Chapitre 1
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Arithmétique
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ADivision euclidienne et critères de divisibilité
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1 Rappel sur la division euclidienne
Rappel
Effectuer la division euclidienne d'un dividende par un diviseur, c'est trouver deux nombres appelés quotient et reste tels que :
- Le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des entiers ;
- Dividende = diviseur × quotient + reste ;
- Le reste est plus petit que le diviseur.
Exercices n° p. 19
J'applique
Consigne : Quels sont le quotient et le reste de la division de 247 par 22 ?
Correction :
Le quotient est 11, le reste 5, et on peut écrire :
247 = 22 \times 11 + 5.
Attention
Dans toute division, le diviseur n'est jamais égal à 0.
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2 Divisibilité dʼun nombre
Définitions
Si le reste de la division euclidienne de \color{#6e2d88}a par \color{#3ab4e0}b est nul alors on dit que :
- \color{#3ab4e0}b est un diviseur de \color{#6e2d88}a ;
- \color{#6e2d88}a est un multiple de \color{#3ab4e0}b.
Exercices n° p. 19-20
Exemple :
- 2 est un diviseur de 10 car 2 \times 5 = 10.
- 3 et 4 sont des diviseurs de 156 car 3 \times 4 \times 13 = 156.
J'applique
Consigne :5 est-il un diviseur de 30 ?
Correction :
5 \times 6 = 30, donc 5 est un diviseur de 30.
Remarques :
- Si a est multiple de b, et b diviseur de a, alors le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
- Tout entier naturel admet au moins le nombre 1 et lui-même comme diviseurs.
Rappel
- Tout nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Tout nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- Tout nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4.
- Tout nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
- Tout nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- Tout nombre est divisible par 10 sʼil se termine par 0.
Exercices n° p. 19-20
J'applique
Consigne :
Trouvez quatre diviseurs de 150.
Correction :
- 150 est un nombre entier, il est donc divisible par 1.
- 150 a comme chiffre des unités 0, il est donc divisible par 2.
- La somme des chiffres composant 150 est égale à 1 + 5 = 6, qui est un multiple de 3, il est donc divisible par 3.
- 150 a comme chiffre des unités 0, il est donc divisible par 5.
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3 Je perfectionneNombres premiers
Définition
Un entier positif est un nombre premier sʼil possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Exercices n° p. 20
- 1 a un unique diviseur, lui-même. Ce nʼest donc pas un nombre premier.
- 0 a une infinité de diviseurs. Ce nʼest donc pas un nombre premier.
- 2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs ont au moins trois diviseurs : 1, 2 et eux-mêmes.
J'applique
Consigne :
4 est-il un nombre premier ?
Correction :
4 a trois diviseurs : 1, 2 et 4. Il nʼest donc pas premier.
4 est-il un nombre premier ?
Correction :
4 a trois diviseurs : 1, 2 et 4. Il nʼest donc pas premier.
Consigne :
Quels sont les dix premiers nombres premiers ?
Correction :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.
Quels sont les dix premiers nombres premiers ?
Correction :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.
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BPriorités de calcul
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1 Calcul sans parenthèses
Propriété
Dans une expression numérique sans parenthèses, on effectue
- Dʼabord les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
- Puis les additions et les soustractions, également de gauche à droite.
Exercices n° p. 20-21
J'applique
Consigne :
Calculez \text{A} = 20 - 2 \times 3 + 12 \div 6.
Correction :
- La multiplication et la division sont prioritaires : on effectue les calculs de gauche à droite.
\text{A} = 20 - 2 \times 3 + 12 \div 6
\text{A} = 20 - 6 + 12 \div 6
Donc \text{A} = 20 - 6 + 2. - Il ne reste alors que des additions et des soustractions, quʼon effectue de gauche à droite.
\text{A} = 20 - 6 + 2
\text{A} = 14 + 2
Donc \text{A} = 16.
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2 Calcul avec parenthèses
Propriété
- Dans une expression numérique qui contient des parenthèses, on effectue :
- En priorité les calculs entre les parenthèses ;
- Puis on procède comme pour une expression numérique sans parenthèses.
- Quand il y a des parenthèses imbriquées, on effectue dʼabord les calculs entre les parenthèses les plus intérieures.
Exercices n° p. 21-23
J'applique
Consigne : Calculez \text{C} = (3 \times (7 - 3)) + 1.
Correction :
- Les calculs entre les parenthèses sont prioritaires : on effectue dʼabord ceux entre les parenthèses les plus intérieures.
\text{C} = (3 \times (7 - 3)) + 1 - On effectue les calculs entre les parenthèses extérieures.
\text{C} = (3 \times 4) + 1
\text{C} = 12 + 1
Donc \text{C} = 13.
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