Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 1
Exercices
Questions Flash - Je m'entraine
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Questions flash
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1. En langage mathématique, « le reste dans la division euclidienne de \mathbf{25} par \mathbf{4} est \mathbf{1} » sʼécrit :
2. \mathbf{12 \times 3 + 4 = 40} signifie que ...
3. Parmi ces nombres, lesquels sont premiers ?
4. Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles par \mathbf{2}, \mathbf{3} et \mathbf{5} : \bm{a = 15} ; \bm{b = 27} ; \bm{c = 30} ; \bm{d = 36} ; \bm{e = 345} ; \bm{f = 672} ; \bm{g = 765} ; \bm{h = 900} ?
2. \mathbf{12 \times 3 + 4 = 40} signifie que ...
3. Parmi ces nombres, lesquels sont premiers ?
4. Parmi ces nombres, lesquels sont divisibles par \mathbf{2}, \mathbf{3} et \mathbf{5} : \bm{a = 15} ; \bm{b = 27} ; \bm{c = 30} ; \bm{d = 36} ; \bm{e = 345} ; \bm{f = 672} ; \bm{g = 765} ; \bm{h = 900} ?
5. Que peut-on dire sur A si A \mathbf{= 7 \times 3 - 2 \times 6} ?
6. Que peut-on dire sur B si B \mathbf{= 5 \times (7 - 4) - 1} ?
7. Calculez la somme de \mathbf{11} et de \mathbf{6}, enlever \mathbf{10} au résultat puis multiplier le tout par \mathbf{3} revient à calculer :
8. Dans l'expression A \mathbf{= 5 \div (9 - 4)} ...
9. Si E \mathbf{= 14 - 6 \times 2}, alors :
6. Que peut-on dire sur B si B \mathbf{= 5 \times (7 - 4) - 1} ?
7. Calculez la somme de \mathbf{11} et de \mathbf{6}, enlever \mathbf{10} au résultat puis multiplier le tout par \mathbf{3} revient à calculer :
8. Dans l'expression A \mathbf{= 5 \div (9 - 4)} ...
9. Si E \mathbf{= 14 - 6 \times 2}, alors :
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Je m'entraine
Division euclidienne
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1 Le nombre manquant.
1. On effectue la division euclidienne de 1 414 par 231 et on trouve un quotient de 6. Quel est le reste ?
2. On effectue la division euclidienne de 987 par 18 et on trouve un quotient de 54. Quel est le reste ?
3. On effectue la division euclidienne de 537 par un nombre et on trouve un quotient de 22 et un reste de 9. Quel est le diviseur ?
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2 Les nombres manquants.
1. On effectue la division euclidienne de 626 par un nombre inconnu, et on trouve un reste de 5. Quels peuvent être le diviseur et le quotient ?
2. On effectue la division euclidienne dʼun nombre inconnu par 29 et on trouve un quotient de 6. Quels peuvent être le dividende et le reste ?
2. On effectue la division euclidienne dʼun nombre inconnu par 29 et on trouve un quotient de 6. Quels peuvent être le dividende et le reste ?
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3 Effectuez la division euclidienne de :
✔ Je combine de façon appropriée le calcul mental, posé et instrumenté
1. 458 par 32 ;
2. 387 par 22 ;
3. 568 par 13.
1. 458 par 32 ;
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Divisibilité et nombres premiers
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4 Répondez aux questions.
1. 144 est-il divisible par ... ?
2. 3 divise-t-il ... ?
3. 5 divise-t-il ... ?
2. 3 divise-t-il ... ?
3. 5 divise-t-il ... ?
4. 6 est-il un diviseur de ... ?
5. 1 512 est-il un multiple de ... ?
5. 1 512 est-il un multiple de ... ?
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5 Complétez les phrases suivantes.
✔ Je sais passer du language naturel au language mathématique et inversement.
1. 64 est un multiple de 4 car
= \times .
2. 7 est un diviseur de 63 car
= \div .
3. 11 divise 110 car
= \div .
1. 64 est un multiple de 4 car
2. 7 est un diviseur de 63 car
3. 11 divise 110 car
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6 Donnez trois multiples de chacun des nombres suivants.
| 8 |
|
|
|
| 12 |
|
|
|
| 15 |
|
|
|
| 25 |
|
|
|
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7 Listez tous les diviseurs des entiers suivants et rappelez les critères de divisibilité utilisés.
- 25
- 44
- 47
- 52
- 81
- 315
- 396
- 546
- 798
- 840
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9 Faites les listes par ordre croissant :
1. Liste des diviseurs de 112 :
2. Liste des diviseurs de 140 :
2. Liste des diviseurs de 140 :
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8
Testez les critères de divisibilité.
✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.
1. 7 425 et 6 276 sont-ils divisibles par 3 ?
2. 936 et 1 048 sont-ils divisibles par 4 ? Par 2 ?
3. 138 et 954 sont-ils divisibles par 6 ?
4. 459 ; 1 566 ; 9 393 et 3 339 sont-ils divisibles par 9 ? Par 3 ?
1. 7 425 et 6 276 sont-ils divisibles par 3 ?
3. 138 et 954 sont-ils divisibles par 6 ?
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10 Un nombre parfait est un entier positif égal à la somme de ses diviseurs excepté lui-même.
1. Vérifiez que 6 et 28 sont des nombres parfaits.
2. 27 et 54 sont-ils des nombres parfaits ?
3. Faites la liste de tous les diviseurs de 496. 496 est-il un nombre parfait ?
2. 27 et 54 sont-ils des nombres parfaits ?
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11 Nombres premiers
✔ J'émets une hypothèse
Déterminez les nombres premiers compris entre 10 et 50
Déterminez les nombres premiers compris entre 10 et 50
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12 Parmi la liste suivante, quels sont les nombres qui sont premiers ?
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14
On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1.
✔ Je structure mon raisonnement
Donnez une condition pour quʼun nombre premier et un nombre quelconque soient automatiquement premiers entre eux.
Donnez une condition pour quʼun nombre premier et un nombre quelconque soient automatiquement premiers entre eux.
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13 Sans faire le calcul, identifiez quelles expressions ne peuvent pas avoir pour résultat un nombre premier et expliquez pourquoi.
1. 17 \times (3\:805 + 68\:367)
2. 17 \times 3\:805 + 68\:367
3. 974 + 487
4. 845 \times (775 + 907) - 2\:342
5. 77 \times (984\:738 - 7\:481) + 49
6. 39 \div 3
2. 17 \times 3\:805 + 68\:367
3. 974 + 487
4. 845 \times (775 + 907) - 2\:342
5. 77 \times (984\:738 - 7\:481) + 49
6. 39 \div 3
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15 Propriété des nombres premiers.
Tous les nombres entiers non premiers peuvent être décomposés en produits de nombres premiers. Pour le nombre 45, par exemple :
45 \div 5 = 9 donc 45 est divisible par 5.
5 est un nombre premier.
9 \div 3 = 3 donc 9 est divisible par 3.
3 est premier.
Nous avons donc 45 = 5 \times 3 \times 3.
Décomposez les nombres suivants en produits de nombres premiers.
45 \div 5 = 9 donc 45 est divisible par 5.
5 est un nombre premier.
9 \div 3 = 3 donc 9 est divisible par 3.
3 est premier.
Nous avons donc 45 = 5 \times 3 \times 3.
Décomposez les nombres suivants en produits de nombres premiers.
| 26 |
|
| 16 |
|
| 147 |
|
| 243 |
|
| 30 |
|
| 168 |
|
| 90 |
|
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Priorités de calcul
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16
Effectuez les calculs suivants.
✔ Je combine de façon appropriée le calcul mental, posé et instrumenté
1. A = 3 + 2 \times 7
2. B = 2 + 4 - 3 + 9
3. C = 8 \times 7 - 7
4. D = 25 - 15 \div 5
5. E = 8 \times 7 \div 2
6. F = 1 + 4 \times 8 \div 2
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17 Effectuez les calculs suivants.
1. 5 \times 9 - 25 \div 5
2. 7 \times (64 - 54)
3. 45 - 30 \div (8 - 3)
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18 Effectuez les calculs suivants
1. A = 5 + 8 - 4 \times 3
2. B = 36 \div 6 + 7 \times 6
3. C = 4 + 63 \div 9 + 2
4. D = 81 - 11 \times 6 \div 3
5. E = 40 \div 8 + 8 \times 8
6. F = 12 \times 6 \div 8 \times 7
2. B = 36 \div 6 + 7 \times 6
3. C = 4 + 63 \div 9 + 2
4. D = 81 - 11 \times 6 \div 3
5. E = 40 \div 8 + 8 \times 8
6. F = 12 \times 6 \div 8 \times 7
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19 Effectuez les calculs suivants.
1. A = (1 + 4 \times 8) + 2
2. B = 72 \div (16 \div 2)
3. C = 7 \times 6 + (18 \div 9)
4. D = 20 - (8 \times 4 - 20)
5. E = 35 \div 7 \times (47 - 12)
6. F = (15 + 2) \times 3 + 4
2. B = 72 \div (16 \div 2)
3. C = 7 \times 6 + (18 \div 9)
4. D = 20 - (8 \times 4 - 20)
5. E = 35 \div 7 \times (47 - 12)
6. F = (15 + 2) \times 3 + 4
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20 Placez, si besoin, des parenthèses pour que les égalités soient justes.
1. 8 \times 7 - 2 = 40
2. 2 + 4 \times 3 - 8 = 6
3. 5 \times 6 + 12 - 7 = 55
4. 7 + 56 \div 9 - 1 = 6
2. 2 + 4 \times 3 - 8 = 6
3. 5 \times 6 + 12 - 7 = 55
4. 7 + 56 \div 9 - 1 = 6
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21 Supprimez les parenthèses inutiles.
1. A = ((8 \times 3) + 12) - 4
2. B = 4 + 7 - (3 \div 2)
3. C = (((1 + 2) + 3) + 4) + 5
4. D = (7 + 10 \times 3) \times 5
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22 Les parenthèses sont-elles bien placées ? Si non, remettez-les au bon endroit et justifiez.
1. (9 \times 7) - 13 \times 3 = 150
2. 4 + (6 \times 5 - 3) = 47
3. 16 \div (3 + 5) \times 9 = 18
4. (4 + 3 - 1) \times 6 = 1
2. 4 + (6 \times 5 - 3) = 47
3. 16 \div (3 + 5) \times 9 = 18
4. (4 + 3 - 1) \times 6 = 1
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23
Voici la copie dʼAlice
✔ J'exerce mon esprit critique pour vérifier la cohérence des résultats
Son calcul est-il juste ? Si ce nʼest pas le cas, rectifiez-le en justifiant votre réponse.
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24
Sans faire de calcul, dites si les égalités suivantes sont vraies ou fausses.
✔ J'éxerce mon esprit critique pour valider la cohérence d'un résultat
1. (6 + 2) \times 5 = 6 + 2 \times 5
2. 13 - 4 + 11 \times 99 = 13 - (4 + 11) \times 99
3. 5 + 50 + (500 \times 5\:000) = 5 + 50 + 500 \times 5\:000
1. (6 + 2) \times 5 = 6 + 2 \times 5
2. 13 - 4 + 11 \times 99 = 13 - (4 + 11) \times 99
3. 5 + 50 + (500 \times 5\:000) = 5 + 50 + 500 \times 5\:000
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25 Calculez en détaillant lʼordre des calculs.
1. A = 8 + (7 + 13) \div 4
2. B = 7 \times 3 - (6 + 63 \div 7)
3. C = 80 - (80 - (3 \times (5 - 2)))
4. D = (5 \times 6 + ((9 - 7) \times 4)) \div 2
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26 Calculez mentalement
1. A = (32 - 17) \div 5
2. B = 16 - (16 - 7)
3. C = 48 \div 4 + 2
4. D = 48 \div (4 + 2)
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27 Complétez les expressions suivantes.
13 + = 24
12 \times = 48
- 4 = 9
5 \times 8 + = 54
9 \times ( - 9) = 81
12 \times
5 \times 8 +
9 \times (
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28 Choisissez le signe qui convient
(6 4) \times 8 = 16
(7 4) \times 6 = 18
(12 9) \times 10 - 9 = 21
((5 4) \times 3) 6 = 10
(7
(12
((5
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29 Complétez les expressions suivantes
1 + \times 7 = 22
12 \div + 90 = 94
7 \times (11 - ) = 77
(3 + ) + (6 \times 2) = 20
12 \div
7 \times (11 -
(3 +
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30 Complétez les expressions suivantes.
8 - (21 - ) + 13 = 20
\div 2 \div 2 \div 2 = 4
La somme de 6 et du produit de 4 par est égale à la différence entre 32 et 6.
7 \times (15 - ( - 7) - 2) = 70
La somme de 6 et du produit de 4 par
7 \times (15 - (
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31 Effectuez les calculs suivants.
1. A = (35 + (9 \div 3)) - 2
2. B = ((8 + 2 \times 4) \div 2) \times 3
3. C = ((2 + 3) \times 2) - 3
4. D = (12 - 11 + (10 - 9)) \times (8 - 7)
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32 Écrivez une expression numérique à lʼaide des 6 nombres proposés. Vous ne pouvez utiliser un nombre quʼune fois.
✔ Je modélise une situation à l'aide d'une expression mathématique
9 ; 4 ; 25 ; 7 ; 8 ; 100. Résultat à atteindre : 743.
9 ; 4 ; 25 ; 7 ; 8 ; 100. Résultat à atteindre : 743.
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33 Que de 7 !
1. Calculez en détaillant les étapes.
Z = 7 - 7 + 7 \div 7 \times 7 ;
Y = (7 - 7 \div 7) \times 7 + 7 ;
X = ((7 + 7) \times 7 - 7) \div 7.
Z = 7 - 7 + 7 \div 7 \times 7 ;
Y = (7 - 7 \div 7) \times 7 + 7 ;
X = ((7 + 7) \times 7 - 7) \div 7.
2. Inventez un enchainement dʼopérations sans parenthèses remplissant ces trois conditions :
- Utiliser uniquement le nombre 7 cinq fois ;
- Utiliser une seule fois chaque opération + ; - ; \times ; \div ;
- Obtenir un résultat différent de ceux trouvés à la question a.
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Utilisation du langage mathématique
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34
Traduisez par une phrase les expressions numériques suivantes.
✔ Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement
1. A = 9 - 7
2. B = 61 \times 11
3. C = 36 + (12 \div 6)
4. D = (56 - 2) \div 3
5. E = 4 \times 37 - 11
6. F = 31 - 23 + 4
1. A = 9 - 7
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35 Traduisez par une phrase puis calculez les expressions suivantes.
1. A = 8 + 9 \times 4
2. B = 14 \div 7 + 3
3. C = (23 - 17) \times (7 + 3)
4. D = 6 + (12 - 5 \times 2)
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36
Reliez chaque expression à sa traduction mathématique.
✔ Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement
| Somme de 15 et de 7 | |
| Différence entre 15 et 7 | |
| Produit de 4 par la différence entre 15 et 9 | |
| Quotient de 15 par 7 |
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37 Reliez les expressions qui ont le même résultat.
| Somme du produit de 6 par 3 et de 4 | |
| 56 | |
| Double de la différence entre 19 et 6 | |
| 4 + 28 \div 7 |
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38 Traduisez les phrases suivantes par une expression numérique, puis calculez.
1. Le produit de 5 par 7.
2. La différence entre 43 et 32.
3. La somme de 8 et de 35.
4. Le quotient de 36 par 4.
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39 Traduisez les phrases suivantes par une expression numérique, puis calculez.
1. A est le produit de 7 par la différence entre 8 et 4.
2. B est la somme du quotient de 27 par 9 et de la somme de 12 et de 2.
3. C est la différence entre le produit de 5 par la somme de 3 et de 2 et 10.
Coup de pouce
Dans ce type d'exercice, commencez par repérer l'opération « principale » puis ses différents membres.
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40
Traduisez les phrases suivantes par une expression numérique, puis calculez.
✔ Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement
1. La différence entre le produit de 6 par 4 et 8.
2. La différence entre 7 et la différence entre 4 et 2.
3. Le produit de la somme de 7 et 4 par le quotient de 25 par 5.
4. Le quotient du produit de 8 par 3 par la somme de 5 et de 1.
1. La différence entre le produit de 6 par 4 et 8.
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41 Complétez les phrases suivantes
8 est le quotient de par 3.
est le produit de 4 par la différence entre 47 et 39
24 est la somme de la différence entre 56 et 38 et du quotient de 36 par.
Le produit de 5 par 7 est égal à 20 +.
Le de 12 par 6 est égal à 30 - .
24 est la somme de la différence entre 56 et 38 et du quotient de 36 par
Le produit de 5 par 7 est égal à 20 +
Le
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42 Voici un programme de calcul
« On choisit un nombre. On lui ajoute 8, on divise le tout par 9 puis on soustrait 5 au résultat. »
1. On choisit le nombre 64. Écrivez une expression numérique qui correspond à ce programme de calcul. Quel résultat obtient-on ?
2. Quʼobtient-on si on choisit le nombre 37 ?
1. On choisit le nombre 64. Écrivez une expression numérique qui correspond à ce programme de calcul. Quel résultat obtient-on ?
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43
Voici un programme de calcul.
✔ Je modélise une situation à l'aide d'une expression mathématique
« On choisit un nombre. On le multiplie par 10. On enlève 6 au résultat, puis on divise le tout par 2. »
1. Quel résultat obtient-on avec le nombre 15 ? Justifiez en écrivant lʼexpression numérique correspondant au programme de calcul.
2. Quel nombre faudrait-il choisir pour arriver à un résultat égal à 2 ?
« On choisit un nombre. On le multiplie par 10. On enlève 6 au résultat, puis on divise le tout par 2. »
1. Quel résultat obtient-on avec le nombre 15 ? Justifiez en écrivant lʼexpression numérique correspondant au programme de calcul.
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44 Vrai ou faux ? \bm{6 + 4 \times 25 - 12} est égal...
1. au produit de la somme de 6 et de 4 par la différence entre 25 et 12.
2. à la somme de 6 et de la différence entre le produit de 4 par 25 et 12.
3. à la somme de 6 et du produit de 4 par la différence entre 25 et 12.
4. à la différence entre le produit de la somme de 6 et de 4 par 25 et 12.
2. à la somme de 6 et de la différence entre le produit de 4 par 25 et 12.
3. à la somme de 6 et du produit de 4 par la différence entre 25 et 12.
4. à la différence entre le produit de la somme de 6 et de 4 par 25 et 12.
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45 Savoir refaire Écrivez le nombre 36 comme...
✔ J'envisage plusieurs méthodes de résolution
1. la somme de deux termes, dont lʼun est un produit.
2. la différence entre deux termes, dont lʼun est un quotient.
3. le produit de deux facteurs, dont lʼun est une différence.
4. le quotient dʼune somme par une différence.
1. la somme de deux termes, dont lʼun est un produit.
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A Exercice numérique
Traduire les phrases suivantes par une expression numérique puis calculer.
1. La somme de 5 et du produit de 2 par 6.
2. Le quotient de la différence entre 8 et 5 par 6
3. Le produit de la somme de 2 et 4 par la différence entre 8 et 7.
4. Le carré de la différence entre 25 et 23.
1. La somme de 5 et du produit de 2 par 6.
2. Le quotient de la différence entre 8 et 5 par 6
3. Le produit de la somme de 2 et 4 par la différence entre 8 et 7.
4. Le carré de la différence entre 25 et 23.
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B Exercice numérique
Effectuer les calculs suivants.
1. A =40-4 \times 6-5
2. B =(12-4) \times 6-5
3. C =(12-4) \times(6-5)
4. D =40-(4 \times 6-5)
1. A =40-4 \times 6-5
2. B =(12-4) \times 6-5
3. C =(12-4) \times(6-5)
4. D =40-(4 \times 6-5)
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Parcours de compétences
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Énoncé
✔ Jʼutilise des cas particuliers pour orienter ma démarche de résolution.
Mattéo déclare : « – Tout nombre divisible par 2 est divisible par 4.
– Nʼimporte quoi ! rétorque Yasmine. En revanche, tout nombre divisible par 3 et 2 est divisible par 6... »
Qui a raison ? Justifiez la réponse.
Mattéo déclare : « – Tout nombre divisible par 2 est divisible par 4.
– Nʼimporte quoi ! rétorque Yasmine. En revanche, tout nombre divisible par 3 et 2 est divisible par 6... »
Qui a raison ? Justifiez la réponse.
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Niveau 1
Je teste l'affirmation avec l'exemple qui m'est proposé.
Coup de pouce
Testez les deux affirmations sur le nombre 6.
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Niveau 2
Je pense à tester l'affirmation et je trouve un exemple.
Coup de pouce
Cherchez les multiples de 2, 3, et 4 compris entre 1 et 20.
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Niveau 3
Je pense à utiliser un contre-exemple pour invalider l'affirmation.
Coup de pouce
Voyez-vous un cas où lʼune ou lʼautre des affirmations est fausse ?
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Niveau 4
Je sais qu'un exemple n'a pas valeur de preuve mais je m'en inspire pour prouver l'affirmation.
Coup de pouce
Si n est divisible par 2 alors il existe un entier a tel que n = 2 \times a.
De la même manière, trouvez une écriture de n sʼil est divisible par 2 et par 3.
De la même manière, trouvez une écriture de n sʼil est divisible par 2 et par 3.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
