J'apprends

1. Rappel sur la division euclidienne

  Rappel
Effectuer la division euclidienne d'un dividende par un diviseur, c'est trouver deux nombres appelés quotient et reste tels que :

• Le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des entiers ;
• Dividende = diviseur × quotient + reste ;
• Le reste est plus petit que le diviseur.

  J'applique

Consigne : 
Quels sont le quotient et le reste de la division de 247 par 22 ?

Correction :
Le quotient est 11, le reste 5, et on peut écrire : $247=22\times 11+5$.

Attention ! Dans toute division, le diviseur n'est jamais égal à 0.

2. Divisibilité dʼun nombre

Définition

Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul alors on dit que :

• $b$ est un diviseur de $a$ ;
• $a$ est un multiple de $b$.

Exemple : 

• 2 est un diviseur de 10 car $2\times 5=10$.
• 3 et 4 sont des diviseurs de 156 car $3\times 4\times 13=156$.

  J'applique :
Consigne :
5 est-il un diviseur de 30 ?
Correction :
$5\times 6=30$, donc 5 est un diviseur de 30.

Remarque : 

• Si $a$ est multiple de $b$, et $b$ diviseur de $a$, alors le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.
• Tout entier naturel admet au moins le nombre 1 et lui-même comme diviseurs.

  Rappel

• Tout nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Tout nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Tout nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4.
• Tout nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
• Tout nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
• Tout nombre est divisible par 10 sʼil se termine par 0.

  J'applique :
Consigne :
Trouvez quatre diviseurs de 150.
Correction :

• 150 est un nombre entier, il est donc divisible par 1.
• 150 a comme chiffre des unités 0, il est donc divisible par 2.
• La somme des chiffres composant 150 est égale à $1+5=6$, qui est un multiple de 3, il est donc divisible par 3.
• 150 a comme chiffre des unités 0, il est donc divisible par 5.

3. Nombres premiers

Définition
Un entier positif est un nombre premier sʼil possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Remarque : 

• 1 a un unique diviseur, lui-même. Ce nʼest donc pas un nombre premier.
• 0 a une infinité de diviseurs. Ce nʼest donc pas un nombre premier.
• 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs ont au moins trois diviseurs : 1, 2 et eux-mêmes.

  J'applique :
Consigne :
4 est-il un nombre premier ?
Correction :
4 a trois diviseurs : 1, 2 et 4. Il nʼest donc pas premier.

Consigne :
Quels sont les dix premiers nombres premiers ?
Correction :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.

1. Calcul sans parenthèses

  Propriété
Dans une expression numérique sans parenthèses, on effectue :

• Dʼabord les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
• Puis les additions et les soustractions, également de gauche à droite.

  J'applique :
Consigne :
Calculez $A=20-2\times 3+12÷6$.
Correction :

• La multiplication et la division sont prioritaires : on effectue les calculs de gauche à droite.
  $A=20-2\times 3+12÷6$
  $A=20-6+12÷6$
  Donc $A=20-6+2$.
• Il ne reste alors que des additions et des soustractions, quʼon effectue de gauche à droite.
  $A=20-6+2$
  $A=14+2$
  Donc $A=16$.

2. Calcul avec parenthèses

  Propriété

• Dans une expression numérique qui contient des parenthèses, on effectue :
• En priorité les calculs entre les parenthèses ;
• Puis on procède comme pour une expression numérique sans parenthèses.
• Quand il y a des parenthèses imbriquées, on effectue dʼabord les calculs entre les parenthèses les plus intérieures.

  J'applique :
Consigne :
Calculez $C=(3\times (7-3))+1$.
Correction :

• Les calculs entre les parenthèses sont prioritaires : on effectue dʼabord ceux entre les parenthèses les plus intérieures.
  $C=(3\times (7-3))+1$
• On effectue les calculs entre les parenthèses extérieures.
  $C=(3\times 4)+1$
  $C=12+1$
  Donc $C=13$.