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A. Agrandissements et réductions

1. Propriétés des agrandissements - réductions

  Propriétés
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport kk > 0 :
  • Les longueurs sont multipliées par kk
  • Les angles sont conservés ; 
  • La perpendicularité et le parallélisme sont conservés.
Remarques : 
  • Si kk > 1, alors on a un agrandissement. 
  • Si 0 < kk < 1, alors on a une réduction.

  J'applique
Consigne :
Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD. On sait que AB = 14 cm et EB = 7 cm. 
Quel est le rapport de réduction ?
Correction : Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD, donc leurs longueurs sont proportionnelles. On note kk le coefficient de proportionnalité :
k=EBAB=714=0,5k = \dfrac{\text{EB}}{\text{AB}} = \dfrac{7}{14} = 0\text{,}5
Le losange EBGF est une réduction de rapport 0,5 du losange ABCD.

Consigne : CC est un cône de rayon 2 cm. Après une réduction de rapport 0,75, on obtient un cône CC'. Quel est le rayon de la base de CC' ?
Correction : Soit rr le rayon de la base du cône CC et rr' celui de la base de CC'.
CC' est une réduction de rapport 0,75 de CC donc :
r=r×0,75r' = r \times 0\text{,}75
r=2×0,75=1,5r' = 2 \times 0\text{,}75 = 1\text{,}5
Le rayon du cône CC' mesure 1,5 cm.

 

2. Effets sur les périmètres et aires

  Propriétés
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport kk > 0 :
  • La longueur d’un segment est multipliée par kk
  • L’aire d’une surface est multipliée par k2k^2
  • Le volume d’un solide est multiplié par k3k^3.

  J'applique
Consigne : 
PP est une pyramide de hauteur 4 cm et de volume 20 cm3. Par une réduction, on obtient une pyramide PP' de hauteur 3 cm. Quel est son volume ?
Correction : 
  • Calcul du rapport de réduction : 
    k=hauteur de Phauteur de P=34=0,75k = \dfrac{\text{hauteur de }P'}{\text{hauteur de }P} = \dfrac{3}{4} = 0\text{,}75
  • Calcul du volume de PP' :
    20×k3=20×0,753=8,437520 \times k^3 = 20 \times 0\text{,}75^3 = 8\text{,}4375
    La pyramide PP' a un volume d'environ 8,44 cm3.

Consigne :
a.
 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculez son aire.
b. IJK est un agrandissement du triangle ABC de rapport 3. Quelle est son aire ?
Correction : 
a.
AireABC=AB×AC2=3×42=6\text{Aire}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6
Donc ABC a une aire de 6 cm2.
b. Les aires sont multipliées par 32.
AireIJK=AireABC×32=6×32=54\text{Aire}_{\text{IJK}} = \text{Aire}_{\text{ABC}} \times 3^2 = 6 \times 3^2 = 54
Donc IJK a une aire de 54 cm.

B. Énoncé du théorème de Thalès

1. Énoncé du théorème

  Théorème
(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors
AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}

Remarque : Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. Les quotients définis par le théorème sont égaux au coefficient de proportionnalité : k=AMAB=ANAB=MNBCk = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}. Chaque triangle est donc un agrandissement ou une réduction de lʼautre de rapport kk.

  J'applique
Consigne : 
Dans les deux configurations ci-contre, les droites colorées sont parallèles. Quels sont les quotients égaux ?
a.  b.
Correction : 
a.
IAIJ=IBIK=ABJK\dfrac{\text{IA}}{\text{IJ}} = \dfrac{\text{IB}}{\text{IK}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{JK}}
b. GFGN=GEGM=EFMN\dfrac{\text{GF}}{\text{GN}} = \dfrac{\text{GE}}{\text{GM}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{MN}}

 

2. Utilisation du théorème de Thalès

  Méthode
Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit dʼabord les quotients égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.

On peut utiliser un tableau de proportionnalité ou directement lʼégalité des produits en croix.

  J'applique
Consigne : 
Les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A. Les droites (BD) et (EC) sont parallèles. Calculez AE et BD. (Les unités sont en cm.)
Correction : 
  • On identifie la configuration de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A et les droites (BD) et (EC) sont parallèles.
  • On applique le théorème, d’après le théorème de Thalès ADAE=ABAC=BDEC\dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BD}}{\text{EC}}.
  • On remplace par les longueurs connues : 2,8AE=3,510,5=BD15\dfrac{2\text{,}8}{\text{AE}} = \dfrac{3\text{,}5}{10\text{,}5} = \dfrac{\text{BD}}{15}.
  • On écrit lʼégalité des produits en croix : 3,5×AE=10,5×2,83\text{,}5 \times \text{AE} = 10\text{,}5 \times 2\text{,}8 d'où AE=10,5×2,83,5=8,4\text{AE} = \dfrac{10\text{,}5 \times 2\text{,}8}{3\text{,}5} = 8\text{,}4.
    Donc [AE] mesure 8,4 cm.
    De même, 10,5×BD=3,5×1510\text{,}5 \times \text{BD} = 3\text{,}5 \times 15 donc BD=15×3,510,5=5\text{BD} = \dfrac{15 \times 3\text{,}5}{10\text{,}5} = 5. Donc [BD] mesure 5 cm.

C. La réciproque du théorème de Thalès

1. Énoncé de la réciproque

  Réciproque du théorème
Les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre.
Si AMAB=ANAC\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}} alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

2. Utilisation de la réciproque

  Méthode
Les droites (MN) et (AB) sont-elles parallèles ?
  • On étudie la configuration. Les points O, M, A et O, N, B sont alignés dans le même ordre. 
  • On calcule séparément les quotients OMOA\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}  et ONOB\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}.
  • On compare. 
    • Si OMOA=ONOB\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}, on utilise la réciproque du théorème de Thalès et on conclut que les droites (AB) et (MN) sont parallèles. 
    • Si OMOA\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}\neONOB\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}, l’égalité de Thalès n’est pas vérifiée. On conclut que les droites (AB) et (MN) ne sont pas parallèles.
  J'applique
Consigne : 
Les droites (AN) et (BM) sont sécantes en I. On a IA = 6 cm, IB = 8 cm, IM = 6 cm et IN = 4,5 cm.
Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ?
Correction : Les points A, I, N et B, I, M sont alignés dans le même ordre.
INIA=4,56=34\dfrac{\text{IN}}{\text{IA}} = \dfrac{4\text{,}5}{6} = \dfrac{3}{4} et IMIB=68=34\dfrac{\text{IM}}{\text{IB}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} donc INIA=IMIB\dfrac{\text{IN}}{\text{IA}} = \dfrac{\text{IM}}{\text{IB}}
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.
A. Agrandissements et réductions
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A. Agrandissements et réductions

1

2. Effets sur les périmètres et aires

  Propriétés
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport kk > 0 :
  • La longueur d’un segment est multipliée par kk
  • L’aire d’une surface est multipliée par k2k^2
  • Le volume d’un solide est multiplié par k3k^3.

  J'applique
Consigne : 
PP est une pyramide de hauteur 4 cm et de volume 20 cm3. Par une réduction, on obtient une pyramide PP' de hauteur 3 cm. Quel est son volume ?
Correction : 
  • Calcul du rapport de réduction : 
    k=hauteur de Phauteur de P=34=0,75k = \dfrac{\text{hauteur de }P'}{\text{hauteur de }P} = \dfrac{3}{4} = 0\text{,}75
  • Calcul du volume de PP' :
    20×k3=20×0,753=8,437520 \times k^3 = 20 \times 0\text{,}75^3 = 8\text{,}4375
    La pyramide PP' a un volume d'environ 8,44 cm3.

Consigne :
a.
 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculez son aire.
b. IJK est un agrandissement du triangle ABC de rapport 3. Quelle est son aire ?
Correction : 
a.
AireABC=AB×AC2=3×42=6\text{Aire}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6
Donc ABC a une aire de 6 cm2.
b. Les aires sont multipliées par 32.
AireIJK=AireABC×32=6×32=54\text{Aire}_{\text{IJK}} = \text{Aire}_{\text{ABC}} \times 3^2 = 6 \times 3^2 = 54
Donc IJK a une aire de 54 cm.
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