Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 11

J'apprends

Grandeurs et mesures

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A
Mesurer les longueurs qui nous entourent

Je découvre

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1
Mesures de longueurs

Définition

Pour mesurer le monde qui nous entoure, les scientifiques ont développé de nombreuses grandeurs adaptées à ce qui devait être mesuré. Lʼunité légale de référence pour la mesure des longueurs est le mètre (noté

m

). On utilise aussi ses multiples (

dam

hm

km

…) et ses sous-multiples (

dm

cm

mm

…).

Exercices n° 1 à 2
p. 244

Pour les longueurs :

Nom	Notation	Équivalent en mètres
Gigamètre	$Gm$	$1000000000$
Mégamètre	Mm	$1000000$
Kilomètre	$km$	$1000$
Hectomètre	$hm$	$100$
Décamètre	$dam$	$10$
Mètre	$m$	$1$
Décimètre	$dm$	$0, 1$
Centimètre	$cm$	$0, 01$
Millimètre	$mm$	$0, 001$
Micromètre	$μm$	$0, 000001$
Nanomètre	$nm$	$0, 000000001$

Dans le cas général :

J'approfondis

Préfixe	Notation	Valeur
Giga	$G$	$10$ $^{9}$
Méga	$M$	$10$ $^{6}$
Kilo	$k$	$10$ $^{3}$
Hecto	$h$	$10$ $^{2}$
Déca	$da$	$10$
		1
Déci	$d$	$10$ $^{- 1}$
Centi	$c$	$10$ $^{- 2}$
Milli	$m$	$10$ $^{- 3}$
Micro	$μ$	$10$ $^{- 6}$
Nano	$n$	$10$ $^{- 9}$

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1
Périmètres de carré, rectangle et cercle

Propriétés

Le périmètre dʼune figure est la mesure de la longueur de son pourtour.

Le périmètre dʼun carré vaut :

P = c + c + c + c = 4 \times c

.
Le périmètre dʼun rectangle vaut :

P = l + L + l + L = 2 \times (l + L) = 2 \times l + 2 \times L

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Exercices n° 3 à 9
p. 244-245

Propriété

On note

r

le rayon du cercle.

Diamètre = $2 \times r$
Périmètre = $2 \times π \times r$

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Exercices n° 1 à 25
p. 84-87

Remarque : On mesure souvent le rayon dʼun cercle au lieu de son diamètre.

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B
Mesurer des surfaces

Je découvre

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1
Aires de figures usuelles

Propriétés

Aire dʼun carré $A = c \times c$ Le zoom est accessible dans la version Premium.	Aire dʼun triangle $A = \frac{h \times s}{2}$ , avec $h$ une hauteur et $s$ le support de cette hauteur. Le zoom est accessible dans la version Premium.
Aire dʼun rectangle $A = L \times l$ Le zoom est accessible dans la version Premium.	Aire dʼun triangle rectangle $A = \frac{a \times b}{2}$ Le zoom est accessible dans la version Premium.
Aire dʼun cercle $A = π \times r \times r$ . Également noté $A = π \times r^{2}$ Le zoom est accessible dans la version Premium.	Aire dʼun parallélogramme $A = h \times s$ , avec $h$ une hauteur et $s$ le support de cette hauteur. Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 6 à 14
p. 245-246

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2
Unités de mesure et conversion

Méthode

Pour mesurer des surfaces, on utilise comme unité le

m

^{2}

(mètre carré).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau.

Symbole	$km$ $^{2}$		$hm$ $^{2}$		$dam$ $^{2}$		$m$ $^{2}$		$dm$ $^{2}$		$cm$ $^{2}$		$mm$ $^{2}$
$1$ $m$ $^{2} =$								$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$ $cm$ $^{2} =$						$0,$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$10$ $dam$ $^{2} =$					$1$	$0$	$0$	$0$
$10$ $dm$ $^{2} =$		$0,$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$

Donc

1

m

^{2} = 1000000

mm

^{2}

1

cm

^{2} = 0, 000001

dam

^{2}

10

dam

^{2} = 1000

m

^{2}

10

dm

^{2} = 0, 0000001

km

^{2}

Exercices n° 38 à 43
p. 248-249

Remarque :

Noter $m$ $^{2}$ (mètre carré), cʼest choisir comme unité lʼaire dʼun carré dʼun mètre de côté.
Lʼhectare ( $h$ ) est lʼaire dʼun carré de 100 mètres de côté, soit $1$ $hm$ $^{2}$ dʼaire.
Les unités dʼaire varient de 100 en 100 ; $1$ $dam$ $^{2} = 100$ m $^{2}$ .

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C
Mesurer des volumes

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1
Volume d'un pavé droit

Je découvre

Définition

Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs

a

b

c

vaut :

V = a \times b \times c

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Exercices n° 15 à 16
p. 246

Remarque : Un pavé droit peut également être appelé parallélépipède rectangle.

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2
Volumes de solides usuels

J'approfondis

Propriétés

Volume du cylindre de révolution $V = π \times r^{2} \times h$ avec $h$ la hauteur et $r$ le rayon. Le zoom est accessible dans la version Premium.	Volume dʼune pyramide $V = \frac{1}{3} \times A \times h$ avec $h$ la hauteur et $A$ lʼaire de la base. Le zoom est accessible dans la version Premium.
Volume dʼun cône de révolution $V = \frac{1}{3} \times π \times r^{2} \times h$ avec $h$ la hauteur et $r$ le rayon. Le zoom est accessible dans la version Premium.	Volume dʼune boule $V = \frac{4}{3} \times π \times r^{3}$ avec $r$ le rayon. Le zoom est accessible dans la version Premium.
Volume dʼun prisme droit $V = A \times h$ avec $h$ la hauteur et $A$ lʼaire de la base. Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 17 à 37
p. 246-248

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3
Unités de mesure et de conversion

Je découvre

Définition

Pour mesurer un volume, on utilise le mètre cube (noté

m

^{3}

), ainsi que ses multiples et ses sous-multiples.
On utilise aussi des unités de contenance qui mesurent la quantité de liquide que peut contenir un volume. Lʼunité de contenance de référence est le litre (noté

L

).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau :

	$m$ $^{3}$			$dm$ $^{3}$			$cm$ $^{3}$			$mm$ $^{3}$
				$hL$	$daL$	$L$	$dL$	$cL$	$mL$
$1$ $L$ $=$			$0,$	$0$	$0$	$1$
$1$ $L$ $=$						$1$	$0$	$0$	$0$
$1$ $m$ $^{3} =$			$1$	$0$	$0$	$0$
$10$ $m$ $^{3} =$		$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Donc

1

L

= 0, 001

m

^{3}

1

L

= 1000

cm

^{3} = 1000

mL

1

m

^{3} = 1000

^{3} = 1000

L

10

m

^{3} = 10000000000

mm

^{3}

Exercices n° 38 à 43
p. 248-249

Remarques :

Noter $m$ $^{3}$ (mètre cube), cʼest choisir comme unité le volume dʼun cube dʼun mètre dʼarête.
Les unités de volume varient de $1000$ en $1000$ : $1$ $m$ $^{3}$ = $1000$ $dm$ $^{3}$ . Les unités de contenance varient de $10$ en $10$ : $1$ $L$ $= 10$ $dL$ .

J'applique

Consigne :
Exprimez

15,2 dm

³ en

cL

.

Correction :
On rappelle que

1 dm

³ =

1 L

1 L

100 cL

.
Donc

15,2 dm

= 15, 2 \times 100

cL

= 1520

cL

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D
Grandeurs composées

J'approfondis

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Définition

Une grandeur composée est une grandeur issue du produit ou du quotient dʼautres grandeurs.
On parle de grandeur produit quand elle résulte de la multiplication de deux valeurs, et de grandeur quotient quand elle résulte de la division de deux valeurs. Lʼunité dʼune grandeur composée est le produit ou le quotient des unités de chaque grandeur.

Exercices n° 38 à 43
p. 248-249

Exemples :
Pour calculer une vitesse exprimée en mètres par seconde, on divise une distance exprimée en mètres par une durée exprimée en secondes. Cʼest une grandeur quotient.

Formule pour calculer une vitesse exprimée en mètres

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Remarque : Pour obtenir lʼaire dʼune surface rectangulaire, on multiplie les distances de ses côtés (en mètres par exemple) entre elles. Lʼaire obtenue est alors en mètres carrés. Le

m

^{2}

est donc une grandeur composée (cʼest une grandeur produit).

\frac{m}{s}

s'écrit aussi

m.s^{- 1}

Méthode

Pour pouvoir faire des comparaisons et des calculs avec des mesures, il faut quʼelles soient exprimées avec les mêmes unités. Si deux mesures ne sont pas exprimées dans les mêmes unités, on commence par les convertir dans la même unité.

Exercices n° 38 à 43
p. 248-249

J'applique

Consigne :
Additionnez ces deux vitesses :

35 km/h

10 m/s

.
Correction :
On convertit une des deux vitesses pour qu'elle ait les mêmes unités que l'autre. La conversion de 10 m/s en km/h se fait par le calcul :

10 m/s = \frac{1 0 m}{1 s} = \frac{\frac{1}{1 0 0} km}{\frac{1}{3 6 0 0} h} = \frac{3 6 0 0}{1 0 0} km/h = 36 km/h

On peut donc additionner les vitesses exprimées dans la même unité

(km/h)

35 + 36 = 71

.
La vitesse obtenue est donc

71 km/h

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