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Je résous des problèmes
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Mathématiques - Je résous des problèmes


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Exercice 39 : Vers le Brevet (Métropole, 2010).

On considère le programme de calcul ci-dessous : Choisir un nombre de départ. Multiplier ce nombre par (-2). Ajouter 5 au produit. Multiplier le résultat par 5. Écrire le résultat obtenu.

1
Vérifiez que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5.



2
Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ?



3
Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ?



4
Arthur prétend que, pour nʼimporte quel nombre de départ, lʼexpression (x5)2x2(x-5)^2 - x^2   permet dʼobtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?



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Exercice 40 : Programmes de calcul.

Deux programmes de calcul sont donnés :
Programme 1  Programme 2 
Choisir un nombre xx  Choisir un nombre xx 
Prendre son triple Prendre son carré
Ajouter 14 Retrancher 4

1
Avec le programme 1, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est -5 ?



2
Avec le programme 2, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ?



3
Déterminez la fonction ff correspondant au programme 1 et la fonction gg correspondant au programme 2.



4
Représentez, dans un même repère, ces deux fonctions.



5
À lʼaide du graphique, justifiez lʼaffirmation suivante : « Il existe un nombre compris entre –5 et 5 qui donne le même résultat avec le programme 1 et le programme 2. » Quel semble être ce nombre ?



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Exercice 41 : ff est définie par f(x)=x2+2x1f (x) = -x^2 + 2x - 1, représentée par la courbe CfC_f ci-dessous.

Graphique lié à l'exercice 2
1
Calculez f(3)f (-3).



2
Quelle est lʼimage de 6 par ff ?



3
Factorisez f(x)f (x) à lʼaide dʼune identité remarquable. Déduisez-en le(s) antécédent(s) de -25 par ff.



4
Lisez graphiquement lʼantécédent de 0 par ff, lʼimage de 3 par ff, les antécédents éventuels de 2 puis de -2.



5
gg est la fonction représentée par la droite CgC_g. Lisez graphiquement lʼimage de 0 et lʼimage de 1 par gg.



6
Pour tout réel xx, on donne g(x)=ax+bg (x) = ax + b avec aa et bb réels. Utilisez les résultats du e. pour déterminer aa et bb.



7
Le point A (0,5 ; –2,5) appartient-il à CgC_g ?







8
Montrez que x2+2x+1=((x1)22)-x^2 + 2x + 1 = -((x - 1)^2 - 2). Déduisez-en les valeurs exactes des antécédents de -2 par ff et comparez avec les résultats obtenus précédemment.



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Exercice 42 : Représentations graphiques.

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

1
f:x6,5xf : x \mapsto 6\text{,}5x



2
gg est la fonction linéaire qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 2,5).



3
hh est la fonction linéaire dont le coefficient directeur est 13\dfrac{1}{3}.



4
ii est la fonction qui correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 50 %.



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Exercice 43 : Représentations graphiques.

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes.

1
f:x4x3f : x \mapsto 4x - 3



2
gg est la fonction affine dʼordonnée à lʼorigine 4 et qui passe par le point A (3 ; 0,5).



3
hh est la fonction affine de coefficient directeur 2,5 qui passe par le point B (–3 ; –1).



4
ii est la fonction affine qui passe par les points C (0,5 ; 0,5) et D (4 ; 1,5).



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Exercice 44 : Fonctions affines.

Déterminez lʼexpression de la fonction affine ff telle que :

1
f(0)=0f (0) = 0 et f(2)=3f (-2) = 3



2
f(0)=4f (0) = 4 et f(4)=0f (4) = 0



3
f(12)=1f (\dfrac{1}{2}) = -1 et f(2)=1f (-2) = 1



4
f(5)=3f (-5) = 3 et f(10)=6f (-10) = 6



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Exercice 45 : Fonctions affines.

Trouvez lʼexpression de f:xax+bf : x \mapsto ax + b telle que la droite représentative de ff passe par :

1
A (0 ; 0) et B (6 ; 7).



2
A (2 ; 3) et B (7 ; 6).



3
A (−1 ; 2) et B (7 ; −3).



4
A (5 ; −8) et B (−5 ; −4).



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Exercice 46 : Températures.

La fonction ff est déterminée par la relation suivante : f:t1,8t+32f : t \mapsto 1\text{,}8\:t + 32. ff correspond à la relation qui permet de convertir une température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Le Fahrenheit est lʼunité de température que les Anglo-Saxons utilisent. On pose tt la température en degrés Celsius, f(t)f(t) la température en degrés Fahrenheit.

1
Complétez le tableau de valeurs suivant. Tracez la représentation obtenue.

Température en °C -10 40 100
Température en °F 32 68




2
Tracez la représentation graphique de la fonction ff dans un repère orthogonal : sur lʼaxe des abscisses, un carreau représente 10°C ; sur lʼaxe des ordonnées, un carreau représente 20°F.



3
Quelle est la température dʼébullition de lʼeau en degrés Fahrenheit ? Quelle est la température du passage à lʼétat solide de lʼeau ? La température usuelle du corps humain est de 37°C. Et en Fahrenheit ? À quelle température en degrés Celsius correspondent 0°F ?



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Exercice 47 : Fonctions et rectangles.

xx est un nombre positif. Soit un rectangle de longueur xx et de largeur x4x-4.

1
Exprimez le périmètre du rectangle en fonction de xx.



2
ff est la fonction qui à la longueur xx du rectangle associe son périmètre. ff est-elle linéaire ? Est-elle affine ?



3
Que vaut f(5)f (5) ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.



4
Exprimez lʼaire du rectangle en fonction de xx.



5
gg est la fonction qui, à la longueur xx du rectangle, associe son aire. gg est-elle linéaire ? Est-elle affine ?



6
Que vaut g(10)g (10) ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu.



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Exercice 48 : Cercle et fonction.

On trace un cercle de centre O et de rayon xx. ff est la fonction qui, au rayon du cercle, associe son périmètre. gg est la fonction qui, au rayon du cercle, associe lʼaire du disque correspondant.

1
Quelle est la nature de ff ?



2
Calculez les images de 1,5 et π\pi par ff et gg.



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Exercice 49 : Effectifs dʼun collège.

En 2012, lʼeffectif dʼun collège est de 400 élèves. Il augmente de 1,25 % à chaque nouvelle rentrée scolaire.

1
Combien compte-t-il dʼélèves lʼannée suivante ? Et en 2014 ?



2
Exprimez cette situation sous la forme dʼune fonction dont vous préciserez la nature.



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Exercice 50 : Boissons à un festival.

Graphique lié à l'exercice 3
Dans un festival, 75 % des visiteurs achètent des boissons à la buvette pour un montant moyen de 6,40 €. xx est le nombre de visiteurs et ff est la fonction définie par f:x34xf : x \mapsto \dfrac{ 3}{ 4}x

1
Que représente ff ?



2
Calculez f(0)f (0), f(100)f (100), f(256)f (256), f(2500)f (2\:500). Concluez chacun de vos résultats par une phrase réponse.



3
On note gg la fonction qui, au nombre de visiteurs, associe la recette totale de la buvette. Quelle est lʼexpression de gg ?



4
À partir de combien de visiteurs la recette de la buvette dépasse-t-elle 1 000 € ?



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Exercice 51 : Les couts dʼune voiture.

Le père de Paul veut acheter une nouvelle voiture et sʼintéresse à la consommation dʼessence en litres de deux modèles.

1
ff est la fonction qui, au nombre xx de kilomètres parcourus, associe la quantité dʼessence consommée par le modèle A et gg représente la fonction équivalente pour le modèle B. Quelle est la nature de ff et gg ?



2
Dʼaprès les plaquettes publicitaires, le modèle A consomme 6 L aux 100 km et le B, 8 L aux 100 km. Déduisez-en les coefficients directeurs de ff et gg.



3
Les performances indiquées sur les publicités concernent uniquement la conduite en ville. Sur une route, le modèle A consomme 5 L aux 100 km, le modèle B, 4 L aux 100 km. Sachant que le père de Paul roule 45 % du temps en ville seulement, calculez sa consommation moyenne aux 100 km pour les deux modèles, quel que soit le type de conduite.



4
Quelle voiture choisiriez-vous ?



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Exercice 52 : Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2010).

Les parents de Charlotte souhaitent lʼinscrire dans le club dʼéquitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose 3 formules différentes. Formule A : 18 € la séance. Formule B : 165 € par carte de 10 séances. Formule C : paiement dʼune cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances.

1
Calculez le cout de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ?



2
Charlotte désirant faire du cheval toute lʼannée, ses parents décident de comparer les formules B et C. Complétez le tableau suivant.

Prix 1 carte 2 cartes 5 cartes
Formule B (en €)
Formule C (en €)




3
On appelle xx le nombre de cartes de 10 séances achetées. Exprimez en fonction de xx le cout pour la famille si elle choisit la formule B, puis si elle choisit la C.



4
Résolvez lʼinéquation suivante : 140x+70165x140x + 70 \leq 165x.



5
À partir de combien de cartes achetées la formule C devient-elle avantageuse ?



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Exercice 53 : Pourboires au Canada.

Dans les restaurants canadiens, le service nʼest pas inclus dans le montant inscrit sur lʼaddition, et il est de coutume de laisser un pourboire de 15 % du montant de la note.

1
Pour une addition de 40 dollars canadiens, combien le client doit-il verser, pourboire inclus ? Et pour 100 dollars ?



2
xx est le montant de la note en dollars canadiens. ff est la fonction qui, au montant de lʼaddition, associe le pourboire que reçoit le serveur. Exprimez ff en fonction de xx. Quelle est la nature de ff ?



3
Sachant que le montant moyen des additions est de 78 dollars, de combien de tables un serveur doit-il sʼoccuper pour espérer gagner au moins 100 dollars dans la journée ? 200 dollars ?



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Exercice 54 : Vers le Brevet (Métropole, 2008).

Graphique lié à l'exercice 4
On étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids dʼune personne est adapté à sa taille. Sur le graphique, on lit en abscisse la taille en cm et en ordonnée le poids en kg.

1
Donnez le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm, arrondis au kg.



2
Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? De combien ?



3
Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ?



4
tt représente la taille dʼune personne, exprimée en cm. On calcule ce quʼon appelle le poids idéal en kg, que lʼon note pp. On a : p=t100t1504p = t - 100 - \dfrac{t - 150}{4}. Calculez le poids idéal de personnes mesurant respectivement 160 cm, 165 cm et 180 cm.



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Exercice 55 : Aires et fonctions.

Graphique lié à l'exercice 5
TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que TP = 3 cm ; PA = 5 cm ; AR = 4 cm. M est un point variable du segment [PA] et on note xx la longueur du segment [PM].

1
Dans le cas où x=1x = 1 cm, démontrez que le triangle ARM est isocèle en A. Calculez les aires des triangles PTM et ARM.



2
Donnez les valeurs entre lesquelles xx peut varier.



3
Montrez que lʼaire du triangle PTM est 1,5x1\text{,}5x et que lʼaire du triangle ARM est 102x10 - 2x.



4
Pour quelle valeur de xx lʼaire du triangle ARM est-elle égale à 6 cm2^2 ?



5
Lorsque x=4x = 4 cm, quelle est lʼaire du triangle ARM ?



6
Pour x=10035x = \dfrac{100}{35}, montrez par le calcul que les aires sont égales.



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Exercice 56 : Représentation graphique.

Graphique lié à l'exercice 6
ff est une fonction dont la représentation graphique est la courbe CfC_f ci-contre.

1
Résolvez graphiquement les équations f(x)=6f (x) = 6 et f(x)=0.f (x) = 0.



2
En vous aidant du graphique, que pouvez-vous conjecturer sur le signe de ff ?



3
On vous donne lʼexpression algébrique de ff : f:x(x7)2f : x \mapsto (x - 7)^2. Votre conjecture est-elle vérifiée ?



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Exercice 57 : Un cycliste.

Graphique lié à l'exercice 7
La courbe ci-contre représente la distance dd en km parcourue par un cycliste en fonction de la durée tt de son trajet en minutes.

1
La vitesse du cycliste a t-elle été constante sur toute la durée du parcours ?



2
Déterminez, par lecture graphique, combien de temps il lui a fallu pour parcourir les dix premiers kilomètres.



3
Le parcours nʼétait pas plat. Combien de montées pouvez-vous repérer sur le graphique ? Où ?



4
Déterminez la vitesse moyenne sur la totalité du parcours. Et sur les 10 premières minutes ?



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Exercice 58 : Fonctions affines.

Graphique lié à l'exercice 8
ff et gg sont deux fonctions représentées dans le repère orthogonal ci-dessous.

1
Résolvez graphiquement lʼéquation f(x)=g(x).f (x) = g (x).



2
Déterminez les expressionsf et gg en fonction de xx.



3
Résolvez algébriquement lʼéquation f(x)=g(x)f (x) = g (x). Que constatez-vous ?



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Exercice 59 : Location de voiture.

Afin de louer une voiture, Arthur contacte trois agences de location : ADGET, BURTZ et HEVIS. Proposition dʼADGET : 150 € de frais de location auxquels sʼajoutent 0,50 € par kilomètre parcouru. Proposition de BURTZ : pas de frais de location mais 1 € par kilomètre parcouru. Proposition dʼHEVIS : forfait de 500 €, quel que soit le nombre de kilomètres parcourus.

1
Complétez le tableau :

Proposition d'ADGET Proposition de burtz Proposition d'HEVIS
100 km
500 km
1 000 km




2
On définit les fonctions A, B et H représentant les couts de location pour chacune des trois agences pour xx km parcourus. Définissez ces trois fonctions.



3
Dans un repère orthogonal, tracez les fonctions avec : en abscisse, 1 cm représente 100 km ; en ordonnée, 1 cm représente 100 €.



4
Déterminez graphiquement les coordonnées des points dʼintersection. Que représentent-ils ?



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Exercice 60 : Vers le Brevet (Centres étrangers, 2009).

Graphique lié à l'exercice 9
Une lanterne entièrement vitrée a la forme dʼune pyramide reposant sur un parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

1
Calculez le volume de la lanterne si la hauteur SO est égale à 12 cm.



2
On désigne par xx la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. Montrez que le volume en cm3^3 de la lanterne est donné par : V(x)=1470+35xV (x) = 1\:470 + 35x. Calculez ce volume pour x=7x = 7. Pour quelle valeur de xx le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm3^3 ?



3
Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté V(x)V (x), pour plusieurs valeurs de xx. On veut dans la colonne A la valeur de xx et la valeur de V(x)V (x) dans la colonne B. Choisissez la formule à saisir dans la case B1 pour obtenir le calcul du volume 1 de la lanterne :





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Exercice 61 : Part de gâteau.

Graphique lié à l'exercice 10
On considère un cercle de centre A et de rayon 1 cm. B et C sont deux points du cercle. On note xx la mesure en degrés de lʼangle BAC^\widehat{\text{BAC}}.

1
Quelles sont les valeurs possibles de xx ?



2
On rappelle quʼun tour complet représente 360°. Complétez le tableau suivant :

Mesure de l'angle (degrés) 15 30 60 72 90 120 180 240 270 360
Proportion du tour complet (%) 100




3
ff est la fonction qui, à la mesure xx de lʼangle BAC^\widehat{\text{BAC}} , associe lʼaire de la surface orange. Exprimez ff en fonction de xx. Quelle est la nature de ff ?



4
Que vaut f(0)f (0) ? f(60)f (60) ? f(180)f (180) ? f(300)f (300) ? f(360)f (360) ?



5
gg est la fonction qui, à la mesure xx de lʼangle BAC^\widehat{\text{BAC}}, associe lʼaire de la surface verte. Exprimez gg en fonction de xx. Quelle est la nature de gg ?



6
Que vaut g(360)g (360) ? g(300)g (300) ? g(180)g (180) ? g(60)g (60) ? g(0)g (0) ?



7
Montrez que, pour tout xx compris entre 0 et 360, f(x)+g(x)=πf (x) + g (x) = \pi.



8
Si x=90x = 90, quel pourcentage du cercle représente la zone verte ? Quel est le périmètre de la zone verte ? Même question si x=120x = 120.



9
hh est la fonction qui, à la mesure de lʼangle BAC^\widehat{\text{BAC}} , associe le périmètre de la zone verte. Exprimez hh en fonction de xx. Quelle est la nature de hh ?



10
Calculez h(360)h (360), h(180)h (180), h(90)h (90), h(0)h (0).



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Exercice 62 : On définit : f:xx2+3xf : x \mapsto \dfrac{x^2 + 3}{x}

1
Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 par ff ?



2
Calculez lʼimage par ff de −1 ; 1; 3 ; 6.



3
Factorisez A =x24x+3=x^2 -4x+3.



4
Déterminez le ou les antécédents de 4 par ff.



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Exercice 63 : Roues de vélos.

Graphique lié à l'exercice 11
On représente les roues de 3 vélos différents. Les dimensions sont en centimètres. On cherche à mesurer la distance parcourue avec ces trois vélos en fonction du nombre de tours de roue réalisés. On assimile les roues de ces vélos à des cercles de rayon 30 cm, 40 cm et 50 cm.

1
Exprimez la distance parcourue par le vélo en fonction du nombre de tours que fait la roue.



2
Complétez ce tableau pour qu'il donne la distance en mètres parcourue en fonction du nombre de tours

2 10 20
Vélo 1 100
Vélo 2 100
Vélo 3 100
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Tâche complexe : Maximisation d'un profit.

Le directeur dʼune salle de théâtre de 800 places organise chaque année un grand évènement. Il sʼinterroge sur le prix auquel il doit vendre ses places.Attention : On n'attend pas de vous la solution mathématique mais juste le raisonnement.

1
Comment lui conseilleriez-vous de faire ?



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Doc. 1
Résultats de l'année précédente.

L’année dernière, il avait fixé le prix à 40 €, ce qui lui a permis de vendre 300 places.

Doc. 2
Étude de marché.

Grâce aux chiffres des années précédentes, voici ce dont le directeur s’est aperçu :
Quand le prix baisse de 0,50 €, il vend 10 places de plus.
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