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Problèmes résolus

Méthode 1

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il est possible de montrer que les angles de ces triangles ont les mêmes mesures.
Méthode 2

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il est possible de montrer que la longueur des côtés de lʼun est proportionnelle à celle des côtés de lʼautre.
Corrigé 1
  • ABC est équilatéral, donc tous ses angles mesurent 6060^{\circ}. Donc C est équidistant de A et B. De plus, D est le milieu du segment [AB], il est donc lui aussi équidistant de A et B. Donc C et D appartiennent à la médiatrice de [AB].
  • Or la médiatrice est perpendiculaire à [AB], donc les triangles ADC et CDB sont rectangles en D. Ces deux triangles ont donc un angle droit et un angle qui mesure 6060^{\circ} (CAD^\widehat{\text{CAD}} pour le triangle CDA et CBD^\widehat{\text{CBD}} pour le triangle CDB).
  • Donc pour ces deux triangles, le troisième angle mesure 1809060=30180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}. Les triangles CDB et ADC ont donc tous deux des angles valant 9090^{\circ}, 6060^{\circ} et 3030^{\circ}, ils sont donc semblables.
Corrigé 2

ABC est équilatéral et D est le milieu de [AB]. Donc AC = BC et AD = BD. Les deux triangles CDB et ADC ont un côté en commun : [DC].
Les deux triangles ont des côtés de longueurs égales deux à deux, ils sont donc égaux. Et puisque des triangles égaux sont aussi semblables, CDB et ADC sont des triangles semblables.
33

Symétrie centrale et triangles semblables.

ABC est un triangle rectangle isocèle en A. D est le symétrique de B par rapport à A.
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Problèmes résolus

1
Corrigé 2

ABC est équilatéral et D est le milieu de [AB]. Donc AC = BC et AD = BD. Les deux triangles CDB et ADC ont un côté en commun : [DC].
Les deux triangles ont des côtés de longueurs égales deux à deux, ils sont donc égaux. Et puisque des triangles égaux sont aussi semblables, CDB et ADC sont des triangles semblables.
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