Exercice 35 : Raphaël et Tarek rénovent un vieux grenier.
Ils veulent savoir si deux poutres superposées notées [DE] et [BC] sont bien parallèles entre elles et par rapport au sol. Mais aucun des deux n’a pensé à amener de niveau. Heureusement, à deux, ils ont de bons souvenirs de leur programme de mathématiques de 3e. Ils réalisent le schéma de la situation.
La toiture est un triangle AFG isocèle en A. [AH] est la hauteur issue de A relative à [FG].
A, B, D, F et A, C, E, G sont alignés dans cet ordre.
B est le milieu de [AD].
Les droites (AH), (CD) et (BE) se coupent toutes trois en I.
Dites s'ils ont raison ou tort : « On peut représenter notre problème comme une configuration de Thalès ; il y en a même quatre sur la figure », s’écrie Tarek après avoir dessiné la figure ci-contre. Tarek a-t-il raison ?
Dites s'ils ont raison ou tort : « Il nous faut d’abord savoir si (B
C), (D
E) et (FG) sont parallèles, et il n’y a que trois configurations potentielles », corrige Raphaël. A-t-il raison ?
Dites s'ils ont raison ou tort : « Certes, mais il nous suffit de deux égalités de rapports pour savoir si les poutres [BC], [DE] et le sol [FG] sont parallèles entre eux », réplique Tarek. Est-ce vrai ?
Dites s'ils ont raison ou tort : « Par exemple, si
DEBC=IDCI, on aura déjà montré que [BC] et [DE] sont parallèles », propose Raphaël. Raphaël a-t-il raison ?
Dites s'ils ont raison ou tort : « Non, il faut vérifier si
IEBI=IDCI ou encore si
ADAB=AEAC pour prouver que [BC] et [DE] sont parallèles », rectifie Tarek. Qu'en pensez-vous ?
On donne AF = AG = 10 cm, AD = 6 cm et EG = 4 cm. Qu’en déduisez-vous pour [DE] et [FG] ? Qu’en déduisez-vous pour le triangle ADE ?
Dans le triangle ADE, quelle est la nature de la droite (AI) ? La droite (EI) ? Montrez que (DI) est la médiane de ADE relative à [AE]. Que pouvez- vous en déduire pour le point C ?
Concluez quant au problème posé par Tarek et Raphaël.