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1. Propriétés des agrandissements - réductions

  Propriétés
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ > 0 :

• Les longueurs sont multipliées par $k$ ; 
• Les angles sont conservés ; 
• La perpendicularité et le parallélisme sont conservés.

Remarques : 

• Si $k$ > 1, alors on a un agrandissement. 
• Si 0 < $k$ < 1, alors on a une réduction.

  J'applique
Consigne : Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD. On sait que AB = 14 cm et EB = 7 cm. 
Quel est le rapport de réduction ?

Correction : Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD, donc leurs longueurs sont proportionnelles. On note $k$ le coefficient de proportionnalité :
$k = \dfrac{\text{EB}}{\text{AB}} = \dfrac{7}{14} = 0\text{,}5$
Le losange EBGF est une réduction de rapport 0,5 du losange ABCD.

Consigne : $C$ est un cône de rayon 2 cm. Après une réduction de rapport 0,75, on obtient un cône $C'$. Quel est le rayon de la base de $C'$ ?
Correction : Soit $r$ le rayon de la base du cône $C$ et $r'$ celui de la base de $C'$.
$C'$ est une réduction de rapport 0,75 de $C$ donc :
$r' = r \times 0\text{,}75$
$r' = 2 \times 0\text{,}75 = 1\text{,}5$
Le rayon du cône $C'$ mesure 1,5 cm.

2. Effets sur les périmètres et aires

  Propriétés
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k$ > 0 :

• La longueur d’un segment est multipliée par $k$ ; 
• L’aire d’une surface est multipliée par $k^2$ ; 
• Le volume d’un solide est multiplié par $k^3$.

  J'applique
Consigne : $P$ est une pyramide de hauteur 4 cm et de volume 20 cm³. Par une réduction, on obtient une pyramide $P'$ de hauteur 3 cm. Quel est son volume ?
Correction : 

• Calcul du rapport de réduction : 
  $k = \dfrac{\text{hauteur de }P'}{\text{hauteur de }P} = \dfrac{3}{4} = 0\text{,}75$
• Calcul du volume de $P'$ :
  $20 \times k^3 = 20 \times 0\text{,}75^3 = 8\text{,}4375$
  La pyramide $P'$ a un volume d'environ 8,44 cm³.

Consigne :
a. ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculez son aire.
b. IJK est un agrandissement du triangle ABC de rapport 3. Quelle est son aire ?
Correction : 
a. $\text{Aire}_{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$
Donc ABC a une aire de 6 cm².
b. Les aires sont multipliées par 3².
$\text{Aire}_{\text{IJK}} = \text{Aire}_{\text{ABC}} \times 3^2 = 6 \times 3^2 = 54$
Donc IJK a une aire de 54 cm.

1. Énoncé du théorème

  Théorème
(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors
$\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$

Remarque : Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. Les quotients définis par le théorème sont égaux au coefficient de proportionnalité : $k = \dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{MN}}{\text{BC}}$. Chaque triangle est donc un agrandissement ou une réduction de lʼautre de rapport $k$.

  J'applique
Consigne : Dans les deux configurations ci-contre, les droites colorées sont parallèles. Quels sont les quotients égaux ?
a.  b.
Correction : 
a. $\dfrac{\text{IA}}{\text{IJ}} = \dfrac{\text{IB}}{\text{IK}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{JK}}$
b. $\dfrac{\text{GF}}{\text{GN}} = \dfrac{\text{GE}}{\text{GM}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{MN}}$

 

2. Utilisation du théorème de Thalès

  Méthode
Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit dʼabord les quotients égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.

On peut utiliser un tableau de proportionnalité ou directement lʼégalité des produits en croix.

  J'applique
Consigne : Les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A. Les droites (BD) et (EC) sont parallèles. Calculez AE et BD. (Les unités sont en cm.) Correction : 

• On identifie la configuration de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A et les droites (BD) et (EC) sont parallèles.
• On applique le théorème, d’après le théorème de Thalès $\dfrac{\text{AD}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{\text{BD}}{\text{EC}}$.
• On remplace par les longueurs connues : $\dfrac{2\text{,}8}{\text{AE}} = \dfrac{3\text{,}5}{10\text{,}5} = \dfrac{\text{BD}}{15}$.
• On écrit lʼégalité des produits en croix : $3\text{,}5 \times \text{AE} = 10\text{,}5 \times 2\text{,}8$ d'où $\text{AE} = \dfrac{10\text{,}5 \times 2\text{,}8}{3\text{,}5} = 8\text{,}4$.
  Donc [AE] mesure 8,4 cm.
  De même, $10\text{,}5 \times \text{BD} = 3\text{,}5 \times 15$ donc $\text{BD} = \dfrac{15 \times 3\text{,}5}{10\text{,}5} = 5$. Donc [BD] mesure 5 cm.

1. Énoncé de la réciproque

  Réciproque du théorème
Les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre.
Si $\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}$ alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

2. Utilisation de la réciproque

  Méthode
Les droites (MN) et (AB) sont-elles parallèles ?

• On étudie la configuration. Les points O, M, A et O, N, B sont alignés dans le même ordre. 
• On calcule séparément les quotients $\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}$  et $\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}$.
• On compare. 
• Si $\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}=\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}$, on utilise la réciproque du théorème de Thalès et on conclut que les droites (AB) et (MN) sont parallèles. 
• Si $\dfrac{\text{OM}}{\text{OA}}$$\ne$$\dfrac{\text{ON}}{\text{OB}}$, l’égalité de Thalès n’est pas vérifiée. On conclut que les droites (AB) et (MN) ne sont pas parallèles.

  J'applique
Consigne : Les droites (AN) et (BM) sont sécantes en I. On a IA = 6 cm, IB = 8 cm, IM = 6 cm et IN = 4,5 cm.
Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ?

Correction : Les points A, I, N et B, I, M sont alignés dans le même ordre.
$\dfrac{\text{IN}}{\text{IA}} = \dfrac{4\text{,}5}{6} = \dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{\text{IM}}{\text{IB}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ donc $\dfrac{\text{IN}}{\text{IA}} = \dfrac{\text{IM}}{\text{IB}}$
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.