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Je résous des problèmes
P.252-259

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Mathématiques - Je résous des problèmes


Je résous des problèmes




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Exercice 48 : Une partie de football.

Un terrain de foot est de forme rectangulaire, de dimensions 105 m × 70 m.

1
Combien de feuilles A4 (de dimensions 21 cm × 29,7 cm) faudrait-il pour recouvrir la pelouse ?



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Exercice 49 : Autour du Soleil.

Graphique lié à l'exercice 1
La Terre est à 149 597 887 km du Soleil. Supposons que la Terre décrive un cercle autour du Soleil et quʼelle fasse un tour complet en un an.

1
Quelle distance arrondie au km près la Terre parcourt-elle en un an ?



2
En réalité, la Terre parcourt 924 375 700 km lorsquʼelle fait un tour complet autour du Soleil. Effectuez une recherche sur lʼorbite terrestre afin dʼexpliquer cette différence.



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Exercice 50 : Plan dʼun appartement.

Graphique lié à l'exercice 2
Voici le plan dʼun appartement.

1
Calculez la superficie de la chambre.



2
Calculez la superficie totale de lʼappartement. A-t-on besoin du résultat de la question 1 pour effectuer ce calcul ?



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Exercice 51 : Tracer.

1
Tracez sans compas trois triangles différents dont lʼaire est égale à 21cm221\:\text{cm}^2.



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Exercice 52 : Smiley.

Graphique lié à l'exercice 3
1
Calculez lʼaire de la partie colorée, en cm2\text{cm}^2. Donnez-en une valeur arrondie au dixième.



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Exercice 53 : Pense-bête.

Graphique lié à l'exercice 4
1
Calculez lʼaire de la partie colorée, en cm2^2. Donnez-en une valeur arrondie au dixième.



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Exercice 54 : Ballotins de chocolat.

Un chocolatier utilise des boites en forme de pavé droit pour vendre ses ballotins de chocolats.Le petit ballotin a un volume 1,5 fois plus petit que celui du ballotin de taille moyenne, qui représente lui-même la moitié seulement du grand ballotin.

1
Sachant que le grand ballotin contient 60 chocolats, combien contiennent respectivement le moyen et le petit ballotin ?



2
Sachant que le volume du ballotin moyen est de 540cm3540\:\text{cm}^3, quel volume de chocolat représentent le grand et le petit ballotin ?



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Exercice 55 : Cercle et diamètre.

Graphique lié à l'exercice 5
Tom veut former un cercle le plus grand possible avec une corde de 10 m de long.

1
Quel diamètre peut atteindre le cercle formé à lʼaide de cette corde ?



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Exercice 56 : Mile per hour.

Dans les pays anglo-saxons, lʼunité de mesure de la vitesse est le mile per hour ou mile par heure (mph). 1 mile = 1,609 kilomètres.

1
Convertissez 130 km/h en mph.



2
Une voiture américaine roulant en France à 80 mph sur autoroute limitée à 130 km/h respecte-t-elle la limitation ? Justifiez votre réponse.



3
Une voiture française roulant à 90 km/h sur une portion de route limitée à 60 mph aux États-Unis respecte-t-elle les limitations de vitesse ? Justifiez votre réponse.



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Exercice 57 : Laitons.

Le laiton est un alliage de cuivre et de zinc. La masse volumique du cuivre est de 8,920g/cm38\text{,}920 \text{g}/\text{cm}^3 et celle du zinc de 7,150g/cm37\text{,}150 \text{g}/\text{cm}^3.

1
Déterminez les masses volumiques des alliages suivants et complétez le tableau en arrondissant les résultats au centième.

Alliage Quantité de zinc (%) Quantité de cuivre (%) Masse volumique (g/cm3^3) Masse volumique (t/m3^3)
Laiton 1 10 90
Laiton 2 20 80
Laiton 3 30 70
Laiton 4 40 60

2
Comment évolue la densité du laiton quand la proportion de zinc augmente ?



3
Combien pèse 1m31 \text{m}^3 de lʼalliage 1 ? De lʼalliage 2 ? De lʼalliage 3 ? De lʼalliage 4 ?



4
Convertissez ces résultats en tonnes.



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Exercice 58 : Solutions chimiques et concentration.

1
Dans une solution chimique, il y a 4,72g/L4\text{,}72 \text{g}/\text{L} de calcium. Quelle quantité de calcium en grammes y a-t-il dans 10 L de cette solution ? Dans 100 L ? Dans 1 000 L ? Dans 1 m3^3 ?



2
Dans 15 L dʼune solution chimique, il y a 21 g de sodium. Quelle est la concentration de la solution en g/L ? En g/dm3^3 ? En g/m3^3 ?



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Exercice 59 : Lampe torche.

Graphique lié à l'exercice 6
On modélise une lampe torche par la superposition de trois cylindres de révolution, comme représenté ci-contre.

1
Exprimez le volume de cette lampe torche en fonction de hh et de rr. On factorisera le résultat par πr2h\pi \text{r}^2\text{h}.



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Exercice 60 : Marteau.

Graphique lié à l'exercice 7
On modélise un marteau par la figure ci-contre.

1
Calculez son volume.



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Exercice 61 : Objets quotidiens.

Complétez le tableau suivant. Répondez aux questions quand lʼénoncé le permet.

1
Complétez le tableau suivant.

Il faut calculer lʼaire de la surface pour répondre. Il faut calculer le volume pour répondre. Ni le calcul de lʼaire de la surface ni le calcul du volume nʼest utile.
a.
b.
c.

2
Quelle est la contenance dʼun vase de hauteur 30 cm et dont le diamètre de lʼextrémité supérieure est 10 cm et celui de lʼextrémité inférieure est 5 cm ?
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 9</stamp> Objets quotidiens.



3
Quelle surface de tissu a été utilisée pour fabriquer cette lampe ?
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 10</stamp> Objets quotidiens.



4
Combien de dés de 1 cm de côté peut-on transporter dans un cône de hauteur 10 cm et rayon 2 cm ?
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 11</stamp> Objets quotidiens.



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Exercice 62 : Cône de glace.

Un cornet de glace mesure 9 cm de hauteur pour 4 cm de diamètre. Il est rempli de glace vanille jusquʼaux trois quarts, le reste du cornet étant rempli de glace à la fraise.

1
Quel est le volume du cornet ?



2
Calculez le rapport entre le volume de glace à la fraise et le volume de glace à la vanille.



3
Quel volume de glace à la vanille contient le cornet ? Déduisez-en le volume de glace à la fraise.



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Exercice 63 : Vers le Brevet (Centres étrangers, 2011).

Graphique lié à l'exercice 12
Michel achète une glace au chocolat. Celle-ci a la forme dʼune boule posée sur un cône comme sur la figure ci-contre (lʼunité est le cm). Michel se demande sʼil ne serait pas plus intéressant de remplir le cône à ras bord avec de la glace plutôt que de poser une boule sur le cône.

1
Quʼen pensez-vous ?



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Exercice 64 : Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2011).

Graphique lié à l'exercice 13
Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm. Le pot de glace au chocolat a la forme dʼun parallélépipède rectangle.Celui de glace à la vanille est cylindrique.Les deux pots sont pleins. Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.

1
Calculez le volume des pots de glace vanille et chocolat arrondi au cm3\text{cm}^3.



2
Calculez la valeur arrondie au cm3\text{cm}^3 du volume dʼune boule de glace contenue dans la coupe.



3
Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille ?



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Exercice 65 : Vinaigrette.

Une vinaigrette contient trois volumes dʼhuile pour un volume de vinaigre et un volume de moutarde.

1
Quel est le pourcentage dʼhuile dans une vinaigrette ? De vinaigre ? De moutarde ?



2
Quelle quantité de chaque ingrédient exprimée en litres faut-il pour faire 50 cL de vinaigrette ?



3
Lʼunité retenue est-elle correcte pour la quantité de moutarde ? Est-elle pertinente ?



4
Sachant que la masse volumique de la moutarde est de 1,2g/cm31\text{,}2 \text{g}/\text{cm}^3, déterminez la masse de moutarde (en grammes) nécessaire pour préparer 50cL50 \text{cL} de vinaigrette.



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Exercice 66 : Carburants verts.

Les carburants verts sont constitués pour une partie dʼessence et, pour lʼautre, de biocarburant comme lʼéthanol. Le carburant E85 contient 15 % dʼessence et 85 % dʼéthanol.

1
Combien de litres de E85 peut-on fabriquer avec 100L100 \text{L} dʼéthanol ? Avec 100L100 \text{L} dʼessence ?



2
La masse volumique de lʼessence est de 0,75g/cm30\text{,}75 \text{g}/\text{cm}^3, celle de lʼéthanol est de 0,79g/cm30\text{,}79 \text{g}/\text{cm}^3. Quelle est la masse volumique de lʼE85 en kg/m3\text{kg}/\text{m}^3 ?



3
Le sans-plomb 95 – E10 est composé de 10 % dʼéthanol et le reste dʼessence. Quelle est sa masse volumique ?



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Exercice 67 : Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2011).

Une entreprise doit construire des plots en béton pour border des trottoirs. Ces plots sont formés dʼun cylindre de révolution surmonté dʼune demi-boule. La hauteur du cylindre doit être de 40 cm et son rayon de 20 cm. La demi-boule a le même rayon.

1
Calculez les volumes du cylindre et de la demi-boule arrondis au cm3\text{cm}^3.



2
Calculez le volume de béton nécessaire pour fabriquer 1 000 plots. Donnez la réponse en m3\text{m}^3.



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Exercice 68 : Mesure du degré dʼalcool.

1
Recherchez la masse volumique de lʼeau et exprimez-la en kg/L.



2
La masse volumique de lʼéthanol est de 7,89×101kg/L7\text{,}89 \times 10^{-1} \text{kg}/\text{L}. Un litre dʼalcool est-il plus léger quʼun litre dʼeau ?




3
On plonge un bâton en forme de parallélépipède rectangle de dimensions 10×10×60mm10 \times 10 \times 60\:\text{mm} dans la solution. Sa masse volumique est de 7×101kg/dm37 \times 10^{-1} \text{kg}/\:\text{dm}^3. Quelle est la masse de ce bâton ?



4
Le bâton est immergé dʼune hauteur hh dans le liquide. Quel est le volume que prend cette partie immergée en fonction de hh ? À quelle masse de liquide cela correspond-il ?



5
Pour que le bâton flotte, il faut que la masse de liquide soit égale à la masse du bâton (cʼest le principe de la poussée dʼArchimède). Trouvez cette hauteur hh en fonction de xx.



6
Comment, à partir de ce résultat, peut-on imaginer un système de mesure du degré dʼalcool xx ?



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Exercice 69 : Construction dʼune table.

Graphique lié à l'exercice 14
Voici les plans dʼune table en bois, avec une vue de haut et deux vues latérales.

1
Calculez le volume de bois nécessaire à la confection de cette table.



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Exercice 70 : La goutte dʼeau.

Graphique lié à l'exercice 15
Marie sʼest servie un verre de jus de fruits. Le verre est de forme cylindrique, de hauteur h = 12 cm, et le fond a un diamètre de 8 cm. Le verre est rempli aux neuf dixièmes de sa hauteur. Thibaut, son petit frère, fait tomber malencontreusement un dé cubique de 3 cm de côté dans son verre.

1
Le verre va-t-il déborder ?



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Exercice 71 : Morceau de fromage.

Graphique lié à l'exercice 16
1
Calculez le volume du morceau découpé dans ce fromage.



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Exercice 72 : Le bon verre.

Graphique lié à l'exercice 17
Graphique lié à l'exercice 18
Graphique lié à l'exercice 19
Graphique lié à l'exercice 20
1
Parmi les verres suivants, lequel vous semble le plus adapté pour servir un jus de 40 cL ?








2
À quelle hauteur le verre que vous avez choisi sera-t-il rempli ?



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Exercice 73 : À la piscine.

Graphique lié à l'exercice 21
Voici les plans dʼune piscine, dont la profondeur croit progressivement de 1 m à 3 m.

1
Exprimez le volume dʼeau contenu dans la piscine comme différence entre le volume dʼun parallélépipède rectangle et celui dʼun prisme droit.



2
Déduisez-en le volume dʼeau contenu dans cette piscine.



3
Pour des raisons dʼhygiène, la piscine doit être complètement vidée, puis remplie à nouveau avec de lʼeau propre. On remplit la piscine à lʼaide dʼune pompe dʼun débit de 45 L/min. En une minute, la pompe délivre un volume de 45 L dʼeau. À lʼaide dʼun tableau de proportionnalité, déterminez la durée nécessaire pour remplir la piscine. On exprimera cette durée en minutes, puis en heures.



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Exercice 74 : Pyramide régulière à base carrée et cône.

Graphique lié à l'exercice 22
La base de la pyramide SABCD est un carré de 6 cm de côté. La hauteur des faces latérales de SABCD mesure 5 cm. Le rayon du cône mesure 3 cm. La pyramide et le cône ont le même volume.

1
Déterminez la hauteur SO de la pyramide.



2
Déterminez une valeur arrondie au dixième de la hauteur du cône.



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Exercice 75 : Pyramide.

Graphique lié à l'exercice 23
La pyramide suivante de petits cubes comporte 5 étages. Le volume dʼun petit cube est de 1cm31\:\text{cm}^3.

1
Calculez le volume dʼune telle pyramide si elle comporte 10 étages.



2
À lʼaide de la formule du cours, calculez le volume de la pyramide ci-contre.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 24</stamp> Pyramide.



3
Comparez les résultats des questions a. et b.. Quʼen pensez-vous ?



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Exercice 76 : Prisme droit et cube.

1
Calculez le volume et lʼaire de la surface de ce prisme droit.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 26</stamp> Prisme droit et cube.



2
Calculez le volume et lʼaire de la surface de ce cube.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 25</stamp> Prisme droit et cube.



3
Expliquez sans calcul pourquoi les deux volumes sont égaux mais les aires de leurs surfaces sont différentes.



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Exercice 77 : Crayon.

Graphique lié à l'exercice 27
1
Calculez le volume de ce crayon !



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Exercice 78 : Rotation et volume.

Graphique lié à l'exercice 28
Graphique lié à l'exercice 29
On attache le plus long côté de ce triangle à un axe de rotation.

1
Quel est le volume du solide obtenu ?



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Exercice 79 : Travaux sur le toit.

Graphique lié à l'exercice 30
Un couvreur doit commander des tuiles qui mesurent 20 cm de largeur et 35 cm de longueur pour refaire un toit à quatre versants. Voici un schéma du toit.

1
Estimez combien de tuiles il faudra commander pour couvrir le toit entièrement.



2
Expliquez pourquoi il sʼagit seulement dʼune estimation.



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Exercice 80 : Trapèze et volume.

Graphique lié à l'exercice 31
On fait tourner le trapèze ABCD autour de lʼaxe (CD). AB = 30 cm.

1
Décrivez lʼobjet que lʼon obtient.



2
Calculez son volume.



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Exercice 81 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011).

Graphique lié à l'exercice 32
Graphique lié à l'exercice 33
On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm dʼarête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté ci-contre.La hauteur du prisme est égale à la moitié de lʼarête des cubes.

1
On nomme ce prisme ABCDEF, comme sur la figure ci-dessus. Quelle est la nature de la base de ce prisme droit ? Justifiez la réponse.



2
Vérifiez, par des calculs, que la longueur AC=42\text{AC} = 4 \sqrt{2} cm.



3
Déduisez-en la valeur exacte de lʼaire de la face ACDF. Donnez lʼarrondi au mm2^2 près.

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Exercice 82 : Un verre dʼeau fraiche.

Graphique lié à l'exercice 34
On considère un verre cylindrique de 8 cm de hauteur dont la base est un disque de 3 cm de rayon.On sert de lʼeau dans ce verre et on y ajoute un glaçon cubique de 2 cm dʼarête.Le verre est désormais plein à ras bord.

1
Quel volume dʼeau a-t-on servi ? Exprimez-le en cm3^3 puis en cL.



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Exercice 83 : Remplissage dʼune écluse.

Le débit moyen qq dʼun fluide dépend de la vitesse moyenne vv du fluide et de lʼaire SS de lʼespace par lequel il sʼécoule. ll est donné par la formule suivante : q=S×vq = S \times vqq est exprimé en m3/s\text{m}^3/\text{s} ; SS est exprimé en m2\text{m}^2 ; vv est exprimé en m/s\text{m}/\text{s}.On considèrera que la vitesse moyenne dʼécoulement de lʼeau à travers la vanne dʼune écluse durant le remplissage est v=2,8v = 2\text{,}8 m/s.La vanne a la forme dʼun disque de rayon R=30\text{R} = 30 cm.

1
Quelle est lʼaire exacte, en m2^2, de la vanne dʼune écluse ?



2
Déterminez le débit moyen arrondi au millième de cette vanne durant le remplissage.



3
Pendant combien de secondes faudra-t-il patienter pour le remplissage dʼune écluse de capacité 756 m3^3 ? Est-ce quʼon attendra plus de 15 minutes ?



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Exercice 84 : Essuie-tout.

Graphique lié à l'exercice 35
On modélise un rouleau dʼessuie-tout par un cylindre de révolution de 20 cm de hauteur.

1
Sachant que lʼépaisseur totale de papier est de 2,5 cm, calculez le volume de papier contenu dans ce rouleau.



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Exercice 85 : Abat-jour.

Graphique lié à l'exercice 36
Théo veut construire un abat-jour. Il a dessiné la figure suivante sur un tissu.

1
Recopiez cette figure à lʼéchelle 1/5e^e et colorez la partie que Théo veut utiliser pour son abat-jour.



2
Quelle surface de tissu va-t-il découper ?

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Exercice 86 : Patron et aire.

Graphique lié à l'exercice 37
Graphique lié à l'exercice 38
Voici le patron dʼun cône formé par un disque de rayon r et par un secteur de cercle dʼangle α et de rayon R.

1
Complétez le tableau suivant, sachant que lʼon appelle « aire du cône » lʼaire des figures qui forment son patron.

r α\alpha R Aireco^ne\text{Aire}_{cône}
90° 8 dm
12 cm 108°
10 m 12 m
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Exercice 87 : Ballon météorologique.

Des scientifiques gonflent un ballon météorologique sphérique dʼun rayon dʼun mètre avec de lʼhélium.On suppose que la température à lʼintérieur de ce ballon reste constante.La loi des gaz parfaits implique que le produit entre la pression PP à la surface de ce ballon et le volume VV de ce ballon reste constant.On a donc une égalité de la forme PV=aPV = a.

1
Donnez le volume de ce ballon lorsquʼil est lancé au sol.



2
Lorsque le ballon monte dans lʼatmosphère la pression diminue. Comment évolue alors le volume du ballon ? Celui-ci se gonfle-t-il ou se dégonfle-t-il ?




3
Lʼélasticité du ballon lui permet de doubler de rayon avant dʼéclater. Calculez le volume du ballon au moment où celui-ci éclate.



4
Le but des scientifiques est dʼutiliser ce ballon pour étudier lʼatmosphère à 11 000 m dʼaltitude. À cette altitude, la pression nʼest que le quart de celle de la surface de la Terre. Le ballon pourra-t-il arriver à cette altitude ?




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Tâche complexe : Une arnaque ?

Graphique lié à l'exercice 2
Au IIIe siècle av. J.-C., le roi Hiéron II de Syracuse commande une couronne à un orfèvre et lui donne pour cela 2 kg dʼor. Une fois son ornement fabriqué, le roi en vérifie la masse : 2 kg. Ayant des doutes sur lʼhonnêteté de lʼartisan, il demande à Archimède de vérifier que sa couronne est faite exclusivement dʼor.

1
Que va répondre Archimède ? Lʼorfèvre a-t-il trompé le roi ? Si oui, quelle masse dʼor a-t-il subtilisée ?



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Doc. 1
La masse de lʼargent.

Lʼargent est moins dense que lʼor.
  • La masse volumique de lʼargent est de 10,5 g/cm3.
  • La masse volumique de lʼor est de 19,3 g/cm3.
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