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J'apprends
P.126-129

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Mathématiques - J'apprends


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A. Reconnaitre une situation de proportionnalité


1. Notion de proportionnalité

  Définition
Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut obtenir toutes les valeurs de lʼune en multipliant celles de lʼautre par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

  J'applique
Consigne : Parmi les couples de grandeurs suivantes, lesquelles sont proportionnelles ?
a. La température d'un réfrigérateur et la distance Terre-Lune.
b. La masse de tomates dans un sachet et le prix du sachet.
c. La puissance d'une voiture et le nombre de ses vitres.
d. L'âge d'une personne et sa taille.
Correction : 
a. Il n'y a pas proportionnalité.
b. Plus vous achetez de grammes de tomates, plus vous payez, il y a donc proportionnalité.
c. Il n'y a pas proportionnalité.
d. Il n'y a pas proportionnalité, car on arrête de grandir à l'âge adulte.

Deux grandeurs peuvent être liées mais pas proportionnelles : lʼâge et la taille en sont un exemple.

2. Représentation

  Définition
Un tableau qui donne plusieurs valeurs prises par 2 grandeurs proportionnelles est un tableau de proportionnalité.

Exemple : 
Au supermarché, le prix des tomates est proportionnel à la masse achetée. On peut donc présenter les grandeurs dans un tableau de proportionnalité. On passe dʼune valeur à lʼautre en multipliant ou divisant par 2,5.
2,5 est donc le coefficient de proportionnalité.
mathtable
  Propriété
Lorsquʼon représente graphiquement deux grandeurs proportionnelles, on obtient des points alignés sur une droite passant par lʼorigine du repère.

  J'applique
Consigne : Parmi les graphiques suivants, lequel décrit une situation de proportionnalité ?
a.
math1
b. 
math2
c.
math3
 Correction : Le graphique c. représente une situation de proportionnalité car ses points sont alignés avec l'origine du repère.
math4

B. Compléter un tableau de proportionnalité


  Méthode
Utiliser le coefficient multiplicateur
Voici un tableau de proportionnalité à compléter.
mathtableb
Pour trouver le coefficient multiplicateur, il faut choisir deux valeurs connues et proportionnelles, puis diviser lʼune par lʼautre. Il ne reste quʼà sʼen servir pour compléter les cases vides.
mathtableb2
Remarque : Il est souvent plus pratique de mettre les valeurs les plus petites sur la première
ligne pour que le coefficient multiplicateur soit supérieur à 1.

  Méthode
On peut additionner ou soustraire des colonnes dʼun tableau de proportionnalité pour en obtenir une nouvelle colonne.
On peut multiplier ou diviser une colonne dʼun tableau de proportionnalité par un nombre non nul pour en obtenir une nouvelle colonne.
mathtableb3
  Méthode
Quand on a trois données a,b,ca, b, c dans un tableau de proportionnalité, on peut calculer la valeur xx dans la quatrième case à lʼaide de lʼégalité du produit en croix.
La valeur xx est appelée quatrième proportionnelle.
mathtableb4

Par proportionnalité, ab=cx\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x} donc c×b=a×xc \times b = a \times x. On a donc x = c×bax = \dfrac{c \times b}{a}.

mathtableb5

  J'applique
Consigne : Le tableau suivant représente une situation de proportionnalité. Trouvez la valeur de xx. Correction : D'après l'égalité des produits en croix, on a :
9×5=4×x9 \times 5 = 4 \times x
Donc x=9×54x = \dfrac{9 \times 5}{4}
x=11,25x = 11\text{,}25

C. Utiliser les pourcentages


  Rappel
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut 100.
On peut exprimer une fraction en un pourcentage à lʼaide dʼun tableau de proportionnalité.
Voici deux méthodes pour trouver xx :
c46crappel
  • On voit que 25×4=10025 \times 4 = 100 donc, comme cʼest un tableau de proportionnalité, 7×4 =x7 \times 4 = x donc x=28x = 28.
  • On utilise lʼégalité des produits en croix. x= 7×10025=28x = \dfrac{7 \times 100}{25} = 28

  Propriété
Pour augmenter un nombre dʼun pourcentage pp, on le multiplie par (1+p)(1 + p).
Pour diminuer un nombre dʼun pourcentage pp, on le multiplie par (1p)(1 - p).

  J'applique
Consigne : Lors des soldes, une paire de chaussures voit son prix de 80 € baisser de 25 %. Quel est le nouveau prix de ces chaussures ?
Correction : 80×(125100)=80×75100=6080 \times \left(1 - \dfrac{25}{100}\right) = 80 \times \dfrac{75}{100} = 60
Le nouveau prix est de 60€.

D. Utiliser les échelles


Définition On appelle échelle le coefficient multiplicateur entre la mesure de la représentation dʼun objet et sa mesure réelle, exprimées dans les mêmes unités.
Lʼéchelle est donnée par la formule : Dimension apparenteDimension reˊelle\dfrac{\text{Dimension apparente}}{\text{Dimension réelle}}

  J'applique
Consigne : 
Une maquette de 30 cm de la Tour Eiffel a été construite. La véritable Tour Eiffel mesure 324 m. Quelle est lʼéchelle de la reproduction ?
Correction : 324 m = 32 400 cm. Donc l'échelle de la reproduction est de 3032400=11080\dfrac{30}{32\:400} = \dfrac{1}{1\:080}.
On dit que la reproduction est au 1/1 080e.

  Méthode
Un tableau de proportionnalité peut permettre de faire facilement correspondre des mesures réelles et apparentes.
Voici un tableau de proportionnalité lié à une carte à lʼéchelle 1/400000e1/400 \: 000^e.
table19
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