La composition du sang est identique pour tous les humains mais les antigènes présents sur les globules rouges varient d'un individu à l'autre. Il existe quatre groupes sanguins : le groupe A possède uniquement les antigènes A, le groupe B uniquement les B, le groupe AB a les deux types d'antigènes et, enfin, le groupe O se caractérise par l'absence de ces deux types d'antigènes.

	Groupe A	Groupe B	Groupe AB	Groupe O
Globule rouge	Le zoom est accessible dans la version Premium.	Le zoom est accessible dans la version Premium.	Le zoom est accessible dans la version Premium.	Le zoom est accessible dans la version Premium.
Anticorps	Le zoom est accessible dans la version Premium. Anti-B	Le zoom est accessible dans la version Premium. Anti-A	Aucun	Le zoom est accessible dans la version Premium. Anti-A et Anti-B
Antigène	Le zoom est accessible dans la version Premium. Antigène A	Le zoom est accessible dans la version Premium. Antigène B	Le zoom est accessible dans la version Premium. Antigène A et B	Pas d'antigène

On suppose que \mathrm{44} % des Français sont du groupe sanguin A et que \mathrm{4} % sont du groupe AB.

On choisit un Français au hasard. Si l'antigène A est trouvé dans son sang, quelle est la probabilité que ce Français soit du groupe A ?

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31

On donne ci-dessous un arbre pondéré. À quelle probabilité correspond chacune des pondérations apparaissant sur chaque branche ?

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32

Dans un club d'aviron, les adhérents sont regroupés selon leur âge (les jeunes, les adultes et les seniors), puis en deux catégories (compétiteurs ou non).

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Les effectifs sont résumés dans le tableau ci-dessous.

	Jeunes	Adultes	Seniors
Compétiteurs	15	31	8
Non compétiteurs	25	17	14

On choisit un adhérent au hasard. On définit les quatre événements suivants :

J : « L'adhérent est un jeune » ;
A : « L'adhérent est un adulte » ;
S : « L'adhérent est un senior » ;
C : « L'adhérent est un compétiteur ».

1. Décrire par une phrase les événements \mathrm{C} \cap \mathrm{J} et \mathrm{S} \cap \overline{\mathrm{C}}

2. Calculer les probabilités suivantes sous forme de fractions irréductibles, puis les interpréter dans le contexte de l'exercice.
a. \mathrm{P}(\mathrm{C} \cap \mathrm{J}) et \mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \overline{\mathrm{C}}).
b. \mathrm{P}(\mathrm{S}) et \mathrm{P}(\mathrm{C}).
c. \mathrm{P}_{\mathrm{S}}(\mathrm{C}), \mathrm{P_{C}(S)} et \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{C}}}(\mathrm{A})

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33

Dans une usine, \mathrm{7} % des appareils sortants ont un défaut de fabrication. Dans \mathrm{75} % des cas, ce défaut est visible et le produit est alors écarté.

Certains appareils, pourtant sans défaut, sont retirés par erreur. Sur un lot de fabrication de \mathrm{800} appareils, \mathrm{64} sont écartés.

1. Compléter le tableau suivant.

	Défaut	Correct	Total
Écartés
Conservés
Total			800

2. On choisit au hasard un appareil parmi les produits écartés.
Quelle est la probabilité qu'il ait un défaut ?

3. Quelle est la probabilité qu'un produit conservé ait malgré tout un défaut ?

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34

On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6.

1. Quelle est la probabilité que le résultat obtenu soit un nombre pair et un nombre supérieur ou égal à \mathrm{4} ?

2. Quelle est la probabilité que le résultat obtenu soit un nombre pair sachant que c'est un nombre supérieur ou égal à \mathrm{4} ?

3. Quelle est la probabilité que le résultat obtenu soit impair sachant que c'est un nombre premier ?

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35

\mathrm{26} % des étudiants français suivent leurs études en Île-de-France. Les autres les suivent en province.

Parmi les étudiants d'Île-de-France, \mathrm{51} % sont inscrits à l'université alors que \mathrm{62} % des étudiants de province sont inscrits dans une université.

On choisit un étudiant français au hasard. On note :

\mathrm{F} l'événement : « L'étudiant choisi est inscrit en Île-de-France » ;

\mathrm{U} l'événement : « L'étudiant choisi est inscrit dans une université ».

1. Donner les valeurs de \mathrm{P}_{\mathrm{F}}(\mathrm{U}) et de \rm{P}_{\overline{\mathrm{F}}}(\mathrm{U}).

2. Déterminer la probabilité que l'étudiant choisi soit inscrit en province.

3. Déterminer la probabilité que l'étudiant choisi soit inscrit dans une université de province.

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36

Dans un lycée de \mathrm{1}\:250 élèves, \mathrm{300} élèves se font vacciner contre la grippe. Pendant l'hiver, une épidémie de grippe éclate et \mathrm{10} % des élèves contractent la maladie. Par ailleurs, \mathrm{3} % des élèves vaccinés ont la grippe. On choisit au hasard l'un des élèves de ce lycée, tous les élèves ayant la même probabilité d'être choisis.

On considère les événements suivants :

\mathrm{V} : « L'élève choisi a été vacciné » ;

\mathrm{G} : « L'élève choisi a eu la grippe ».

1. Réaliser un tableau croisé d'effectifs pour représenter cette situation.

2. Calculer la probabilité des événements \mathrm{V} et \mathrm{G}.

3. D'après l'énoncé, que vaut \mathrm{P_{v}(G)} ?

4. Modéliser l'expérience à l'aide d'un arbre pondéré.

5. Interpréter l'événement \mathrm{V} \cap \mathrm{G}, puis calculer sa probabilité.

6. Interpréter l'événement \mathrm{V} \cup \mathrm{G}, puis calculer sa probabilité.

Aide

On rappelle : \mathrm{P}(\mathrm{V} \cup \mathrm{G})=\mathrm{P}(\mathrm{V})+\mathrm{P}(\mathrm{G})-\mathrm{P}(\mathrm{V} \cap \mathrm{G})

7. On choisit un élève au hasard parmi ceux qui ont été vaccinés.

Quelle est la probabilité qu'il ait eu la grippe ?

8. On choisit un élève au hasard parmi ceux qui n'ont pas été vaccinés.

Quelle est la probabilité qu'il ait eu la grippe ?

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37
Exercice inversé

Soit \mathrm{T} et \mathrm{U} deux événements indépendants qui se réalisent successivement tels que \mathrm{P(U)=0,38} et \mathrm{\mathrm{P}(\mathrm{T})=0,47}.

Proposer un contexte et un arbre pondéré permettant de modéliser cette situation.

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38

Dans un cinéma, \mathrm{32} % des clients achètent des sucreries pour visionner leur film et \mathrm{27} % des clients achètent des boissons. On observe que \mathrm{5} % des clients achètent à la fois des sucreries et des boissons.

On choisit un client de ce cinéma au hasard. Les événements « Le client a acheté des sucreries » et « Le client a acheté une boisson » sont-ils indépendants ?

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39
Fil rouge

Lorsqu'un test rapide de diagnostic du VIH s'avère être positif (voir

exercice 27

), les patients sont redirigés vers des professionnels de santé afin de chercher la présence d'anticorps anti-VIH dans le sang. La notice d'utilisation indique que, pour ce type de tests, la probabilité d'être décelé positif sachant que l'on n'est pas porteur du VIH s'élève à \mathrm{0,002} et que la probabilité d'être décelé négatif sachant que l'on est porteur du VIH est nulle, sous réserve de ne pas avoir vécu de risque infectieux dans les trois derniers mois. Une association observe que, parmi les patients positifs au TROD, \mathrm{99,8} % des tests effectués sont positifs. Si on choisit le dossier au hasard d'une personne ayant effectué un test diagnostic du VIH, quelle est la probabilité, à 0,1 % près, qu'elle ne soit pas porteuse du virus ?

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40
Copie d'élève

La professeure de Déborah donne l'énoncé suivant.

Une tireuse sportive atteint sa cible avec une probabilité égale à \mathrm{0,99}. Les tirs sont indépendants les uns des autres.

Elle tire deux fois. Calculer la probabilité que la tireuse ne rate aucun de ses deux tirs.

Pour répondre à cette question, Déborah a écrit ce qui suit.

La tireuse atteint sa cible avec une probabilité égale à \mathrm{0,99}. Elle atteint donc sa cible deux fois lors de ses deux tentatives avec une probabilité égale à \mathrm{2 \times 0,99=1,98}.

Indiquer l'erreur commise par Déborah. Proposer une correction en justifiant le raisonnement.

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Défis !

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41

Le jeu de passe-dix est un jeu très à la mode à la cour de Florence au XVII^e siècle. Le jeu se joue avec trois dés et il s'agit de faire plus de dix points en un seul coup. Le duc de Toscane aurait alors observé qu'il était plus courant d'obtenir une somme égale à \mathrm{11} qu'une somme égale à \mathrm{12}, alors qu'il existe autant de façons d'obtenir \mathrm{11} que \mathrm{12}.

Comment expliquer ce paradoxe apparent ?

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42

Amandine et Béatriz jouent à un jeu de hasard en trois manches gagnantes et misent toutes les deux la même somme d'argent. Les deux joueuses ont la même probabilité de gagner chaque manche. Le jeu est soudainement interrompu alors qu'Amandine mène deux manches à une. Comment les joueuses doivent-elles se répartir les mises de départ en prenant en compte la situation actuelle ?

Ce problème est connu sous le nom du problème du chevalier de Méré (

plus d'informations

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43

Pendant la Seconde Guerre mondiale, les Alliés constatèrent que leurs bombardiers revenaient de mission parfois touchés par des balles ennemies. Une étude statistique fut faite. Sur le dessin ci-dessous, on a représenté par un point rouge les points les plus souvent touchés sur les bombardiers revenus de mission.

schéma des endroits les plus touché par des balles ennemies sur un avions

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1. Décrire précisément la population sur laquelle est effectuée l'étude statistique.

2. Indiquer sur le dessin les endroits où vous proposeriez de renforcer le blindage.

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2. Calculer des probabilités

30En SVT

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