Problèmes résolus

Exercice 21 : Voici ce que lʼon sait de cinq villes localisées aux points D, E, F, G et H.

DF = 6 km, DH = 11 km, DE = 8 km et GE = 4 km. D, E et H sont alignées dans cet ordre. F, E et G sont alignées dans cet ordre. (DF) est parallèle à (GH).

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Calculez la distance séparant F de E (arrondie au mètre près), puis celle entre H et G.

Quand il faut calculer des longueurs dans un énoncé qui met en jeu des droites parallèles et des points alignés, il peut être intéressant de faire un schéma pour déterminer s’il est possible d’appliquer le théorème de Thalès.

• On fait un schéma :
  
• Les droites (DF) et (GH) sont parallèles donc, d’après le théorème de Thalès :
  $\frac{\text{EH}}{\text{DE}}=\frac{\text{EG}}{\text{EF}}=\frac{\text{GH}}{\text{DF}}$.
  Donc : $\frac{3}{8}=\frac{4}{\text{EF}}=\frac{\text{GH}}{6}$.

• Calcul de EF :
  $\frac{3}{8}=\frac{4}{\text{EF}}$ donc $\text{EF}=4\times 8÷3\approx 10\text{,}667$
  F se trouve à environ 10,667 km de E.
• Calcul de GH :
  $\frac{3}{8}=\frac{\text{GH}}{6}$ donc $\text{GH}=6\times 3÷8=2\text{,}25$
  H se trouve à 2,25 km de G.

Quand il est demandé dans un énoncé de calculer la longueur d’un côté d’un triangle dont on connait une réduction, on sait que leurs côtés sont proportionnels deux à deux. On peut alors tracer un tableau de proportionnalité et en déduire la longueur du côté recherché.

Les droites (DF) et (GH) sont parallèles et les droites (FG) et (DH) sont sécantes en E.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès. Les longueurs proportionelles des triangles EGH et EFD sont :

• On passe des valeurs du triangle EGH à celles du triangle EFD en divisant par 0,375. 
• On le vérifie en calculant le coefficient de proportionnalité : $3÷8=0\text{,}375$.
• Donc EF $=4÷0\text{,}375\approx 10\text{,}667$
  F se trouve à environ 10,667 km de E.
• GH $=6\times 0\text{,}375=2\text{,}25$
  H se trouve à 2,25 km de G.

Exercice 22 : Appareil photo.

Les plus anciens modèles d’appareils photos ne sont qu’une boite au fond de laquelle une plaque argentique est frappée par la lumière passant par un simple trou.La boite est profonde de 15 cm. L’homme se tient à 5,4 m de l’appareil.

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Quelle est la taille du personnage pris en photo ?