Pronote
Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

J'apprends

A. Racine carré

  Définition
La racine carrée d’un nombre positif aa est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à aa. On le note a\sqrt{a} et on a (a)2=a(\sqrt{a})^2= a.

Remarque : Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants :
aa0149162536496481100121144
a\sqrt{a}0123456789101112

  J'applique
Consigne :
Obtenez à la calculatrice 16\sqrt{16} et 1,44\sqrt{1\text{,}44}. Comment justifier ces résultats ?
Correction : 
16=4\sqrt{16} = 4 et 1,44=1,2\sqrt{1\text{,}44} = 1\text{,}2.
En effet 42=164^2 = 16. De plus, 122=14412^2 = 144 donc 1,22=1,441\text{,}2^2 = 1\text{,}44.

Remarques : 

  • Certaines racines carrées n’ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, 2\sqrt{2} est un nombre irrationnel. 
  • Si a<ba < b alors a<b\sqrt{a} < \sqrt{b} . On peut donc approcher la valeur d’une racine carrée en l’encadrant par des racines connues. Par exemple, 62<42<726^2 < 42 < 7^2 , donc 6<42<76 < \sqrt{\text{42}} < 7.

B. Le théorème de Pythagore

  Théorème
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l’angle droit.
  J'applique
Consigne : 
Appliquez la formule du théorème au triangle DEF rectangle en D.
Correction : EF2=DE2+DF2\text{EF}^2 = \text{DE}^2 + \text{DF}^2

C. Longueur d'un côté

1. Calcul de la longueur de l'hypoténuse

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait les longueurs CA et CB des deux côtés adjacents à l’angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse.
  AB2=CA2+CB2\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2 
donc AB=CA2+CB2\text{AB} = \sqrt{\text{CA}^2 + \text{CB}^2}.
  J'applique
Consigne :
Le triangle ABC est rectangle en C, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Calculez la longueur AB.
Correction : Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : AB2=CA2+CB2\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2
donc AB2=42+32\text{AB}^2 = 4^2 + 3^2
donc AB2=16+9\text{AB}^2 = 16 + 9
donc AB2=25\text{AB}^2 = 25
donc AB=25\text{AB} = \sqrt{25}
donc AB=5\text{AB} = 5
La longueur AB vaut 5 cm.

Dans l’expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :
  • On calcule d’abord les carrés ; 
  • Puis on calcule la somme ; 
  • Enfin, on trouve la valeur de la racine.

 

2. Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait la longueur AB de l’hypoténuse et la longueur CA d’un côté adjacent à l’angle droit, on peut calculer la longueur BC de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit.
AB2=CA2+BC2\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{BC}^2
donc BC2=AB2CA2\text{BC}^2 = \text{AB}^2 - \text{CA}^2
donc BC=AB2CA2\text{BC} = \sqrt {\text{AB}^2 - \text{CA}^2} .
  J'applique
Consigne : 
Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.
Correction : Dans le triangle KLM rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore.
LM2=KM2+KL2\text{LM}^2 = \text{KM}^2 + \text{KL}^2
donc 82=KM2+628^2 = \text{KM}^2 + 6^2
donc KM2=8262\text{KM}^2 = 8^2 - 6^2
donc KM2=6436\text{KM}^2 = 64 - 36
donc KM2=28\text{KM}^2 = 28
donc KM=28\text{KM} = \sqrt{28}
donc KM5,3\text{KM} \approx 5\text{,}3
La longueur KM est environ égale à 5,3 cm.

D. Réciproque du théorème de Pythagore

  Réciproque du théorème du Pythagore
Dans un triangle ABC, si l’égalité AB2=CA2+CB2\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2  est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.

Remarque : Si cette égalité n’est pas vérifiée dans le cas où [AB] est le plus grand côté, alors le triangle n’est pas rectangle en C.

  J'applique
Consigne : 
Le triangle SET tel que ET = 13 cm, SE = 5 cm et ST = 12 cm est-il rectangle ?
Correction : On sait que [ET] est le plus grand côté et que ET2=132=169\text{ET}^2 = 13^2 = 169.
SE2+ST2=52+122=25+144=169\text{SE}^2 + \text{ST}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
On constate que ET2=SE2+ST2\text{ET}^2 = \text{SE}^2 + \text{ST}^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SET est rectangle en S.
Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?