Chapitre 11
J'apprends
Grandeurs et mesures
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AMesurer les longueurs qui nous entourent
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1 Mesures de longueurs
Définition
Pour mesurer le monde qui nous entoure, les scientifiques ont développé de nombreuses grandeurs adaptées à ce qui devait être mesuré.
Lʼunité légale de référence pour la mesure des longueurs est le mètre (noté \text{m}). On utilise aussi ses multiples (\text{dam}, \text{hm}, \text{km}…) et ses sous-multiples (\text{dm}, \text{cm}, \text{mm}…).
Exercices n° p. 244
Pour les longueurs :
| Nom | Notation | Équivalent en mètres |
| Gigamètre | \text{Gm} | 1~000~000~000 |
| Mégamètre | Mm | 1~000~000 |
| Kilomètre | \text{km} | 1~000 |
| Hectomètre | \text{hm} | 100 |
| Décamètre | \text{dam} | 10 |
| Mètre | \text{m} | 1 |
| Décimètre | \text{dm} | 0,1 |
| Centimètre | \text{cm} | 0,01 |
| Millimètre | \text{mm} | 0,001 |
| Micromètre | \text{μm} | 0,000~001 |
| Nanomètre | \text{nm} | 0,000~000~001 |
Dans le cas général :
J'approfondis
| Préfixe | Notation | Valeur |
| Giga | \text{G} | 10^{9} |
| Méga | \text{M} | 10^{6} |
| Kilo | \text{k} | 10^{3} |
| Hecto | \text{h} | 10^{2} |
| Déca | \text{da} | 10 |
| 1 | ||
| Déci | \text{d} | 10^{-1} |
| Centi | \text{c} | 10^{-2} |
| Milli | \text{m} | 10^{-3} |
| Micro | \text{μ} | 10^{-6} |
| Nano | \text{n} | 10^{-9} |
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1 Périmètres de carré, rectangle et cercle
Propriétés
Le périmètre dʼune figure est la mesure de la longueur de son pourtour.
Le périmètre dʼun carré vaut : \text{P} =\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} = 4\times\text{{\color{#C62A58}c}}.
Le périmètre dʼun rectangle vaut : \text{P} =\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}} +\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}} = 2 \times(\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}}) = 2\times \text{{\color{#2190A0}l}} + 2\times \text{{\color{#C62A58}L}}.
Le périmètre dʼun carré vaut : \text{P} =\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} +\text{{\color{#C62A58}c}} = 4\times\text{{\color{#C62A58}c}}.
Le périmètre dʼun rectangle vaut : \text{P} =\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}} +\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}} = 2 \times(\text{{\color{#2190A0}l}} +\text{{\color{#C62A58}L}}) = 2\times \text{{\color{#2190A0}l}} + 2\times \text{{\color{#C62A58}L}}.
Exercices n° p. 244-245
Propriété
On note \text{{\color{#C62A58}r}} le rayon du cercle.
- Diamètre = 2\times\text{{\color{#C62A58}r}}
- Périmètre = 2\times\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}
Exercices n° p. 84-87
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BMesurer des surfaces
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1 Aires de figures usuelles
Propriétés
| Aire dʼun carré A =\text{{\color{#C62A58}c}}\times\text{{\color{#C62A58}c}}  | Aire dʼun triangle A = \dfrac{\text{{\color{#C62A58}h}}\times \text{{\color{#2190A0}s}}}{2}, avec \text{{\color{#C62A58}h}} une hauteur et \text{{\color{#2190A0}s}} le support de cette hauteur.  |
| Aire dʼun rectangle A =\text{{\color{#C62A58}L}}\times\text{{\color{#2190A0}l}}  | Aire dʼun triangle rectangle A=\dfrac{\text{{\color{#C62A58}a}} \times\text{{\color{#2190A0}b}}}{2} |
| Aire dʼun cercle A = \pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}\times\text{{\color{#C62A58}r}}. Également noté A=\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}^2  | Aire dʼun parallélogramme A =\text{{\color{#C62A58}h}}\times\text{{\color{#2190A0}s}}, avec \text{{\color{#C62A58}h}} une hauteur et \text{{\color{#2190A0}s}} le support de cette hauteur.  |
Exercices n° p. 245-246
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2Unités de mesure et conversion
Méthode
Pour mesurer des surfaces, on utilise comme unité le \text{m}^2 (mètre carré).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau.
Donc
1 \text{m}^2 = 1~000~000 \text{mm}^2
1 \text{cm}^2= 0,000~001 \text{dam}^2
10 \text{dam}^2 = 1\:000 \text{m}^2
10 \text{dm}^2 = 0,000~000~1 \text{km}^2
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau.
| Symbole | \textbf{\text{km}}^2 | \textbf{\text{hm}}^2 | \textbf{\text{dam}}^2 | \textbf{\text{m}}^2 | \textbf{\text{dm}}^2 | \textbf{\text{cm}}^2 | \textbf{\text{mm}}^2 | |||||||
| 1 \text{m}^2= | {\color{#C62A58}1} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | |||||||
| 1 \text{cm}^2= | {\color{#2190A0}0,} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#C62A58}1} | |||||||
| 10 \text{dam}^2= | {\color{#C62A58}1} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | ||||||||||
| 10 \text{dm}^2= | {\color{#2190A0}0,} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#C62A58}1} | {\color{#2190A0}0} | |||||
Donc
1 \text{m}^2 = 1~000~000 \text{mm}^2
1 \text{cm}^2= 0,000~001 \text{dam}^2
10 \text{dam}^2 = 1\:000 \text{m}^2
10 \text{dm}^2 = 0,000~000~1 \text{km}^2
Exercices n° p. 248-249
- Noter \text{m}^2 (mètre carré), cʼest choisir comme unité lʼaire dʼun carré dʼun mètre de côté.
- Lʼhectare (\text{h}) est lʼaire dʼun carré de 100 mètres de côté, soit 1 \text{hm}^2 dʼaire.
- Les unités dʼaire varient de 100 en 100 ; 1 \text{dam}^2 = 100 m^2.
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CMesurer des volumes
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1 Volume d'un pavé droit
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Définition
Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs \text{{\color{#C62A58}a}}, \text{{\color{#2190A0}b}} et \text{c} vaut : \text{V} =\text{{\color{#C62A58}a}}\times\text{{\color{#2190A0}b}}\times\text{c}.
Exercices n° p. 246
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2 Volumes de solides usuels
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Propriétés
| Volume du cylindre de révolution V =\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}^2\times\text{{\color{#2190A0}h}}
avec \text{{\color{#2190A0}h}} la hauteur et \text{{\color{#C62A58}r}} le rayon.
 | Volume dʼune pyramide V =\dfrac{1}{3}\times\text{A}\times\text{{\color{#2190A0}h}} avec \text{{\color{#2190A0}h}} la hauteur et \text{A} lʼaire de la base.  |
| Volume dʼun cône de révolution V =\dfrac{1}{3}\times\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}^2\times\text{{\color{#2190A0}h}} avec \text{{\color{#2190A0}h}} la hauteur et \text{{\color{#C62A58}r}} le rayon.  | Volume dʼune boule V =\dfrac{4}{3}\times\pi\times\text{{\color{#C62A58}r}}^3 avec \text{{\color{#C62A58}r}} le rayon.  |
Volume dʼun prisme droit V = \text{{\color{#C62A58}A}}\times\text{{\color{#2190A0}h}} avec \text{{\color{#2190A0}h}} la hauteur et \text{{\color{#C62A58}A}} lʼaire de la base.  |
Exercices n° p. 246-248
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3Unités de mesure et de conversion
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Définition
Pour mesurer un volume, on utilise le mètre cube (noté \text{m}^3), ainsi que ses multiples et ses sous-multiples.
On utilise aussi des unités de contenance qui mesurent la quantité de liquide que peut contenir un volume. Lʼunité de contenance de référence est le litre (noté \text{L}).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau :
Donc
1 \text{L} = 0\text{,}001 \text{m}^3
1 \text{L} = 1\:000 \text{cm}^3 = 1\:000 \text{mL}
1 \text{m}^3 = 1\:000 dm^3 = 1\:000 \text{L}
10 \text{m}^3 = 10\:000\:000\:000 \text{mm}^3
On utilise aussi des unités de contenance qui mesurent la quantité de liquide que peut contenir un volume. Lʼunité de contenance de référence est le litre (noté \text{L}).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau :
| \text{m}^3 | \text{dm}^3 | \text{cm}^3 | \text{mm}^3 | |||||||||
| \textbf{\text{hL}} | \textbf{\text{daL}} | \textbf{\text{{\color{#C62A58}L}}} | \textbf{\text{dL}} | \textbf{\text{cL}} | \textbf{\text{mL}} | |||||||
| 1 \text{L} = | {\color{#2190A0}0}\text{,} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {{\color{#C62A58}1}} | ||||||||
| 1 \text{L} = | {{\color{#C62A58}1}} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | ||||||||
| 1 \text{m}^3 = | {{\color{#C62A58}1}} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | ||||||||
| 10 \text{m}^3 = | {{\color{#C62A58}1}} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | {\color{#2190A0}0} | |
Donc
1 \text{L} = 0\text{,}001 \text{m}^3
1 \text{L} = 1\:000 \text{cm}^3 = 1\:000 \text{mL}
1 \text{m}^3 = 1\:000 dm^3 = 1\:000 \text{L}
10 \text{m}^3 = 10\:000\:000\:000 \text{mm}^3
Exercices n°
p. 248-249
- Noter \text{m}^3 (mètre cube), cʼest choisir comme unité le volume dʼun cube dʼun mètre dʼarête.
- Les unités de volume varient de \text{1~000} en \text{1~000} : 1 \text{m}^3 = 1~000 \text{dm}^3. Les unités de contenance varient de \text{10} en \text{10} : 1 \text{L} = 10 \text{dL}.
J'applique
Consigne :
Exprimez \text{15,2~dm}3 en \text{cL}.
Correction :
On rappelle que \text{1~dm}3 = \text{1~L} et \text{1~L} = \text{100~cL}.
Donc \text{15,2~dm}3 = 15\text{,}2 \times 100 \text{cL} = 1\:520 \text{cL}.
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DGrandeurs composées
J'approfondis
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Définition
Une grandeur composée est une grandeur issue du produit ou du quotient dʼautres grandeurs.
On parle de grandeur produit quand elle résulte de la multiplication de deux valeurs, et de grandeur quotient quand elle résulte de la division de deux valeurs. Lʼunité dʼune grandeur composée est le produit ou le quotient des unités de chaque grandeur.
On parle de grandeur produit quand elle résulte de la multiplication de deux valeurs, et de grandeur quotient quand elle résulte de la division de deux valeurs. Lʼunité dʼune grandeur composée est le produit ou le quotient des unités de chaque grandeur.
Exercices n° p. 248-249
Pour calculer une vitesse exprimée en mètres par seconde, on divise une distance exprimée en mètres par une durée exprimée en secondes. Cʼest une grandeur quotient.
\dfrac{\text{m}}{\text{s}} s'écrit aussi \text{m.s}^{-1}
Méthode
Pour pouvoir faire des comparaisons et des calculs avec des mesures, il faut quʼelles soient exprimées avec les mêmes unités. Si deux mesures ne sont pas exprimées dans les mêmes unités, on commence par les convertir dans la même unité.
Exercices n° p. 248-249
J'applique
Consigne :
Additionnez ces deux vitesses : \text{35~km/h} et \text{10~m/s}.
Correction :
On convertit une des deux vitesses pour qu'elle ait les mêmes unités que l'autre. La conversion de 10 m/s en km/h se fait par le calcul :
10\: \text{m/s} = \dfrac {10 \:\text{m}}{1 \:\text{s}} = \dfrac {\dfrac{1}{100} \:\text{km}}{\dfrac{1}{3\:600} \:\text{h}} = \dfrac{3\:600}{100} \:\text{km/h} = 36~\text{km/h}
On peut donc additionner les vitesses exprimées dans la même unité \text{(km/h)} : 35 + 36 = 71.
La vitesse obtenue est donc \text{71~km/h}.
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