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A. Racine carré

  Définition
La racine carrée d’un nombre positif aa est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à aa. On le note a\sqrt{a} et on a (a)2=a(\sqrt{a})^2= a.

Remarque : Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants :
aa0149162536496481100121144
a\sqrt{a}0123456789101112

  J'applique
Consigne :
Obtenez à la calculatrice 16\sqrt{16} et 1,44\sqrt{1\text{,}44}. Comment justifier ces résultats ?
Correction : 
16=4\sqrt{16} = 4 et 1,44=1,2\sqrt{1\text{,}44} = 1\text{,}2.
En effet 42=164^2 = 16. De plus, 122=14412^2 = 144 donc 1,22=1,441\text{,}2^2 = 1\text{,}44.

Remarques : 

  • Certaines racines carrées n’ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, 2\sqrt{2} est un nombre irrationnel. 
  • Si a<ba < b alors a<b\sqrt{a} < \sqrt{b} . On peut donc approcher la valeur d’une racine carrée en l’encadrant par des racines connues. Par exemple, 62<42<726^2 < 42 < 7^2 , donc 6<42<76 < \sqrt{\text{42}} < 7.

B. Le théorème de Pythagore

  Théorème
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l’angle droit.
  J'applique
Consigne : 
Appliquez la formule du théorème au triangle DEF rectangle en D.
Correction : EF2=DE2+DF2\text{EF}^2 = \text{DE}^2 + \text{DF}^2

C. Longueur d'un côté

1. Calcul de la longueur de l'hypoténuse

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait les longueurs CA et CB des deux côtés adjacents à l’angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse.
  AB2=CA2+CB2\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2 
donc AB=CA2+CB2\text{AB} = \sqrt{\text{CA}^2 + \text{CB}^2}.
  J'applique
Consigne :
Le triangle ABC est rectangle en C, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Calculez la longueur AB.
Correction : Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : AB2=CA2+CB2\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2
donc AB2=42+32\text{AB}^2 = 4^2 + 3^2
donc AB2=16+9\text{AB}^2 = 16 + 9
donc AB2=25\text{AB}^2 = 25
donc AB=25\text{AB} = \sqrt{25}
donc AB=5\text{AB} = 5
La longueur AB vaut 5 cm.

Dans l’expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :
  • On calcule d’abord les carrés ; 
  • Puis on calcule la somme ; 
  • Enfin, on trouve la valeur de la racine.

 

2. Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit

  Méthode
Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait la longueur AB de l’hypoténuse et la longueur CA d’un côté adjacent à l’angle droit, on peut calculer la longueur BC de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit.
AB2=CA2+BC2\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{BC}^2
donc BC2=AB2CA2\text{BC}^2 = \text{AB}^2 - \text{CA}^2
donc BC=AB2CA2\text{BC} = \sqrt {\text{AB}^2 - \text{CA}^2} .
  J'applique
Consigne : 
Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.
Correction : Dans le triangle KLM rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore.
LM2=KM2+KL2\text{LM}^2 = \text{KM}^2 + \text{KL}^2
donc 82=KM2+628^2 = \text{KM}^2 + 6^2
donc KM2=8262\text{KM}^2 = 8^2 - 6^2
donc KM2=6436\text{KM}^2 = 64 - 36
donc KM2=28\text{KM}^2 = 28
donc KM=28\text{KM} = \sqrt{28}
donc KM5,3\text{KM} \approx 5\text{,}3
La longueur KM est environ égale à 5,3 cm.

D. Réciproque du théorème de Pythagore

  Réciproque du théorème du Pythagore
Dans un triangle ABC, si l’égalité AB2=CA2+CB2\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2  est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.

Remarque : Si cette égalité n’est pas vérifiée dans le cas où [AB] est le plus grand côté, alors le triangle n’est pas rectangle en C.

  J'applique
Consigne : 
Le triangle SET tel que ET = 13 cm, SE = 5 cm et ST = 12 cm est-il rectangle ?
Correction : On sait que [ET] est le plus grand côté et que ET2=132=169\text{ET}^2 = 13^2 = 169.
SE2+ST2=52+122=25+144=169\text{SE}^2 + \text{ST}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
On constate que ET2=SE2+ST2\text{ET}^2 = \text{SE}^2 + \text{ST}^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SET est rectangle en S.
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  Théorème
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l’angle droit.
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Consigne : 
Appliquez la formule du théorème au triangle DEF rectangle en D.
Correction : EF2=DE2+DF2\text{EF}^2 = \text{DE}^2 + \text{DF}^2
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