Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 6

Exercices

Je résous des problèmes

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47

Ohm et

V

(Volt) sont des unités de mesure de la résistance et de la tension dʼun courant électrique.

1. Complétez astucieusement le tableau de proportionnalité suivant.

Nombre de feuilles A4	550	225	4 950	1
Poids (g)	2 860

2. Complétez astucieusement le tableau de proportionnalité suivant.

Résistance R (Ohm)	6	5	30	1	75
Tension aux bornes de R (V)			4,8

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48
Rectangle et proportionnalité.

Rectangle ABCD de longueur AD=1. AB est noté a.

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La largeur du rectangle

ABCD

vaut toujours

1 cm

. La longueur

AB

est notée a et peut prendre différentes valeurs.

1. Exprimez le périmètre de

ABCD

en fonction de

a

et complétez le tableau suivant.

$a$ ( $cm$ )	1	2	3	4	10
Périmètre $= 2 a + 2$ ( $cm$ )

2. Le périmètre du rectangle est-il proportionnel à la longueur

a

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49
Achat « en gros ».

Les restaurants achètent certains aliments « en gros ». Au lieu dʼacheter des paquets de

500 g

de pâtes, ils achètent des paquets de

5 kg

. Le prix de lʼemballage est de

35

centimes (pour les 2 formats) et le prix des pâtes est de

10

centimes les

100 g

.

1. Calculez le prix dʼun paquet de

500 g

et celui dʼun paquet de

5 kg

2. A-t-on une relation de proportionnalité entre le poids de pâtes et le prix total ?

3. Expliquez pourquoi le restaurant achète ses pâtes en paquets de

5 kg

plutôt quʼen paquets de

500 g

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50
Consommation dʼune voiture.

La voiture de Nicolas consomme en moyenne

7, 3 L

dʼessence aux

100 km

.

1. Complétez le tableau.

Essence (L)	7,3	10	25
Distance parcourue (km)				300	400

2. Représentez la situation graphiquement.

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51
Lessive.

Un baril de lessive contient

8, 4 kg

de lessive.

1. Complétez ce tableau de proportionnalité.

Quantité de lessive (kg)	8,4	5		75,6	2
Prix (€)	18,90		3,78

2. Justifiez votre réponse en donnant le coefficient de proportionnalité.

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52
Qui parle quelle langue ?

Voici la répartition des élèves dʼune classe de 5^e en fonction de la LV1 quʼils étudient.

	Allemand	Anglais
Filles	7	14
Garçons	8	10

1. Quel est le pourcentage de filles dans la classe ?

2. Quel est, dans la classe, le pourcentage de garçons qui ont pris lʼanglais en LV1 ?

3. Quel est, dans la classe, le pourcentage de filles qui étudient lʼallemand en LV1 ?

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53
Savoir refaire
Marathon.

Voici les temps intermédiaires dʼun coureur au marathon de New York :

aux $10 km$ : $34 min$ ;
aux $15 km$ : $\frac{1 3}{1 5} h$ ;
aux $25 km$ : $1 h 26$ .

Le temps réalisé par ce marathonien est-il proportionnel à la distance parcourue ?

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54
Savoir refaire
Clothilde va chez Ruben.

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Clothilde habite au bout de la rue Pasteur et Ruben habite à lʼintersection du cours Gambetta et de la rue Garibaldi. Elle prend la rue Pasteur jusquʼau cours Gambetta quʼelle suit ensuite jusquʼà chez son ami.La carte suivante est au

1 / 1500 0^{e}

.

1. Quelle distance a-t-elle parcourue ?

2. Sachant quʼelle marche à

4 km/h

, combien de temps met‑elle ?

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55
Sur une carte.

Carte de la distance entre Léon et Vieille-St-Girons.

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Crédits : © Google Maps

La carte suivante est au

3 / 100000 0^{e}

.

Quelle est la distance entre Léon et Vielle‑St‑Girons ?

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56
Corvée de patates.

Photographie de patates épluchées ou non.

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Crédits : Aboikis/Shutterstock

Il faut

0, 2 h

à Tom pour éplucher

37

pommes de terre.

1. Combien de pommes de terre peut‑il éplucher en

48 min

2. En

2 h 06 min

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57
Aire et proportionnalité.

Démontrez que lʼaire dʼun triangle dont lʼun des côtés mesure

5, 8 cm

est proportionnelle à la longueur de la hauteur relative à ce côté.

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58
Ferdinand est passionné de modélisme.

Il veut reproduire un avion dʼune longueur de

8, 61 m

, dʼune envergure de

11, 20 m

et dʼune hauteur de

2, 95 m

. Il veut construire une réplique au

1 / 2 5^{e}

.

Quelles seront ses dimensions ?

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59
Usain Bolt.

Usain Bolt détient le record du monde du

100 m

9, 58 s

et du

200 m

19, 19 s

.

1. Quelle est sa vitesse moyenne en

m/s

lors de son

100 m

le plus rapide ? Lors de son

200 m

le plus rapide ?

2. Sur quelle distance sa vitesse est-elle la plus élévée ? Cela vous semble‑t‑il logique ?

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60
Jardinage.

Le jardin de Lucas fait

12 m

de long et

6 m

de large. Lucas affirme que sur une surface de

10 m^{2}

, il y a

5800

trèfles et que si on cueille

60

trèfles, on trouve exactement

1

trèfle à

4

feuilles.

Combien de trèfles à

4

feuilles peut‑on trouver dans le jardin de Lucas ?

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61
Téléviseurs.

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Voici les plans de deux téléviseurs dʼune même marque vendus dans une grande surface.

À quelle grandeur le prix des téléviseurs de cette marque semble‑t‑il être proportionnel ?

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62
Catapultes miniatures.

Anna souhaite réaliser une catapulte miniature.Elle a pour cela besoin de :

$1$ élastique ;
$1$ paille ;
un dixième de rouleau de ruban adhésif ;
$4$ languettes en bois ;
$3$ cuillères en plastique.

Ne disposant dʼaucun matériel, elle doit tout acheter.Mais les plus petites quantités quʼelle trouve sont :

$1$ boite de $20$ élastiques ( $1, 20 €$ ) ;
$1$ boite de $50$ pailles ( $1, 90 €$ ) ;
$1$ rouleau de ruban adhésif ( $2, 35 €$ ) ;
$1$ sachet de $10$ languettes en bois ( $0, 90 €$ ) ;
$1$ sachet de $10$ cuillères en plastique ( $1, 15 €$ ).

1. Quel est le montant total des achats dʼAnna ?

2. Combien coute réellement la part de matériel utile à la construction dʼune catapulte ?

3. Déduisez-en le pourcentage de la dépense dʼAnna qui servira réellement à la construction de sa catapulte.

4. Avec le matériel dont elle dispose, combien de catapultes pourrait-elle fabriquer au maximum ?

5. Si elle construit un maximum de catapultes avec ce matériel, quel pourcentage de sa dépense lui aura vraiment servi à fabriquer des catapultes ?

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63
Un mic-mac pour Bob.

Bob le chameau traverse le désert.Comme il fait chaud, le chameau a besoin de sʼhydrater régulièrement. Il ne peut pas passer plus de

1 h 40

sans sʼabreuver, et lorsquʼil a marché pendant

1 h

, il fait une pause de

5 min

. Arrivé à lʼoasis du Fépafroi, Bob rencontre deux poissons, Mic et Mac, à qui il demande où se situe la prochaine oasis sur son trajet. Mic répond : « Elle est à

9, 8 km

dʼici. En marchant à une vitesse de

100 m/min

, tu y seras avant de mourir de soif. » Mac rétorque : « Mais non, Mac, Bob devra marcher plus vite. Ou alors il devra faire un détour par lʼoasis du Faitaroute, à

9, 2 km

dʼici. »

Qui de Mic ou de Mac a raison ?

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64
Sauce au fromage.

Voici la recette dʼAurélie pour une sauce au fromage : Faire fondre

120 g

dʼEdam et

100 g

de Camembert dans

200 g

de crème liquide. Laisser mijoter pendant

5 min

. Servir avec des spaghettis.

Valeurs nutritionnelles pour $100 g$ :

	Hydrates de carbone	Matières grasses	Protéines
Crème liquide	$3, 2 g$	$30, 0 g$	$2, 5 g$
Edam	$1, 0 g$	$24, 0 g$	$25, 0 g$
Camembert	$2, 0 g$	$19, 0 g$	$12, 0 g$

1. Calculez le pourcentage de matières grasses de chaque ingrédient.

2. Calculez le pourcentage de matières grasses de la sauce après avoir fait mijoter pendant

5 min

, en estimant que

80 g

dʼeau se sont évaporés pendant la cuisson.

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65
Une étude sur les secteurs de cercle.

On place deux points

A

B

sur un cercle de centre

O

. Les deux parties que lʼon obtient quand on découpe le disque le long des rayons

[AO]

[BO]

sont appelées des secteurs de disque. Par exemple, un morceau de pizza correspond à un secteur de disque.

1. Lʼaire

A_{secteur}

dʼun secteur de disque est déterminée par le rayon

r

du cercle et par lʼangle

α

du secteur :

A_{secteur} = \frac{α}{3 6 0} \times π \times r^{2}

. Expliquez la signification de la fraction

\frac{α}{3 6 0}

dans ce produit.

2. Faites des schémas des secteurs dʼun disque de rayon

1

pour différents angles

α

. Calculez lʼaire de ces secteurs et entrez la valeur arrondie au centième dans le tableau suivant.

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Angles $α$	30°	60°	90°	120°	150°	180°	210°
$A_{secteur}$

3. Représentez ces données dans un repère orthogonal. Sʼagit‑il dʼune situation de proportionnalité ?

GeoGebra

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4. Faites des schémas des secteurs de disque dʼangle

30 °

pour différents rayons

r

. Calculez lʼaire de ces secteurs et entrez une valeur arrondie au centième dans le tableau suivant.

GeoGebra

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Rayon $r$	$1$	$2$	$3$	$4$
$A_{secteur}$

5. Représentez ces données dans un repère orthogonal. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ?

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66
Cocktail.

Phil mélange

0, 2 L

de jus de pomme (teneur en fruit

25 %

) et

0, 1 L

de jus dʼorange (teneur en fruit

50 %

).

Quel est la teneur en fruit de son cocktail ?

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67
Location.

Christophe a payé son loyer

520 €

pour le mois dʼaout mais son contrat de location se termine au 23 août.

De combien sera-t-il remboursé ?

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68
Confiture.

Photographie d'une tartine de confiture et de beurre.

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Crédits : Africa Studio/Shutterstock

Le prix dʼun pot de confiture a augmenté de

25 %

. Son ancien prix était de

1, 80 €

.

Quel est son nouveau prix ?

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69
Baisse de prix.

Le prix dʼun smartphone vient dʼêtre réduit de

20 %

. Maintenant, il coute

224 €

.

Calculez le prix avant la réduction.

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70
Pluie de chaussettes !

photo de chaussettes bleues, blanches et marrons dans un tiroir en bois

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Crédits : Aodaodaodaod/ Shutterstock

Un lot de

12

paires de chaussettes coute

6, 20 €

.

Combien de paires peut‑on acheter avec

31 €

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71
À lʼécole.

Dans la classe de Franck, il y avait autant de garçons que de filles. Mais depuis le jour où la classe accueille la nouvelle élève Miriam, le pourcentage de filles dépasse celui des garçons de

4 %

.

Combien dʼélèves y a‑t‑il dans la classe de Franck et Miriam ?

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72
Tomates.

Une tomate contient environ

95 %

dʼeau et

5 %

de matière sèche. Nadja a fait sécher une tomate de 80 g jusquʼà ce que le pourcentage dʼeau baisse de

95 %

90 %

.

Combien la tomate pèse-t-elle maintenant ?

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73
Arthur court 200 mètres en 24 secondes.

Lors de la course, il a mal au genou. Sa vitesse diminue de

30 %

.

À quelle vitesse court-il (en

km/h

) ?

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74
Top départ pour les soldes.

Cʼest le début des soldes dans un grand magasin.

Remplissez le tableau suivant, présentant les réductions appliquées sur 6 articles phares du magasin. Justifiez vos calculs.

Désignation de lʼarticle	Prix avant réduction (€)	Réduction appliquée (%)	Réduction appliquée (€)	Réduction appliquée (€)
Tee-shirt Real Style	10,90	-20
Chemise Seriously	24,90		-2,49
Jean Rock and Go	39			31,20
Lot de 3 caleçons Monster	15		-4,50
Chaussures Hop hop hop	48,50	-25

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75
On considère le carré suivant.

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1. Diminuez la dimension horizontale du carré de

30 %

et la dimension verticale de 60 %. De quel pourcentage lʼaire diminue-t-elle ?

2. Augmentez la dimension horizontale du carré de départ de

90 %

et sa dimension verticale de

20 %

. De quel pourcentage lʼaire augmente‑t‑elle ?

3. Diminuez la dimension horizontale du carré de départ de

60 %

et augmentez sa dimension verticale de

120 %

. Lʼaire augmente‑t‑elle ou diminue-t-elle ? De quel pourcentage ?

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76
À vous de jouer !

Affiche représentant un pot de crème à 75 centimes, exprimant une économie de 12%.

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Affiche représentant un jean à 64 euros, un pull à 40 euros et une chemise à 25 euros, exprimant une réduction de 25%.

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Affiche représentant un fromage de 394g dont le prix au kilo est de 16,99 euros au lieu de 18,99 euros.

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Proposez des énoncés dʼexercices à partir des affiches suivantes et résolvez-les.

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77
Arthur va au supermarché pour acheter de la confiture de groseilles.

Le pot de confiture coute

1, 90 €

. Au moment de se servir, un vendeur lui dit : « Il y a une promotion spéciale sur la confiture de groseilles ce mois-ci. En fait, vous avez le choix entre 2 promotions : soit, pour 3 pots achetés, le quatrième est offert ; soit une remise de

20 %

sur chaque pot acheté. »
Arthur lui répond : « Intéressant, mais avec ma carte de fidélité, jʼai déjà des bons de réduction de 40 centimes par pot de confiture acheté. »
Le vendeur rétorque : « Cʼest vous qui voyez, mais vous ne pouvez bénéficier que dʼune seule réduction parmi les 3 possibilités que vous avez. Réfléchissez bien ! »

1. Pour quelle(s) promotion(s) lʼéconomie est-elle proportionnelle au nombre de pots de confiture achetés ?

2. Choisissez la promotion la plus intéressante pour 5 pots achetés, pour 10 pots achetés et pour 12 pots achetés.

	5 pots	10 pots	12 pots
Promotion 1	7,6	15,2	17,1
Promotion 2	7,6	15,2	18,24
Promotion 3	7,5	15	18
Promotion choisie

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78
Savoir refaire
Assemblée nationale.

Pendant la IX^elégislature de la Ve république, il y avait 33 femmes parmi les 577 députés de lʼAssemblée nationale française. Au cours de lʼactuelle XIV^elégislature, il y a 155 femmes parmi les 577 députés.

1. Calculez le pourcentage de femmes à lʼAssemblée pendant la IX^e législature.

2. Calculez le pourcentage de femmes à lʼAssemblée pendant la XIV^e législature.

3. Dans quelle proportion le pourcentage de femmes à lʼAssemblée a-t-il augmenté ?

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79
Soldes.

Pablo souhaite acheter une veste mais il hésite entre deux.
La veste A coute

28 €

;
La veste B,

29, 90 €

.
Il revient le premier jour des soldes et remarque que la veste A a été soldée : elle est à

- 15 %

1. Quelle est la réduction en € appliquée au prix de la veste A ?

2. Déduisez-en le nouveau prix de la veste A.

3. Pablo revient une semaine plus tard. Il découvre que la veste B a également été soldée et que son nouveau prix est de

20 €

. Par ailleurs, le prix de la veste A a subi une nouvelle baisse de

20 %

par rapport à son prix déjà soldé. À quel pourcentage correspond la réduction appliquée au prix de la veste B ? Donnez un arrondi à lʼunité.

4. Calculez le nouveau prix de la veste A, puis le pourcentage global correspondant aux deux réductions successives appliquées à son prix.

5. Quelle veste est désormais la moins chère ?

6. Quelle veste a subi la réduction la plus intéressante ?

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80
Hausse et baisse de prix.

Une grande marque pense que sa nouvelle paire de baskets va être un succès et augmente le prix de vente initialement prévu de

100 %

. Le prix est alors de

140 €

. Mais la paire de baskets se vend plus mal que prévu, et la marque décide de les solder de

40 %

.

1. Comparez le prix de la paire de baskets avant et après les deux changements de prix.

2. De quel poucentage le prix de la paire de baskets aurait dû être baissé pour que le prix de départ soit égal au prix final ?

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81
Un jeu de devinettes.

Pendant un jeu de devinettes où on a le choix entre vrai et faux, Diane a deviné les trois quarts des bonnes réponses. Enzo a deviné deux bonnes réponses de plus que Diane et a obtenu un score de

80 %

.

Combien de questions ont-été posées ?

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82
Un fût a quatre robinets.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Valentyn Volkov/Shutterstock

Si lʼon nʼouvre que le premier robinet, le fût se vide en une demi-heure. Si lʼon nʼouvre que le deuxième robinet, le fût se vide en une heure. Si lʼon nʼouvre que le troisième robinet, le fût se vide en une heure et demie. Si lʼon nʼouvre que le quatrième robinet, le fût se vide en deux heures.

En combien de temps le fût se vide-t-il si on ouvre les quatre robinets à la fois ?

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A
Exercice numérique

Voici une recette de gâteau au yaourt.

Pour 6 personnes :

1 pot de yaourt
3 œufs
$150 g$ de sucre
$200 g$ de farine

$\frac{1}{2}$ sachet de levure chimique

$\frac{1}{2}$ pot d'huile neutre

1. Déterminer les quantités pour 12 personnes.

2. Déterminer les quantités pour 15 personnes.

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B
Exercice numérique

Compléter la facture ci‑dessous sur laquelle il manque des informations :

Article	Quantité	Prix unitaire (en €)	Prix (en €)
Gants	5	17
Bonnets	8		120
Écharpes	7	6,40
Tour de cou		7,35	29,40
Montant TTC
Remise de 10 %
Prix à payer

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Tâche complexe
Lʼeffet cigogne.

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Énoncé

Lʼeffet cigogne est un exemple de corrélation trompeuse entre deux phénomènes.

À partir des documents suivants, peut‑on en conclure que les cigognes apportent les bébés ? Pourquoi ?

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Doc. 1
Nombre de naissances et de cigognes vivant dans des villes de différentes tailles.

Graphique des naissances et des cigognes dans différentes villes.

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Pour simplifier, nous supposerons que les nombres de cigognes, de naissances et d'habitants sont parfaitement proportionnels.

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Doc. 2
Corrélation et causalité.

Plus on est âgé, plus on a de bougies sur notre gâteau d'anniversaire.
Il y a une corrélation, c'est-à- dire une relation existante entre deux phénomènes.
La corrélation entre l'âge et le nombre de bougies s'explique par le fait que l'un dépend de l'autre : plus nous sommes vieux, plus notre famille met de bougies sur notre gâteau d'anniversaire.
En remarquant que plus les villes avaient de cigognes, plus il y avait de naissances, certains en ont déduit que les cigognes apportaient les bébés. Mais ce n'est pas parce que deux phénomènes sont corrélés que l'un est la cause de l'autre. Un troisième phénomène peut être la cause des deux autres.

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Doc. 3
Lʼhabitat des cigognes.

Les cigognes étant de grands oiseaux, elles construisent leurs nids sur des surfaces élevées mais stables : des arbres, des toits de maisons, des cheminées, des corniches, des balcons... C'est pourquoi les cigognes nidifient souvent près des habitats humains, et en particulier des villes.

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Émilie

Jean-Paul

Fatima

Sarah

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Je résous des problèmes

47

48 Rectangle et proportionnalité.

49Achat « en gros ».

50 Consommation dʼune voiture.

GeoGebra

51Lessive.

52Qui parle quelle langue ?

53 Savoir refaireMarathon.

54 Savoir refaireClothilde va chez Ruben.

55 Sur une carte.

56 Corvée de patates.

57 Aire et proportionnalité.

58 Ferdinand est passionné de modélisme.

59Usain Bolt.

60 Jardinage.

61 Téléviseurs.

62 Catapultes miniatures.

63Un mic-mac pour Bob.

64Sauce au fromage.

65 Une étude sur les secteurs de cercle.

GeoGebra

GeoGebra

GeoGebra

GeoGebra

66 Cocktail.

67 Location.

68 Confiture.

69 Baisse de prix.

70 Pluie de chaussettes !

71 À lʼécole.

72 Tomates.

73 Arthur court 200 mètres en 24 secondes.

74 Top départ pour les soldes.

75On considère le carré suivant.

76À vous de jouer !

77 Arthur va au supermarché pour acheter de la confiture de groseilles.

78 Savoir refaire Assemblée nationale.

79 Soldes.

80 Hausse et baisse de prix.

81 Un jeu de devinettes.

82 Un fût a quatre robinets.

A Exercice numérique

B Exercice numérique

Tâche complexeLʼeffet cigogne.

Énoncé

Doc. 1Nombre de naissances et de cigognes vivant dans des villes de différentes tailles.

Doc. 2 Corrélation et causalité.

Doc. 3 Lʼhabitat des cigognes.

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48
Rectangle et proportionnalité.

49
Achat « en gros ».

50
Consommation dʼune voiture.

51
Lessive.

52
Qui parle quelle langue ?

53
Savoir refaire
Marathon.

54
Savoir refaire
Clothilde va chez Ruben.

55
Sur une carte.

56
Corvée de patates.

57
Aire et proportionnalité.

58
Ferdinand est passionné de modélisme.

59
Usain Bolt.

60
Jardinage.

61
Téléviseurs.

62
Catapultes miniatures.

63
Un mic-mac pour Bob.

64
Sauce au fromage.

65
Une étude sur les secteurs de cercle.

66
Cocktail.

67
Location.

68
Confiture.

69
Baisse de prix.

70
Pluie de chaussettes !

71
À lʼécole.

72
Tomates.

73
Arthur court 200 mètres en 24 secondes.

74
Top départ pour les soldes.

75
On considère le carré suivant.

76
À vous de jouer !

77
Arthur va au supermarché pour acheter de la confiture de groseilles.

78
Savoir refaire
Assemblée nationale.

79
Soldes.

80
Hausse et baisse de prix.

81
Un jeu de devinettes.

82
Un fût a quatre robinets.

A
Exercice numérique

B
Exercice numérique

Tâche complexe
Lʼeffet cigogne.

Doc. 1
Nombre de naissances et de cigognes vivant dans des villes de différentes tailles.

Doc. 2
Corrélation et causalité.

Doc. 3
Lʼhabitat des cigognes.