Problèmes résolus

Exercice 62 : Semi-marathon.

Un semi-marathon a une distance de 21 km. Après 30 min de course, Jean a parcouru 4,2 km. Aminata doit encore parcourir les trois quarts de la distance alors que Charlotte est localisée à 18 km de lʼarrivée. Lucas, quant à lui, a parcouru les trois dixièmes de la distance.

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Quel est le classement provisoire après 30 min de course ?

Pour calculer des mesures et les comparer, on peut chercher à les mettre sous la même forme (numérique, géométrique, fractionnaire) et avec la même unité.

• Jean a parcouru 4,2 km.
• Aminata a parcouru le quart de la distance (car il lui reste les trois quarts à parcourir). Elle a donc parcouru $\dfrac{21}{4}$ soit 5,25 km.
• Charlotte a parcouru 3 km car elle est localisée à 18 km de lʼarrivée, et $21 - 18 = 3$.
• $\dfrac{3}{10} \times21 = 6\text{,}3$ Lucas a donc parcouru 6,3 km.
  Le classement provisoire est donc : 
  
  Participant	Distance	Position
  Jean	4,2 km	3e
  Aminata	5,25 km	2e
  Charlotte	3 km	4e
  Lucas	6,3 km	1er

Pour pouvoir calculer des mesures comme parties dʼun tout et les comparer, on peut mettre toutes ces mesures sous la forme de fractions et ensuite comparer celles-ci.

On détermine la fraction du parcours que chacun a couru.

• Jean a parcouru 4,2 km sur les 21 km de la course. Il a donc parcouru : 
  $\dfrac{4\text{,}2}{21} = \dfrac{4\text{,}2 \times 10}{21 \times 10} = \dfrac{42}{210} = \dfrac{42 \div 42}{210 \div 42} = \dfrac{1}{5}$.
• Aminata a parcouru $\dfrac{1}{4}$ de la distance (car il lui reste les trois quarts à parcourir).
• Charlotte a parcouru 3 km car elle est localisée à 18 km de lʼarrivée, et $21 - 18 = 3$.
  $\dfrac{3}{21} = \dfrac{1 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{1}{7}$.
• Lucas a parcouru les trois dixièmes de la distance, soit $\dfrac{3}{10}$. 
• $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{7}$ ont le même numérateur donc, d'après le cours, $\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{7}$.
• Comparons $\dfrac{3}{10}$ et $\dfrac{1}{4}$.
  $\dfrac{3}{10} = \dfrac{3 \times 2}{10 \times 2} = \dfrac{6}{20}$ or $\dfrac{6}{20} > \dfrac{5}{20}$
  $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{5}{20}$ or $\dfrac{6}{20} > \dfrac{5}{20}$
  donc $\dfrac{3}{10} > \dfrac{1}{4}$
  donc $\dfrac{3}{10} > \dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{7}$

Donc Lucas est premier, Aminata deuxième, Jean troisième et Charlotte quatrième.

Exercice 63 : Périmètres et proportions.

ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, BC = 7 cm et AC = 6 cm.

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Quelle proportion la longueur AC représente-t-elle par rapport au périmètre du triangle ?

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Cette fraction admet-elle une écriture décimale ? Si oui, donnez-la.