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p. 1-12
Thème 1 : Nombres et calculs
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
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Dossier d'actualité
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Chapitre 16
J'apprends

Théorème de pythagore

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A
Racine carré

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Définition
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à a. On le note \sqrt{a} et on a (\sqrt{a})^2= a.

Exercices n° 
6 à 10
 p. 354
Remarque :  carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants :
a0149162536496481100121144
\sqrt{a}0123456789101112

J'applique

Consigne :
Obtenez à la calculatrice \sqrt{16} et \sqrt{1\text{,}44}. Comment justifier ces résultats ?

Correction :
\sqrt{16} = 4 et \sqrt{1\text{,}44} = 1\text{,}2.
En effet 4^2 = 16. De plus, 12^2 = 144 donc 1\text{,}2^2 = 1\text{,}44.

Remarque : 
  • Certaines racines carrées n'ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont appelés irrationnels. Par exemple, \sqrt{2} est un nombre irrationnel. 
  • Si a alors \sqrt{a}\sqrt{b} . On peut donc approcher la valeur d'une racine carrée en l'encadrant par des racines connues. Par exemple, 6^2 42 7^2 , donc 6\sqrt{\text{42}} 7 .
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B
Le théorème de Pythagore

J'approfondis
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Théorème
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l'angle droit.

Graphique d'un triangle rectangle
Exercices n° 
1 à 5
 p. 353-354

J'applique

Consigne :
Appliquez la formule du théorème au triangle \text{DEF} rectangle en \text{D}.

Correction :
\text{EF}^2 = \text{DE}^2 + \text{DF}^2
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C
Longueur d'un côté

J'approfondis
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1
Calcul de la longueur de l'hypoténuse

Méthode
Dans un triangle \text{ABC} rectangle en \text{C} dont on connait les longueurs \text{CA} et \text{CB} des deux côtés adjacents à l'angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse.
  \text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2 

donc \text{AB} = \sqrt{\text{CA}^2 + \text{CB}^2}.

Graphique d'un triangle ABC
Exercices n° 
11 à 30
 p. 354-357

J'applique

Consigne :
Le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{C}, \text{BC = 4~cm} et \text{AC = 3~cm}. Calculez la longueur \text{AB}.

Correction :
Dans le triangle \text{ABC} rectangle en \text{C}, on applique le théorème de Pythagore : \text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2
donc \text{AB}^2 = 4^2 + 3^2
donc \text{AB}^2 = 16 + 9
donc \text{AB}^2 = 25
donc \text{AB} = \sqrt{25}
donc \text{AB} = 5
La longueur \text{AB} vaut \text{5~cm}.

Attention
Dans l'expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes :
  • On calcule d'abord les carrés ; 
  • Puis on calcule la somme ; 
  • Enfin, on trouve la valeur de la racine.
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2
Calcul de la longueur d'un côté de l'angle droit

Méthode
Dans un triangle \text{ABC} rectangle en \text{C} dont on connait la longueur \text{AB} de l'hypoténuse et la longueur \text{CA} d'un côté adjacent à l'angle droit, on peut calculer la longueur \text{BC} de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit.

\text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{BC}^2
donc \text{BC}^2 = \text{AB}^2 - \text{CA}^2
donc \text{BC} = \sqrt {\text{AB}^2 - \text{CA}^2} .
Triangle ABC rectangle en C


Exercices n° 
11 à 30
 p. 354-357

J'applique

Consigne :
Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle.
Triangle KLM rectagle en K
Correction :
Dans le triangle \text{KLM} rectangle en \text{K}, on applique le théorème de Pythagore.
\text{LM}^2 = \text{KM}^2 + \text{KL}^2
donc 8^2 = \text{KM}^2 + 6^2
donc \text{KM}^2 = 8^2 - 6^2
donc \text{KM}^2 = 64 - 36
donc \text{KM}^2 = 28
donc \text{KM} = \sqrt{28}
donc \text{KM} \approx 5\text{,}3
La longueur \text{KM} est environ égale à \text{5,3~cm}.
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D
Réciproque du théorème de Pythagore

J'approfondis
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Réciproque du théorème du Pythagore
Dans un triangle \text{ABC}, si l'égalité \text{AB}^2 = \text{CA}^2 + \text{CB}^2  est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.

Exercices n° 
31 à 38
 p. 356-357
Remarque :  Si cette égalité n'est pas vérifiée dans le cas où \text{[AB]} est le plus grand côté, alors le triangle n'est pas rectangle en \text{C}.

 

J'applique

Consigne :
Le triangle \text{SET} tel que \text{ET = 13~cm}, \text{SE = 5~cm} et \text{ST = 12~cm} est-il rectangle ?

Correction :
On sait que \text{[ET]} est le plus grand côté et que \text{ET}^2 = 13^2 = 169.
\text{SE}^2 + \text{ST}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
On constate que \text{ET}^2 = \text{SE}^2 + \text{ST}^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \text{SET} est rectangle en \text{S}.
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