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A. Division euclidienne et critères de divisibilité

1. Rappel sur la division euclidienne


  Rappel
Effectuer la division euclidienne d'un dividende par un diviseur, c'est trouver deux nombres appelés quotient et reste tels que :
  • Le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des entiers ;
  • Dividende = diviseur × quotient + reste ;
  • Le reste est plus petit que le quotient.

  J'applique

Consigne : 
Quels sont le quotient et le reste de la division de 247 par 22 ?

Correction :

Le quotient est 11, le reste 5, et on peut écrire : 247=22×11+5247 = 22 \times 11 + 5.

Attention ! Dans toute division, le diviseur n'est jamais égal à 0.

2. Divisibilité dʼun nombre

Définition

Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul alors on dit que :
  • bb est un diviseur de aa ;
  • aa est un multiple de bb.

Exemple : 
  • 2 est un diviseur de 10 car 2×5=102 \times 5 = 10.
  • 3 et 4 sont des diviseurs de 156 car 3×4×13=1563 \times 4 \times 13 = 156.

  J'applique :
Consigne :
5 est-il un diviseur de 30 ?
Correction :
5×6=305 \times 6 = 30, donc 5 est un diviseur de 30.

Remarque : 
  • Si aa est multiple de bb, et bb diviseur de aa, alors le reste de la division euclidienne de aa par bb est nul.
  • Tout entier naturel admet au moins le nombre 1 et lui-même comme diviseurs.

  Rappel
  • Tout nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • Tout nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
  • Tout nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4.
  • Tout nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
  • Tout nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
  • Tout nombre est divisible par 10 sʼil se termine par 0.

  J'applique :
Consigne :
Trouvez quatre diviseurs de 150.
Correction :
  • 150 est un nombre entier, il est donc divisible par 1.
  • 150 a comme chiffre des unités 0, il est donc divisible par 2.
  • La somme des chiffres composant 150 est égale à 1+5=61 + 5 = 6, qui est un multiple de 3, il est donc divisible par 3.
  • 150 a comme chiffre des unités 0, il est donc divisible par 5.

3. Nombres premiers

Définition
Un entier positif est un nombre premier sʼil possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Remarque : 
  • 1 a un unique diviseur, lui-même. Ce nʼest donc pas un nombre premier.
  • 0 a une infinité de diviseurs. Ce nʼest donc pas un nombre premier.
  • 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs ont au moins trois diviseurs : 1, 2 et eux-mêmes.

  J'applique :
Consigne :
4 est-il un nombre premier ?
Correction :
4 a trois diviseurs : 1, 2 et 4. Il nʼest donc pas premier.

Consigne :
Quels sont les dix premiers nombres premiers ?
Correction :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.

B. Priorités de calcul

1. Calcul sans parenthèses

  Propriété
Dans une expression numérique sans parenthèses, on effectue :
  • Dʼabord les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
  • Puis les additions et les soustractions, également de gauche à droite.

  J'applique :
Consigne :
Calculez A=202×3+12÷6A = 20 - 2 \times 3 + 12 \div 6.
Correction :
  • La multiplication et la division sont prioritaires : on effectue les calculs de gauche à droite.
    A=202×3+12÷6A = 20 - 2 \times 3 + 12 \div 6
    A=206+12÷6A = 20 - 6 + 12 \div 6
    Donc A=206+2A = 20 - 6 + 2.
  • Il ne reste alors que des additions et des soustractions, quʼon effectue de gauche à droite.
    A=206+2A = 20 - 6 + 2
    A=14+2A = 14 + 2
    Donc A=16A = 16.

2. Calcul avec parenthèses

  Propriété
  • Dans une expression numérique qui contient des parenthèses, on effectue :
    • En priorité les calculs entre les parenthèses ;
    • Puis on procède comme pour une expression numérique sans parenthèses.
  • Quand il y a des parenthèses imbriquées, on effectue dʼabord les calculs entre les parenthèses les plus intérieures.

  J'applique :
Consigne :
Calculez C=(3×(73))+1C = (3 \times (7 - 3)) + 1.
Correction :
  • Les calculs entre les parenthèses sont prioritaires : on effectue dʼabord ceux entre les parenthèses les plus intérieures.
    C=(3×(73))+1C = (3 \times (7 - 3)) + 1
  • On effectue les calculs entre les parenthèses extérieures.
    C=(3×4)+1C = (3 \times 4) + 1
    C=12+1C = 12 + 1
    Donc C=13C = 13.
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