Problèmes résolus

Symétriques et médiatrices.

ABC est un triangle rectangle et isocèle en B. On construit le symétrique de ABC par rapport à la droite (AC). Le symétrique du point B est appelé B'. Puis on place le point D à lʼintersection du segment [AC] et du segment [BB']. Montrez que (AD) est une médiatrice du triangle ABB'.

Méthode 1

Pour démontrer des propriétés de figures de géométrie plane, il peut être efficace dʼutiliser des propriétés de la symétrie axiale.

Méthode 2

Il est également possible de repérer les figures particulières et dʼutiliser leurs propriétés pour résoudre le problème.

Corrigé 1

B' est le symétrique de B par rapport à (AC), donc (AC) est la médiatrice de [BB'].
D appartient à (AC) donc (AD) et (AC) sont confondues. Donc (AD) est aussi la médiatrice de [BB']. (AD) est donc une médiatrice de ABB'.

Corrigé 2

ABC est un triangle isocèle et rectangle en B, donc AB = BC. La symétrie axiale conserve les longueurs, donc AB = BC = AB' = B'C, donc ABCB' est un losange.
On sait que lʼangle $\widehat{\text{ABC}}$ est droit, puisque ABC est rectangle en B.
ABCB' est donc un losange avec un angle droit, cʼest donc un carré.
Or les diagonales dʼun carré se coupent perpendiculairement et en leur milieu. Donc D est le milieu de [BB'] et [BB'] est perpendiculaire à [AD].

On en déduit donc que (AD) coupe [BB'] en son milieu et perpendiculairement, cʼest donc la médiatrice de [BB'].
Donc (AD) une médiatrice de ABB'.

Triangle équilatéral et symétrique.

ABC est un triangle équilatéral. D est le symétrique de A par rapport à (BC). E est le point dʼintersection de (AD) et (BC).

Montrez que [BE] est une hauteur et une médiatrice du triangle ABD.

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Problèmes résolus

Symétriques et médiatrices.

Triangle équilatéral et symétrique.

Problèmes résolus

Question 1

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