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Problèmes résolus
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Mathématiques - Problèmes résolus


Problèmes résolus




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Exercice 62 : Semi-marathon.

Un semi-marathon a une distance de 21 km. Après 30 min de course, Jean a parcouru 4,2 km. Aminata doit encore parcourir les trois quarts de la distance alors que Charlotte est localisée à 18 km de lʼarrivée. Lucas, quant à lui, a parcouru les trois dixièmes de la distance.

1
Quel est le classement provisoire après 30 min de course ?



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Méthode 1

Pour calculer des mesures et les comparer, on peut chercher à les mettre sous la même forme (numérique, géométrique, fractionnaire) et avec la même unité.

Corrigé 1

  • Jean a parcouru 4,2 km.
  • Aminata a parcouru le quart de la distance (car il lui reste les trois quarts à parcourir). Elle a donc parcouru 214\dfrac{21}{4} soit 5,25 km.
  • Charlotte a parcouru 3 km car elle est localisée à 18 km de lʼarrivée, et 2118=321 - 18 = 3.
  • 310×21=6,3\dfrac{3}{10} \times21 = 6\text{,}3 Lucas a donc parcouru 6,3 km.
    Le classement provisoire est donc : 
    Participant Distance Position
    Jean 4,2 km 3e
    Aminata 5,25 km 2e
    Charlotte 3 km 4e
    Lucas 6,3 km 1er

Méthode 2

Pour pouvoir calculer des mesures comme parties dʼun tout et les comparer, on peut mettre toutes ces mesures sous la forme de fractions et ensuite comparer celles-ci.

Corrigé 2


On détermine la fraction du parcours que chacun a couru.
  • Jean a parcouru 4,2 km sur les 21 km de la course. Il a donc parcouru : 
    4,221=4,2×1021×10=42210=42÷42210÷42=15\dfrac{4\text{,}2}{21} = \dfrac{4\text{,}2 \times 10}{21 \times 10} = \dfrac{42}{210} = \dfrac{42 \div 42}{210 \div 42} = \dfrac{1}{5}.
  • Aminata a parcouru 14\dfrac{1}{4} de la distance (car il lui reste les trois quarts à parcourir).
  • Charlotte a parcouru 3 km car elle est localisée à 18 km de lʼarrivée, et 2118=321 - 18 = 3.
    321=1×37×3=17\dfrac{3}{21} = \dfrac{1 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{1}{7}.
  • Lucas a parcouru les trois dixièmes de la distance, soit 310\dfrac{3}{10}
  • 15\dfrac{1}{5}14\dfrac{1}{4} et 17\dfrac{1}{7} ont le même numérateur donc, d'après le cours, 14>15>17\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{7}.
  • Comparons 310\dfrac{3}{10} et 14\dfrac{1}{4}.
    310=3×210×2=620\dfrac{3}{10} = \dfrac{3 \times 2}{10 \times 2} = \dfrac{6}{20} or 620>520\dfrac{6}{20} > \dfrac{5}{20}
    14=1×54×5=520\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{5}{20} or 620>520\dfrac{6}{20} > \dfrac{5}{20}
    donc 310> 14\dfrac{3}{10} > \dfrac{1}{4}
    donc 310> 14> 15> 17\dfrac{3}{10} > \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{7}
Donc Lucas est premier, Aminata deuxième, Jean troisième et Charlotte quatrième.
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Exercice 63 : Périmètres et proportions.

ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, BC = 7 cm et AC = 6 cm.

1
Quelle proportion la longueur AC représente-t-elle par rapport au périmètre du triangle ?



2
Cette fraction admet-elle une écriture décimale ? Si oui, donnez-la.



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