Remarques :

• Si $k$ > 1, alors on a un agrandissement. 
• Si 0 \lt $k$ \lt 1, alors on a une réduction.

J'applique

Correction :
Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD, donc leurs longueurs sont proportionnelles. On note $k$ le coefficient de proportionnalité :
$k=\frac{\text{EB}}{\text{AB}}=\frac{7}{14}=0\text{,}5$
Le losange EBGF est une réduction de rapport 0,5 du losange ABCD.


Consigne :
$C$ est un cône de rayon 2 cm. Après une réduction de rapport 0,75, on obtient un cône $C^{\prime }$. Quel est le rayon de la base de $C^{\prime }$ ?

Correction :
Soit $r$ le rayon de la base du cône $C$ et $r^{\prime }$ celui de la base de $C^{\prime }$.
$C^{\prime }$ est une réduction de rapport 0,75 de $C$ donc :
$r^{\prime }=r\times 0\text{,}75$
$r^{\prime }=2\times 0\text{,}75=1\text{,}5$
Le rayon du cône $C^{\prime }$ mesure 1,5 cm.

Consigne :
$P$ est une pyramide de hauteur 4 cm et de volume 20 cm³. Par une réduction, on obtient une pyramide $P^{\prime }$ de hauteur 3 cm. Quel est son volume ?

Correction :

• Calcul du rapport de réduction : 
  $k=\frac{\text{hauteur de }{P}^{\prime }}{\text{hauteur de }P}=\frac{3}{4}=0\text{,}75$


• Calcul du volume de $P^{\prime }$ :
  $20\times k^3=20\times 0\text{,}75^3=8\text{,}4375$
  La pyramide $P^{\prime }$ a un volume d'environ 8,44 cm³.

Consigne :
a.  ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculez son aire.
b. IJK est un agrandissement du triangle ABC de rapport 3. Quelle est son aire ?

Correction :
  a. ${\text{Aire}}_{\text{ABC}}=\frac{\text{AB}\times \text{AC}}{2}=\frac{3\times 4}{2}=6$
Donc ABC a une aire de 6 cm².
b. Les aires sont multipliées par 3².
${\text{Aire}}_{\text{IJK}}={\text{Aire}}_{\text{ABC}}\times 3^2=6\times 3^2=54$
Donc IJK a une aire de 54 cm².

Remarque : Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. Les quotients définis par le théorème sont égaux au coefficient de proportionnalité : $k=\frac{\text{AM}}{\text{AB}}=\frac{\text{AN}}{\text{AB}}=\frac{\text{MN}}{\text{BC}}$. Chaque triangle est donc un agrandissement ou une réduction de lʼautre de rapport $k$.

  

J'applique

Consigne :
Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles. Quels sont les quotients égaux ?
Correction :
a. $\frac{\text{IA}}{\text{IJ}}=\frac{\text{IB}}{\text{IK}}=\frac{\text{AB}}{\text{JK}}$

b. $\frac{\text{GF}}{\text{GN}}=\frac{\text{GE}}{\text{GM}}=\frac{\text{EF}}{\text{MN}}$

Correction :

• On identifie la configuration de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A et les droites (BD) et (EC) sont parallèles.


• On applique le théorème, d'après le théorème de Thalès $\frac{\text{AD}}{\text{AE}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{\text{BD}}{\text{EC}}$.


• On remplace par les longueurs connues : $\frac{2\text{,}8}{\text{AE}}=\frac{3\text{,}5}{10\text{,}5}=\frac{\text{BD}}{15}$.
• On écrit lʼégalité des produits en croix : $3\text{,}5\times \text{AE}=10\text{,}5\times 2\text{,}8$ d'où $\text{AE}=\frac{10\text{,}5\times 2\text{,}8}{3\text{,}5}=8\text{,}4$.
  Donc [AE] mesure 8,4 cm.
  De même, $10\text{,}5\times \text{BD}=3\text{,}5\times 15$ donc $\text{BD}=\frac{15\times 3\text{,}5}{10\text{,}5}=5$. Donc [BD] mesure 5 cm.

Consigne :
Les droites (AN) et (BM) sont sécantes en I. On a IA = 6 cm, IB = 8 cm, IM = 6 cm et IN = 4,5 cm.
Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ?

Correction :
Les points A, I, N et B, I, M sont alignés dans le même ordre.

$\frac{\text{IN}}{\text{IA}}=\frac{4\text{,}5}{6}=\frac{3}{4}$ et $\frac{\text{IM}}{\text{IB}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ donc $\frac{\text{IN}}{\text{IA}}=\frac{\text{IM}}{\text{IB}}$

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.