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A. Propriétés sur les triangles

1. Les inégalités triangulaires

  Propriété
Dans un triangle ABC, la longueur dʼun côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés :
  • ABAC+BC\text{AB} \leq \text{AC} + \text{BC}
  • ACAB+BC\text{AC} \leq \text{AB} + \text{BC}
  • BCAB+AC\text{BC} \leq \text{AB} + \text{AC}
Remarque : Si dans le triangle ABC lʼégalité AB=AC+BC\text{AB} = \text{AC} + \text{BC} est vérifiée, alors C appartient au segment [AB]. Le triangle est plat.

  J'applique
Consigne : 
Voici des mesures de segments. Lesquels de ces derniers peuvent servir à construire un triangle ?
a. AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm.
b. AB = 8 cm, AC = 3,7 cm, BC = 3,9 cm.
c. AB = 5 cm, AC = 2,2 cm, BC = 3 cm.
Correction :
Les triplés de segments a. et c. peuvent servir à construire un triangle. Dans le triplé de segments b., un des segments est plus long que la somme des deux autres, ce triplé ne peut donc pas servir à construire un triangle.

 

2. Les angles d'un triangle

  Rappels
  • Un triangle équilatéral ABC a trois angles de même mesure : ABC^=BAC^=ACB^\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{ACB}}
  • Un triangle isocèle en A a deux angles de même mesure : ABC^=ACB^\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}
  Propriété
La somme des angles dʼun triangle est égale à 180°.
  J'applique
Consigne : 
ABC est un triangle. On connait les mesures de deux de ses angles : ACB^=80\widehat{\text{ACB}} = 80^{\circ} et ABC^=60\widehat{\text{ABC}} = 60^{\circ}.
Combien mesure le troisième angle?
Correction : 1808060=40180 - 80 - 60 = 40
L'angle BAC^\widehat{\text{BAC}} mesure 40°.

B. Droites remarquables d'un triangle

1. Médiatrices d'un triangle

  Définition
  • La médiatrice dʼun segment [AB] est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu. Cʼest aussi lʼensemble des points équidistants de A et de B. 
  • Les médiatrices dʼun triangle ABC sont les médiatrices de ses côtés et se coupent en un point O équidistant des 3 sommets du triangle. 
On a donc OA = OB = OC.

2. La hauteur

  Définition
Dans un triangle ABC, la hauteur relative au côté [BC] est la droite perpendiculaire à la droite (BC) passant par A. On dit aussi que cʼest la hauteur issue de A.

C. Triangles égaux et semblables

1. Triangles égaux

  Définition
Deux triangles sont égaux si leurs côtés sont respectivement de même longueur. Quitte à les retourner, déplacer ou tourner, on peut alors les superposer.

Des triangles égaux ont toujours des angles de même mesure, mais des triangles qui ont des angles de même mesure ne sont pas forcément égaux.

  J'applique
Consigne : 
Parmi les triangles suivants, lesquels sont égaux ?
Correction : Les triangles A, D et E ont des côtés de mêmes longueur ; ils sont donc égaux.

  Propriétés
  • Si deux triangles ont un côté de même longueur encadré par deux angles de même mesure, alors ils sont égaux. 
  • Si deux triangles ont un angle de même mesure encadré par deux côtés de même longueur, alors ils sont égaux.
Exemple : AC = DE
BAC^=FDE^\widehat{\text{BAC}} =\widehat{\text{FDE}}
BCA^=FED^\widehat{\text{BCA}} =\widehat{\text{FED}} 
Donc ABC et FED sont égaux. On a alors FE = BC et BA = FD.
Exemple : 
IGH^=JKL^\widehat{\text{IGH}}=\widehat{\text{JKL}}
IG = JK
GH = KL
Donc GHI et JKL sont égaux. On a alors IH = LJ.

 

2. Triangles semblables

  Définition
Deux triangles sont semblables si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Exemple : Dans le triangle ABC, AB = 2, BC = 4, AC = 3. A'B'C' est un triangle semblable à ABC et A'B' = 6. On détermine les longueurs du triangle ABC à lʼaide dʼun tableau de proportionnalité.

Remarque : Lʼimage dʼun triangle ABC par une homothétie, par un agrandissement ou par une réduction est un triangle semblable à ABC.

  Propriétés
  • Deux triangles semblables ont des angles de même mesure. 
  • Si deux triangles ont des angles de même mesure, alors ils sont semblables.
Exemple : ABC et A'B'C' sont semblables, alors ABB’C’=BCA’B’=ACA’C’\dfrac{\text{AB}}{\text{B'}\text{C'}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{A'}\text{B'}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{A'}\text{C'}}
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