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J'apprends

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Mathématiques - J'apprends

J'apprends

A. Mesurer les longueurs qui nous entourent

1. Mesures de longueurs

Convention
Pour mesurer le monde qui nous entoure, les scientifiques ont développé de nombreuses grandeurs adaptées à ce qui devait être mesuré.
Lʼunité légale de référence pour la mesure des longueurs est le mètre (noté m). On utilise aussi ses multiples (dam, hm, km…) et ses sous-multiples (dm, cm, mm…).

Pour les longueurs :

Nom	Notation	Équivalent en mètres
Gigamètre	Gm	1 000 000 000
Mégamètre	Mm	1 000 000
Kilomètre	km	1 000
Hectomètre	hm	100
Décamètre	dam	10
Mètre	m	1
Décimètre	dm	0,1
Centimètre	cm	0,01
Millimètre	mm	0,001
Micromètre	μm	0,000 001
Nanomètre	nm	0,000 000 001

Dans le cas général :

Préfixe	Notation	Valeur
Giga	G	10 $^{9}$
Méga	M	10 $^{6}$
Kilo	k	10 $^{3}$
Hecto	h	10 $^{2}$
Déca	da	10
		1
Déci	d	10 $^{-1}$
Centi	c	10 $^{-2}$
Milli	m	10 $^{-3}$
Micro	μ	10 $^{-6}$
Nano	n	10 $^{-9}$

2. Périmètres de carré, rectangle et cercle

Propriétés
Le périmètre dʼune figure est la mesure de la longueur de son pourtour.

Le périmètre dʼun carré vaut :

\text{P} =\text{c} +\text{c} +\text{c} +\text{c} = 4\times\text{c}

.
Le périmètre dʼun rectangle vaut :

\text{P} =\text{l} +\text{L} +\text{l} +\text{L} = 2 \times(\text{l} +\text{L}) = 2\times \text{l} + 2\times \text{L}

.

Propriété

On note

\text{r}

le rayon du cercle.

Diamètre = $2\times\text{r}$
Périmètre = $2\times\pi\times\text{r}$

Remarque : On mesure souvent le rayon dʼun cercle au lieu de son diamètre.

B. Mesurer des surfaces

1. Aires de figures usuelles

Propriétés

Aire dʼun carré $A =\text{c}\times\text{c}$	Aire dʼun triangle $A = \dfrac{\text{h}\times \text{s}}{2}$ , avec $\text{h}$ une hauteur et $\text{s}$ le support de cette hauteur.
Aire dʼun rectangle $A =\text{L}\times\text{l}$	Aire dʼun triangle rectangle $A=\dfrac{\text{a} \times\text{b}}{2}$
Aire dʼun cercle $A = \pi\times\text{r}\times\text{r}$ . Également noté $A=\pi\times\text{r}^2$	Aire dʼun parallélogramme $A =\text{h}\times\text{s}$ , avec $\text{h}$ une hauteur et $\text{s}$ le support de cette hauteur.

2. Unités de mesure et conversion

Méthode
Pour mesurer des surfaces, on utilise comme unité le m

^2

(mètre carré).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau.

Symbole	km $^2$		hm $^2$		dam $^2$		m $^2$		dm $^2$		cm $^2$		mm $^2$
$1$ m $^2=$								$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$ cm $^2=$						$0\text{,}$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$
$10$ dam $^2=$					$1$	$0$	$0$	$0$
$10$ dm $^2=$		$0\text{,}$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$

Donc

1

^2 = 1\:000\:000

^2

1

^2= 0,000\:001

dam

^2

10

dam

^2 = 1\:000

^2

10

^2 = 0,000\:000\:1

^2

Remarque :

Noter m $^2$ (mètre carré), cʼest choisir comme unité lʼaire dʼun carré dʼun mètre de côté.
Lʼhectare (h) est lʼaire dʼun carré de 100 mètres de côté, soit $1$ hm $^2$ dʼaire.
Les unités dʼaire varient de 100 en 100 ; $1$ dam $^2 = 100$ m $^2$ .

C. Mesurer des volumes

1. Volume d'un pavé droit

Propriété
Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs

\text{a}

\text{b}

\text{c}

vaut :

\text{V} =\text{a}\times\text{b}\times\text{c}

Remarque : Un pavé droit peut également être appelé parallélépipède rectangle.

2. Volumes de solides usuels

Propriétés

Volume du cylindre de révolution $V =\pi\times\text{r}^2\times\text{h}$ avec $\text{h}$ la hauteur et $\text{r}$ le rayon.	Volume dʼune pyramide $V =\dfrac{1}{3}\times\text{A}\times\text{h}$ avec $\text{h}$ la hauteur et $\text{A}$ lʼaire de la base.
Volume dʼun cône de révolution $V =\dfrac{1}{3}\times\pi\times\text{r}^2\times\text{h}$ avec $\text{h}$ la hauteur et $\text{r}$ le rayon.	Volume dʼune boule $V =\dfrac{4}{3}\times\pi\times\text{r}^3$ avec $\text{r}$ le rayon.
Volume dʼun prisme droit $V = \text{A}\times\text{h}$ avec $\text{h}$ la hauteur et $\text{A}$ lʼaire de la base.

3. Unités de mesure et de conversion

Méthode
Pour mesurer un volume, on utilise le mètre cube (noté m

^3

), ainsi que ses multiples et ses sous-multiples.
On utilise aussi des unités de contenance qui mesurent la quantité de liquide que peut contenir un volume. Lʼunité de contenance de référence est le litre (noté L).
Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau :

	m $^3$			dm $^3$			cm $^3$			mm $^3$
				hL	daL	L	dL	cL	mL
$1$ L $=$			$0\text{,}$	$0$	$0$	$1$
$1$ L $=$						$1$	$0$	$0$	$0$
$1$ m $^3 =$			$1$	$0$	$0$	$0$
$10$ m $^3 =$		$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$

Donc

1

= 0\text{,}001

^3

1

= 1\:000

^3 = 1\:000

1

^3 = 1\:000

^3 = 1\:000

10

^3 = 10\:000\:000\:000

^3

Remarques :

Noter m $^3$ (mètre cube), cʼest choisir comme unité le volume dʼun cube dʼun mètre dʼarête.
Les unités de volume varient de 1 000 en 1 000 : $1$ m $^3$ = $1\:000$ dm $^3$ . Les unités de contenance varient de 10 en 10 : $1$ L $= 10$ dL.

J'applique
Consigne : Exprimez 15,2 dm³ en cL.
Correction : On rappelle que 1 dm³ = 1 L et 1 L = 100 cL.
Donc 15,2 dm³

= 15\text{,}2 \times 100

= 1\:520

cL.

D. Grandeurs composées

Définitions
Une grandeur composée est une grandeur issue du produit ou du quotient dʼautres grandeurs.
On parle de grandeur produit quand elle résulte de la multiplication de deux valeurs, et de grandeur quotient quand elle résulte de la division de deux valeurs. Lʼunité dʼune grandeur composée est le produit ou le quotient des unités de chaque grandeur.

Exemple : Pour calculer une vitesse exprimée en mètres par seconde, on divise une distance exprimée en mètres par une durée exprimée en secondes. Cʼest une grandeur quotient.

Remarque : Pour obtenir lʼaire dʼune surface rectangulaire, on multiplie les distances de ses côtés (en mètres par exemple) entre elles. Lʼaire obtenue est alors en mètres carrés. Le m

^2

est donc une grandeur composée (cʼest une grandeur produit).

\dfrac{\text{m}}{\text{s}}

s'écrit aussi

\text{m.s}^{-1}

Méthode
Pour pouvoir faire des comparaisons et des calculs avec des mesures, il faut quʼelles soient exprimées avec les mêmes unités. Si deux mesures ne sont pas exprimées dans les mêmes unités, on commence par les convertir dans la même unité.

J'applique
Consigne : Additionnez ces deux vitesses : 35 km/h et 10 m/s.
Correction : On convertit une des deux vitesses pour qu'elle ait les mêmes unités que l'autre. La conversion de 10 m/s en km/h se fait par le calcul :

10\: \text{m/s} = \dfrac {10 \:\text{m}}{1 \:\text{s}} = \dfrac {\dfrac{1}{100} \:\text{km}}{\dfrac{1}{3\:600} \:\text{h}} = \dfrac{3\:600}{100} \:\text{km/h} = 36 \:\text{km/h}

On peut donc additionner les vitesses exprimées dans la même unité (km/h) :

35 + 36 = 71

.
La vitesse obtenue est donc 71 km/h.

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