Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 3
J'apprends

Nombres fractionnaires

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A
Quʼest-ce quʼune fraction ?

Je découvre
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1
La fraction comme proportion

Définition
Une fraction peut représenter un partage, le rapport de proportionnalité entre deux nombres.

Exercices n°  p. 60 et 61

J'applique

Consigne :
Donnez la fraction qui représente le partage.
Rectangle partagé en 10 parts égales et rond partagé en 4 parts non égales
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Correction :
a. \dfrac{2}{10} ou \dfrac{1}{5} si lʼon regroupe les barres par deux.
b. Ce nʼest pas \dfrac {1}{4} du gâteau. On ne peut pas savoir la fraction que cela représente car il nʼest pas coupé en parts égales.
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2
 La fraction comme quotient et comme nombre

Définition
a et b sont deux nombres tels que b est différent de 0
Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Il est noté \dfrac{a}{b} et est appelé fraction.
Une fraction est donc le résultat dʼune division (avec a le numérateur et b le dénominateur) : \dfrac{a}{b} = a \div b
fraction
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Exercices n°  p. 61-63

Aide
Il est impossible de diviser par zéro. Le dénominateur ne peut donc jamais être égal à zéro.
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3
3. Règles dʼécriture

Vocabulaire
Un nombre rationnel est un nombre qui peut sʼécrire comme une fraction de deux entiers.
Un nombre décimal est la fraction dʼun entier par 10, 100, 1 000, 10 000, etc.
Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100.
Certaines fractions ne peuvent pas sʼécrire sous forme décimale car il y aurait un nombre infini de chiffres après la virgule, comme dans le cas de \dfrac{1}{3}. On utilise alors lʼécriture fractionnaire pour donner une valeur exacte. On peut cependant en donner des valeurs décimales approchées.

Exercices n°  p. 61-63
Remarque :  Certaines fractions sont des nombres décimaux, comme dans le cas de \dfrac{6}{4} = 1,5. On dit alors que 1,5 est lʼécriture décimale de la fraction \dfrac{6}{4}.

J'applique

Consigne : \dfrac{1}{7} peut-il sʼécrire sous forme décimale ?

Correction : \dfrac{1}{7} vaut 0\text{,}142857142857... avec une infinité de fois 142857.
0\text{,}1421857142857 \text{\textless} \dfrac{1}{7} \text{\textless} 0\text{,}142857142858. On ne peut pas en donner une écriture décimale exacte. En revanche, on peut en donner une valeur arrondie.
Façons de lire les fractions
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B
Comparer des fractions

Je découvre
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1
Comparaison à zéro

Propriété
On peut repérer une fraction sur une droite graduée.
Une fraction négative se trouve à gauche de 0.
Droite graduée
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La règle des signes sʼapplique pour les fractions :
  • si a et b ont le même signe, alors \dfrac{a}{b} est positif ;
  • si les signes de a et b sont différents, alors \dfrac{a}{b} est négatif.


Exercices n°  p. 63-64
Remarque :  On a notamment
-\dfrac{4}{5} = \dfrac{-4}{5} = \dfrac{4}{-5}. Pour un nombre négatif, on préférera la première écriture : -\dfrac{4}{5}.
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2
 Comparer des fractions dans des cas particuliers

Propriété
  • Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur est égale à 1.
  • Si deux fractions positives ont le même :
    • dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.
    • numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
  • Les fractions négatives sont rangées dans le sens contraire des fractions positives.
  • Si deux fractions ont le même dénominateur, elles sont égales seulement si elles ont le même numérateur.  
Exercices n°  p. 63-64

J'applique

Consigne : Comparez -\dfrac{5}{7} et -\dfrac{5}{6}.

Correction : Les deux fractions ont le même numérateur et 7 > 6, donc \dfrac{5}{7} \text{\textless} \dfrac{5}{6}.
Or les deux fractions sont négatives, donc -\dfrac{5}{7} > -\dfrac{5}{6}.
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3
 Comparaison générale de fractions 

Propriété
  Si on multiplie ou divise à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre k \neq 0, alors on ne change pas la valeur de la fraction : \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \color{#ab4657} \times k}{b \color{#ab4657}\times k} et \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \color{#ab4657} \div k}{b \color{#ab4657} \div k}.

Exercices n°  p. 63-64
Remarque :  Cette propriété permet de comparer des fractions. Cela peut aussi se faire en les plaçant sur une droite graduée ou en donnant leur écriture décimale, lorsque cela est possible.
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4
 Simplification de fraction

Propriété
Lorsque le numérateur et le dénominateur dʼune fraction ont un diviseur commun autre que 1, il est possible de simplifier la fraction. Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun.
Si une fraction nʼest pas simplifiable, on dit quʼelle est « irréductible ».

Exercices n°  p. 64

J'applique

Consigne : La fraction \dfrac{12}{100} est-elle simplifiable ?

Correction : 12 et 100 ont un diviseur commun, 4.
Donc \dfrac {12}{100} = \dfrac{3 \times 4}{25 \times 4} = \dfrac{3}{25}.
3 et 25 n'ont pas de diviseurs communs, donc \dfrac {3}{25} est irréductible.
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C
Opérations sur les fractions

J'approfondis
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1
 Addition et soustraction

Propriété
Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont le même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs. Le dénominateur reste le même.
Pour additionner ou soustraire des fractions, on réduit dʼabord les deux fractions au même dénominateur.

Exercices n°  p. 64-67

J'applique

Consigne : Calculez \dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{3}.

Correction : \dfrac {2}{9} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{4 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{12}{9} = \dfrac{14}{9}

 

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2
Multiplication de fractions

Rappel
Prendre une fraction dʼun nombre, cʼest le multiplier par cette fraction.

Exercices n°  p. 64-67

Propriété
  Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

Exercices n°  p. 64-67
Exemple : On pose A = \dfrac{7}{4} \times 6.
6 = \dfrac{6}{1}, on a donc {A = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{6}{1}} alors {A = \dfrac{7 \times 6}{4 \times 1} = \dfrac{6 \times 7}{4}} car {7 \times 6 = 6 \times 7}.
Donc {A = \dfrac{6}{4} \times 7}.

J'applique

Consigne :  Calculez \dfrac{11}{5} de 15.

Correction : On choisit l'une de ces 3 méthodes : 
  • \dfrac{11}{5} \times 15 = 2\text{,}2 \times 15 = 33 car \dfrac{11}{5} = 2\text{,}2
  • \dfrac {11 \times 15}{5} = \dfrac{165}{5} = \dfrac{5 \times 33}{5 \times 1} = 33
  • 11 \times \dfrac{15}{5} = 11 \times 3 = 33 car \dfrac{15}{5} = 3
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3
Inverse dʼun nombre

Définition
Lʼinverse dʼun nombre a non nul est le nombre qui, multiplié par a, donne 1. Il est noté \dfrac{1}{a} et on a donc : a \times \dfrac{1}{a} = 1.
Lʼinverse dʼun nombre a non nul peut également sʼécrire : a^{-1} = \dfrac{1}{a}

Exercices n°  p. 64-67
Remarque :  Pour obtenir lʼinverse dʼune fraction, il suffit dʼinverser le numérateur et le dénominateur \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}.

 

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4
 Division de fractions

Propriété
Diviser par une fraction, cʼest multiplier par son inverse.

Exercices n°  p. 64-67
Exemple : 

\dfrac{5}{8} \div \dfrac{27}{13} = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{13}{27}

\dfrac{5}{8} \div \dfrac{27}{13} = \dfrac{5 \times 13}{8 \times 27} = \dfrac{65}{216}

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