Un jeu mobile propose aux joueurs d'ouvrir un coffre chaque jour. Ces coffres peuvent contenir un arc, un bouclier ou un casque. La probabilité d'apparition de ces trois objets est identique chaque jour.

coffre avec une épée, un arc et un bouclier

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Questions

Partie A : Obtenir deux arcs

On note \mathrm{A}_{n} l'événement « Obtenir l'arc le n-ième jour », \mathrm{B}_{n} l'événement « Obtenir le bouclier le n-ième jour » et \mathrm{C}_{n} l'événement « Obtenir le casque le n-ième jour » où n est un entier naturel non nul. Un joueur s'inscrit au jeu, puis ouvre un coffre trois jours de suite.

1

a. Interpréter puis déterminer \mathrm{P}_{\mathrm{A}_{1}}\left(\mathrm{~A}_{2}\right).

b. Interpréter puis déterminer \mathrm{P}\left(\mathrm{A}_{2}\right). Comparer cette valeur à celle obtenue à la question précédente. On dit que deux événements \mathrm{E} et \mathrm{F} sont indépendants lorsque \mathrm{P}_{\mathrm{F}}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E}), autrement dit lorsque la probabilité de l'événement \mathrm{E} ne dépend pas de la réalisation de l'événement \mathrm{F}.

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Que peut-on dire des événements \mathrm{A}_{1} et \mathrm{A}_{2} ? Comment l'expliquer par rapport au contexte ?

Partie B : Compléter la collection

Le joueur commence le jeu sans équipement. Il ouvre un coffre par jour dans l'espoir de détenir les trois objets le plus vite possible. Il souhaite connaître la probabilité d'y arriver dès le troisième jour.
On appelle \mathrm{U} l'événement « Avoir un des trois objets le premier jour », \mathrm{D} l'événement « Avoir deux des trois objets le deuxième jour » et \mathrm{T} l'événement « Avoir les trois objets différents le troisième jour ».

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Quelle est la probabilité de l'événement \mathrm{U} ?

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En énumérant les successions d'événements qui réalisent \mathrm{T}, déterminer \mathrm{P}(\mathrm{T}), c'est-à-dire la probabilité que le joueur possède trois objets différents le troisième jour.

Aide

Par exemple, la succession \left(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~B}_{2}, \mathrm{C}_{3}\right) réalise \mathrm{T}.

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a. On suppose maintenant que le joueur possède deux objets différents le deuxième jour. Quelle est la probabilité que le coffre du troisième jour lui donne l'objet manquant ?

b. En déduire \mathrm{P}_{\mathrm{D}}(\mathrm{T}).

4
Comparer les résultats des questions

b. Les événements \mathrm{D} et \mathrm{T} sont-ils indépendants ?

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Bilan

Comment définir mathématiquement que deux événements \mathrm{A} et \mathrm{B} sont indépendants en utilisant les probabilités conditionnelles ?

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