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Chapitre 13

Problèmes résolus

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Symétriques et médiatrices.

✔ Je structure mon raisonnement
✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème

ABC est un triangle rectangle et isocèle en B. On construit le symétrique de ABC par rapport à la droite (AC). Le symétrique du point B est appelé B'. Puis on place le point D à lʼintersection du segment [AC] et du segment [BB'].
Aide
Placeholder pour Diagramme géométrique : carré avec diagonales se croisant, segments égaux indiqués.Diagramme géométrique : carré avec diagonales se croisant, segments égaux indiqués.
Tracer la figure est très utile pour se représenter le problème et trouver la solution.Pensez à bien coder la figure pour synthétiser toutes les données.
Montrez que (AD) est une médiatrice du triangle ABB'.
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Méthode 1
Pour démontrer des propriétés de figures de géométrie plane, il peut être efficace dʼutiliser des propriétés de la symétrie axiale.

Corrigé 1
B' est le symétrique de B par rapport à (AC), donc (AC) est la médiatrice de [BB'].
D appartient à (AC) donc (AD) et (AC) sont confondues. Donc (AD) est aussi la médiatrice de [BB']. (AD) est donc une médiatrice de ABB'.
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Méthode 2
Il est également possible de repérer les figures particulières et dʼutiliser leurs propriétés pour résoudre le problème.

Corrigé 2
  • ABC est un triangle isocèle et rectangle en B, donc AB = BC. La symétrie axiale conserve les longueurs, donc AB = BC = AB' = B'C, donc ABCB' est un losange.
  • On sait que lʼangle \widehat{\text{ABC}} est droit, puisque ABC est rectangle en B.
    ABCB' est donc un losange avec un angle droit, cʼest donc un carré.
  • Or les diagonales dʼun carré se coupent perpendiculairement et en leur milieu. Donc D est le milieu de [BB'] et [BB'] est perpendiculaire à [AD].
On en déduit donc que (AD) coupe [BB'] en son milieu et perpendiculairement, cʼest donc la médiatrice de [BB'].
Donc (AD) une médiatrice de ABB'.
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Problème similaire
Triangle équilatéral et symétrique.

ABC est un triangle équilatéral. D est le symétrique de A par rapport à (BC). E est le point dʼintersection de (AD) et (BC).

Montrez que [BE] est une hauteur et une médiatrice du triangle ABD.
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