonction $g$ correspondant au programme 2.

4

Représentez, dans un même repère, ces deux fonctions.

5

À lʼaide du graphique, justifiez lʼaffirmation suivante : « Il existe un nombre compris entre –5 et 5 qui donne le même résultat avec le programme 1 et le programme 2. » Quel semble être ce nombre ?

Exercice 41 : $f$ est définie par $f(x)=-x^2+2x-1$, représentée par la courbe $C_f$ ci-dessous.

1

Calculez $f(-3)$.

2

Quelle est lʼimage de 6 par $f$ ?

3

Factorisez $f(x)$ à lʼaide dʼune identité remarquable. Déduisez-en le(s) antécédent(s) de -25 par $f$.

4

Lisez graphiquement lʼantécédent de 0 par $f$, lʼimage de 3 par $f$, les antécédents éventuels de 2 puis de -2.

5

$g$ est la fonction représentée par la droite $C_g$. Lisez graphiquement lʼimage de 0 et lʼimage de 1 par $g$.

6

Pour tout réel $x$, on donne $g(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ réels. Utilisez les résultats du e. pour déterminer $a$ et $b$.

7

Le point A (0,5 ; –2,5) appartient-il à $C_g$ ?

Oui

Non

8

Montrez que $-x^2+2x+1=-((x-1{)}^2-2)$. Déduisez-en les valeurs exactes des antécédents de -2 par $f$ et comparez avec les résultats obtenus précédemment.

Exercice 42 : Représentations graphiques.

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

1

$f:x\mapsto 6\text{,}5x$

2

$g$ est la fonction linéaire qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 2,5).

3

$h$ est la fonction linéaire dont le coefficient directeur est $\frac{1}{3}$.

4

$i$ est la fonction qui correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 50 %.

Exercice 43 : Représentations graphiques.

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

1

$f:x\mapsto 4x-3$

2

$g$ est la fonction affine dʼordonnée à lʼorigine 4 et qui passe par le point A (3 ; 0,5).

3

$h$ est la fonction affine de coefficient directeur 2,5 qui passe par le point B (–3 ; –1).

4

$i$ est la fonction affine qui passe par les points C (0,5 ; 0,5) et D (4 ; 1,5).

Exercice 44 : Fonctions affines.

Déterminez lʼexpression de la fonction affine $f$ telle que :

1

$f(0)=0$ et $f(-2)=3$

2

$f(0)=4$ et $f(4)=0$

3

$f(\frac{1}{2})=-1$ et $f(-2)=1$

4

$f(-5)=3$ et $f(-10)=6$

Exercice 45 : Fonctions affines.

Trouvez lʼexpression de $f:x\mapsto ax+b$ telle que la droite représentative de $f$ passe par :

1

A (0 ; 0) et B (6 ; 7).

2

A (2 ; 3) et B (7 ; 6).

3

A (−1 ; 2) et B (7 ; −3).

4

A (5 ; −8) et B (−5 ; −4).

Exercice 46 : Températures.

La fonction $f$ est déterminée par la relation suivante : $f:t\mapsto 1\text{,}8t+32$. $f$ correspond à la relation qui permet de convertir une température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Le Fahrenheit est lʼunité de température que les Anglo-Saxons utilisent. On pose $t$ la température en degrés Celsius, $f(t)$ la température en degrés Fahrenheit.

1

Complétez le tableau de valeurs suivant. Tracez la représentation obtenue.

2

Tracez la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal : sur lʼaxe des abscisses, un carreau représente 10°C ; sur lʼaxe des ordonnées, un carreau représente 20°F.

3

Quelle est la température dʼébullition de lʼeau en degrés Fahrenheit ? Quelle est la température du passage à lʼétat solide de lʼeau ? La température usuelle du corps humain est de 37°C. Et en Fahrenheit ? À quelle température en degrés Celsius correspondent 0°F ?

Exercice 47 : Fonctions et rectangles.

$x$ est un nombre positif. Soit un rectangle de longueur $x$ et de largeur $x-4$.

1

Exprimez le périmètre du rectangle en fonction de $x$.

2

$f$ est la fonction qui à la longueur $x$ du rectangle associe son périmètre. $f$ est-elle linéaire ? Est-elle affine ?

3

Que vaut $f(5)$ ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.

4

Exprimez lʼaire du rectangle en fonction de $x$.

5

$g$ est la fonction qui, à la longueur $x$ du rectangle, associe son aire. $g$ est-elle linéaire ? Est-elle affine ?

6

Que vaut $g(10)$ ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.

Exercice 48 : Cercle et fonction.

On trace un cercle de centre O et de rayon $x$. $f$ est la fonction qui, au rayon du cercle, associe son périmètre. $g$ est la fonction qui, au rayon du cercle, associe lʼaire du disque correspondant.

1

Quelle est la nature de $f$ ?

2

Calculez les images de 1,5 et $\pi$ par $f$ et $g$.

Exercice 49 : Effectifs dʼun collège.

En 2012, lʼeffectif dʼun collège est de 400 élèves. Il augmente de 1,25 % à chaque nouvelle rentrée scolaire.

1

Combien compte-t-il dʼélèves lʼannée suivante ? Et en 2014 ?

2

Exprimez cette situation sous la forme dʼune fonction dont vous préciserez la nature.

Exercice 50 : Boissons à un festival.

Dans un festival, 75 % des visiteurs achètent des boissons à la buvette pour un montant moyen de 6,40 €. $x$ est le nombre de visiteurs et $f$ est la fonction définie par $f:x\mapsto \frac{3}{4}x$

1

Que représente $f$ ?

2

Calculez $f(0)$, $f(100)$, $f(256)$, $f(2500)$. Concluez chacun de vos résultats par une phrase réponse.

3

On note $g$ la fonction qui, au nombre de visiteurs, associe la recette totale de la buvette. Quelle est lʼexpression de $g$ ?

4

À partir de combien de visiteurs la recette de la buvette dépasse-t-elle 1 000 € ?

Exercice 51 : Les couts dʼune voiture.

Le père de Paul veut acheter une nouvelle voiture et sʼintéresse à la consommation dʼessence en litres de deux modèles.

1

$f$ est la fonction qui, au nombre $x$ de kilomètres parcourus, associe la quantité dʼessence consommée par le modèle A et $g$ représente la fonction équivalente pour le modèle B. Quelle est la nature de $f$ et $g$ ?

2

Dʼaprès les plaquettes publicitaires, le modèle A consomme 6 L aux 100 km et le B, 8 L aux 100 km. Déduisez-en les coefficients directeurs de $f$ et $g$.

3

Les performances indiquées sur les publicités concernent uniquement la conduite en ville. Sur une route, le modèle A consomme 5 L aux 100 km, le modèle B, 4 L aux 100 km. Sachant que le père de Paul roule 45 % du temps en ville seulement, calculez sa consommation moyenne aux 100 km pour les deux modèles, quel que soit le type de conduite.

4

Quelle voiture choisiriez-vous ?

Exercice 52 : Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2010).

Les parents de Charlotte souhaitent lʼinscrire dans le club dʼéquitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose 3 formules différentes. Formule A : 18 € la séance. Formule B : 165 € par carte de 10 séances. Formule C : paiement dʼune cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances.

1

Calculez le cout de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ?

2

Charlotte désirant faire du cheval toute lʼannée, ses parents décident de comparer les formules B et C. Complétez le tableau suivant.

3

On appelle $x$ le nombre de cartes de 10 séances achetées. Exprimez en fonction de $x$ le cout pour la famille si elle choisit la formule B, puis si elle choisit la C.

4

Résolvez lʼinéquation suivante : $140x+70\le 165x$.

5

À partir de combien de cartes achetées la formule C devient-elle avantageuse ?

Exercice 53 : Pourboires au Canada.

Dans les restaurants canadiens, le service nʼest pas inclus dans le montant inscrit sur lʼaddition, et il est de coutume de laisser un pourboire de 15 % du montant de la note.

1

Pour une addition de 40 dollars canadiens, combien le client doit-il verser, pourboire inclus ? Et pour 100 dollars ?

2

$x$ est le montant de la note en dollars canadiens. $f$ est la fonction qui, au montant de lʼaddition, associe le pourboire que reçoit le serveur. Exprimez $f$ en fonction de $x$. Quelle est la nature de $f$ ?

3

Sachant que le montant moyen des additions est de 78 dollars, de combien de tables un serveur doit-il sʼoccuper pour espérer gagner au moins 100 dollars dans la journée ? 200 dollars ?

Exercice 54 : Vers le Brevet (Métropole, 2008).

On étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids dʼune personne est adapté à sa taille. Sur le graphique, on lit en abscisse la taille en cm et en ordonnée le poids en kg.

1

Donnez le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm, arrondis au kg.

2

Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? De combien ?

3

Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ?

4

$t$ représente la taille dʼune personne, exprimée en cm. On calcule ce quʼon appelle le poids idéal en kg, que lʼon note $p$. On a : $p=t-100-\frac{t-150}{4}$. Calculez le poids idéal de personnes mesurant respectivement 160 cm, 165 cm et 180 cm.

Exercice 55 : Aires et fonctions.

TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que TP = 3 cm ; PA = 5 cm ; AR = 4 cm. M est un point variable du segment [PA] et on note $x$ la longueur du segment [PM].

1

Dans le cas où $x=1$ cm, démontrez que le triangle ARM est isocèle en A. Calculez les aires des triangles PTM et ARM.

2

Donnez les valeurs entre lesquelles $x$ peut varier.

3

Montrez que lʼaire du triangle PTM est $1\text{,}5x$ et que lʼaire du triangle ARM est $10-2x$.

4

Pour quelle valeur de $x$ lʼaire du triangle ARM est-elle égale à 6 cm${}^2$ ?

5

Lorsque $x=4$ cm, quelle est lʼaire du triangle ARM ?

6

Pour $x=\frac{100}{35}$, montrez par le calcul que les aires sont égales.

Exercice 56 : Représentation graphique.

$f$ est une fonction dont la représentation graphique est la courbe $C_f$ ci-contre.

1

Résolvez graphiquement les équations $f(x)=6$ et $f(x)=0.$

2

En vous aidant du graphique, que pouvez-vous conjecturer sur le signe de $f$ ?

3

On vous donne lʼexpression algébrique de $f$ : $f:x\mapsto (x-7{)}^2$. Votre conjecture est-elle vérifiée ?

Exercice 57 : Un cycliste.

La courbe ci-contre représente la distance $d$ en km parcourue par un cycliste en fonction de la durée $t$ de son trajet en minutes.

1

La vitesse du cycliste a t-elle été constante sur toute la durée du parcours ?

2

Déterminez, par lecture graphique, combien de temps il lui a fallu pour parcourir les dix premiers kilomètres.

3

Le parcours nʼétait pas plat. Combien de montées pouvez-vous repérer sur le graphique ? Où ?

4

Déterminez la vitesse moyenne sur la totalité du parcours. Et sur les 10 premières minutes ?

Exercice 58 : Fonctions affines.

$f$ et $g$ sont deux fonctions représentées dans le repère orthogonal ci-dessous.

1

Résolvez graphiquement lʼéquation $f(x)=g(x).$

2

Déterminez les expressionsf et $g$ en fonction de $x$.

3

Résolvez algébriquement lʼéquation $f(x)=g(x)$. Que constatez-vous ?

Exercice 59 : Location de voiture.

Afin de louer une voiture, Arthur contacte trois agences de location : ADGET, BURTZ et HEVIS. Proposition dʼADGET : 150 € de frais de location auxquels sʼajoutent 0,50 € par kilomètre parcouru. Proposition de BURTZ : pas de frais de location mais 1 € par kilomètre parcouru. Proposition dʼHEVIS : forfait de 500 €, quel que soit le nombre de kilomètres parcourus.

1

Complétez le tableau :

2

On définit les fonctions A, B et H représentant les couts de location pour chacune des trois agences pour $x$ km parcourus. Définissez ces trois fonctions.

3

Dans un repère orthogonal, tracez les fonctions avec : en abscisse, 1 cm représente 100 km ; en ordonnée, 1 cm représente 100 €.

4

Déterminez graphiquement les coordonnées des points dʼintersection. Que représentent-ils ?

Exercice 60 : Vers le Brevet (Centres étrangers, 2009).

Une lanterne entièrement vitrée a la forme dʼune pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

1

Calculez le volume de la lanterne si la hauteur SO est égale à 12 cm.

2

On désigne par $x$ la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. Montrez que le volume en cm${}^3$ de la lanterne est donné par : $V(x)=1470+35x$. Calculez ce volume pour $x=7$. Pour quelle valeur de $x$ le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm${}^3$ ?

3

Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté $V(x)$, pour plusieurs valeurs de $x$. On veut dans la colonne A la valeur de $x$ et la valeur de $V(x)$ dans la colonne B. Choisissez la formule à saisir dans la case B1 pour obtenir le calcul du volume 1 de la lanterne :

×

$=1470+35\times A1$

$1470+35\times A1$

$=1470+\frac{35}{42}$

Exercice 61 : Part de gâteau.

On considère un cercle de centre A et de rayon 1 cm. B et C sont deux points du cercle. On note $x$ la mesure en degrés de lʼangle $\widehat{\text{BAC}}$.

1

Quelles sont les valeurs possibles de $x$ ?

2

On rappelle quʼun tour complet représente 360°. Complétez le tableau suivant :

3

$f$ est la fonction qui, à la mesure $x$ de lʼangle $\widehat{\text{BAC}}$ , associe lʼaire de la surface orange. Exprimez $f$ en fonction de $x$. Quelle est la nature de $f$ ?

4

Que vaut $f(0)$ ? $f(60)$ ? $f(180)$ ? $f(300)$ ? $f(360)$ ?

5

$g$ est la fonction qui, à la mesure $x$ de lʼangle $\widehat{\text{BAC}}$, associe lʼaire de la surface verte. Exprimez $g$ en fonction de $x$. Quelle est la nature de $g$ ?

6

Que vaut $g(360)$ ? $g(300)$ ? $g(180)$ ? $g(60)$ ? $g(0)$ ?

7

Montrez que, pour tout $x$ compris entre 0 et 360, $f(x)+g(x)=\pi$.

8

Si $x=90$, quel pourcentage du cercle représente la zone verte ? Quel est le périmètre de la zone verte ? Même question si $x=120$.

9

$h$ est la fonction qui, à la mesure de lʼangle $\widehat{\text{BAC}}$ , associe le périmètre de la zone verte. Exprimez $h$ en fonction de $x$. Quelle est la nature de $h$ ?

10

Calculez $h(360)$, $h(180)$, $h(90)$, $h(0)$.

Exercice 62 : On définit : $f:x\mapsto \frac{x^2+3}{x}$

1

Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 par $f$ ?

2

Calculez lʼimage par $f$ de −1 ; 1; 3 ; 6.

3

Factorisez A $=x^2-4x+3$.

4

Déterminez le ou les antécédents de 4 par $f$.

Exercice 63 : Roues de vélos.

On représente les roues de 3 vélos différents. Les dimensions sont en centimètres. On cherche à mesurer la distance parcourue avec ces trois vélos en fonction du nombre de tours de roue réalisés. On assimile les roues de ces vélos à des cercles de rayon 30 cm, 40 cm et 50 cm.

1

Exprimez la distance parcourue par le vélo en fonction du nombre de tours que fait la roue.

2

Complétez ce tableau pour qu'il donne la distance en mètres parcourue en fonction du nombre de tours

Tâche complexe : Maximisation d'un profit.

Le directeur dʼune salle de théâtre de 800 places organise chaque année un grand évènement. Il sʼinterroge sur le prix auquel il doit vendre ses places.Attention : On n'attend pas de vous la solution mathématique mais juste le raisonnement.

1

Comment lui conseilleriez-vous de faire ?

L’année dernière, il avait fixé le prix à 40 €, ce qui lui a permis de vendre 300 places.

Grâce aux chiffres des années précédentes, voici ce dont le directeur s’est aperçu :
Quand le prix baisse de 0,50 €, il vend 10 places de plus.