Madame Cheez souhaite prendre une photo originale de la tour Eiffel. Elle souhaite en fait que sa main semble toucher le sommet de la tour sur la photo. Sa main est à 1,5 m du sol alors que la tour Eiffel mesure 324 m de haut pour 124,9 m de large. Pour cela, son mari doit se placer à 2 m d'elle pour prendre la photo en se positionnant au ras du sol.

1. Déterminez, en justifiant et en détaillant les calculs, la distance au sol séparant la main de Madame Cheez et la tour Eiffel.

Un parfumeur conçoit un nouveau flacon pour sa marque. Celui-ci a la forme de la pyramide SABC à base triangulaire de hauteur [AS].
On sait que :

• ABC est un triangle rectangle et isocèle en A ;
• AB = 7,5 cm et AS = 15 cm.

1. Calculez le volume de la pyramide SABC (arrondi au cm${}^3$ près).

2. Pour fabriquer son bouchon SS'MN, les concepteurs ont coupé cette pyramide par un plan $P$ parallèle à sa base et passant par le point S' tel que SS' = 6 cm.
a. Quelle est la nature de la section plane S'MN obtenue ?

b. Calculez la longueur S'N.

3. Calculez le volume maximal de parfum en cm${}^3$ que peut contenir ce flacon en le remplissant jusquʼà la base du bouchon.

1. Construisez un triangle ABC quelconque et les points (D, E, F, G, H, I, J) comme suit.

• Sur [AB], placez un point D.
• Le point E apartenant à [BC] tel que (DE) // (AC).
• Le point F appartenant à [AC] tel que (EF) // (AB).
• Le point G appartenant à [AB] tel que (FG) // (BC).
• Le point H appartenant à [BC] tel que (GH) // (AC).
• Le point I appartenant à [AC] tel que (HI) // (AB).
• Le point J appartenant à [AB] tel que (IJ) // (BC).

2. Quelle conjecture semble-t-il raisonnable de faire sur D et J ?

3. Calculez AJ à lʼaide de AB, de AC et de AI.

4. Calculez AJ à lʼaide de AB, AC et de CI.

5. Calculez AJ à lʼaide de AC, de CB et de CH.

6. Déduisez-en que $\frac{\text{AJ}}{\text{BH}}=\frac{\text{AB}}{\text{CB}}$.

7. Grâce à la réponse précédente, quelle conjecture peut-on faire entre les longueurs AJ, DB, AI et CI ?

Agnès et Patrick habitent à Châteauneuf-les-Martigues (noté par le point C). Patrick prétend que la distance à vol dʼoiseau entre Châteauneuf et lʼaéroport (A) est plus grande que celle entre Châteauneuf et Rove (R). Agnès nʼest pas dʼaccord.
Données :

• (MG) // (CE) et (MR) // (AE) ;
• AM = 3 km ; MG = 4,8 km ; CE = 13 km ; AE = 12,2 km et MR = 8 km.

1. Calculez CM.

2. Calculez CR.

3. Concluez.

1. Construisez la figure en grandeur réelle.

2. Quelle est la nature du triangle BAD ?

3. Qu'en déduisez-vous pour ABCD ? Pour le triangle FAG ? Pour le triangle BFC ?

4. Calculez FB puis FC, FA, GA et GF. En déduire GC.

Pour filmer les étapes d'une course cycliste, les réalisateurs de télévision utilisent des caméras installées sur deux motos et d'autres dans deux hélicoptères. Un avion relais, plus haut dans le ciel, recueille les images et joue le rôle d'une antenne relai. On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale. Le schéma illustre cette situation.

L'avion relais (point A), le premier hélicoptère (point L) et la première moto (point N) sont alignés.De la même manière, l'avion relais (point A), le deuxième hélicoptère (point H) et la deuxième moto (point M) sont également alignés.
On sait que AM = AN = 1 km ; HL = 270 m et AH = AL = 720 m.

1. Relevez la phrase de l'énoncé qui permet d'affirmer que les droites (LH) et (MN) sont parallèles.

2. Calculez la distance MN entre les deux motos.

Le triangle JAB est rectangle en A.

• Les droites (MU) et (AB) sont parallèles.
• Les points A, M et J sont alignés.
• Les points C, U et J sont alignés.
• Les points A, C et B sont alignés.
• AB = 7,5 m ; MU = 3 m ; JM = 10 m ; AJ = 18 m.

1. Calculez la longueur JB.

2. Montrez que la longueur AC est égale à 5,4 m.

3. Calculez l'aire du triangle JCB.

Ils veulent savoir si deux poutres superposées notées [DE] et [BC] sont bien parallèles entre elles et par rapport au sol. Mais aucun des deux n'a pensé à amener de niveau. Heureusement, à deux, ils ont de bons souvenirs de leur programme de mathématiques de 3e. Ils réalisent le schéma de la situation.

• La toiture est un triangle AFG isocèle en A. [AH] est la hauteur issue de A relative à [FG].
• A, B, D, F et A, C, E, G sont alignés dans cet ordre.
• B est le milieu de [AD].
• Les droites (AH), (CD) et (BE) se coupent toutes trois en I.

1. Pour chacune de leurs affirmations, dites s'ils ont raison ou tort.
a. « On peut représenter notre problème comme une configuration de Thalès ; il y en a même quatre sur la figure », s'écrie Tarek après avoir dessiné la figure précédente. Tarek a-t-il raison ?

b. « Il nous faut d'abord savoir si (BC), (DE) et (FG) sont parallèles, et il n'y a que trois configurations potentielles », corrige Raphaël. A-t-il raison ?

c. « Certes, mais il nous suffit de deux égalités de rapports pour savoir si les poutres [BC], [DE] et le sol [FG] sont parallèles entre eux », réplique Tarek. Est-ce vrai ?

d. « Par exemple, si $\frac{\text{BC}}{\text{DE}}=\frac{\text{CI}}{\text{ID}}$, on aura déjà montré que [BC] et [DE] sont parallèles », propose Raphaël. Raphaël a-t-il raison ?

e. « Non, il faut vérifier si $\frac{\text{BI}}{\text{IE}}=\frac{\text{CI}}{\text{ID}}$ ou encore si $\frac{\text{AB}}{\text{AD}}=\frac{\text{AC}}{\text{AE}}$ pour prouver que [BC] et [DE] sont parallèles », rectifie Tarek. Qu'en pensez-vous ?

Le drapeau du Royaume-Uni est surnommé « Union Jack ». Il rassemble les drapeaux de l'Angleterre, du Pays de Galles, de l'Écosse et de l'Irlande du Nord.
On le représente sous la forme d'un rectangle ABCD, de ses diagonales [AC] et [BD], et des médiatrices [EF] et [GH] de sa longueur et sa largeur.

1. Faites un schéma de l'Union Jack. Combien de configurations de Thalès sont représentées sur ce drapeau ?

Dans un verre à pied ayant la forme d'un cône de révolution dans sa partie supérieure, on verse du sirop de menthe jusqu'à la hauteur IR, puis de l'eau jusqu'à la hauteur IF.
Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G. On donne RS = 3 cm, FG = 7,5 cm et IF = 8 cm.

1. Pour démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles, quelle propriété faut-il utiliser?

2. Calculez IR.

3. Quelles sont les proportions de sirop de menthe et d'eau dans le verre ? Quelle quantité de sirop faut-il pour faire 15 litres de boisson ?

En se retournant lors d'une marche arrière, le conducteur d'une voiture voit le sol à 6 m derrière sa voiture. Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur ne voit pas lorsqu'il regarde en arrière.
Données : (AE) // (BD) ; AE = 1,50 m ; BD = 1,10 m ; EC = 6 m.

1. Calculez DC.

2. Déduisez-en que ED = 1,60 m.

3. Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir ? Expliquez.

Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. On admet qu'un tas de sel a toujours la forme d'un cône de révolution.
Pascal souhaite déterminer la hauteur d'un cône de sel de diamètre 5 m. Il possède un bâton de longueur 1 m. Il effectue des mesures et réalise les deux schémas suivants.

1. a. Démontrez que la hauteur de ce cône de sel est égale à 2,50 m.

b. Déterminez le volume en ${\text{m}}^3$ de sel contenu dans ce cône. Arrondissez le résultat au ${\text{m}}^3$ près.

2. Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la forme de cônes de volume $1000{\text{ m}}^3$. Par mesure de sécurité, la hauteur d'un tel cône de sel ne doit pas dépasser 6 m. Quel rayon faut-il prévoir au minimum pour la base ? Arrondissez le résultat au dm près.

Sur la figure :

• les points K, A, F, C sont alignés ;
• les points G, A, E, B sont alignés ;
• (EF) et (BC) sont parallèles ;
• AB = 5 et AC = 6,5 ;
• AE = 3 et EF = 4,8 ;
• AK = 2,6 et AG = 2.

Thalès de Millet (624 av. J.-C. - 547 av. J.-C.) se rendit célèbre en donnant la hauteur de la plus grande pyramide d'Égypte. KEOP est un carré de centre H et de côté 230 m. [SH] est la hauteur de cette pyramide. I est le milieu de [OE].

1. Calculez HI.

2. On se place à l'extérieur de la pyramide et on plante verticalement un bâton de 2 m représenté par le segment [AB] de façon à ce que A, I et H soient alignés. On place le point M, tel que les points M, B, S et M, A, H soient alignés. On sait que MA = 2,4 m et MH = 165 m. Calculez SH.

3. Calculez le volume de cette pyramide. Arrondissez le résultat au ${\text{ m}}^3$.

Une boite de chocolats a la forme dʼune pyramide tronquée. Le rectangle ABCD de centre H et le rectangle A'B'C'D' de centre H' sont dans des plans parallèles.
On donne : AB = 6 cm ; BC = 18 cm ; HH' = 8 cm ; SH = 24 cm.

1. Calculez le volume $V_1$ de la pyramide SABCD de hauteur SH.

2. Quel est le coefficient $k$ de la réduction qui permet de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SA'B'C'D' de hauteur SH' ?

3. Déduisez en le volume $V_2$ de la pyramide SA'B'C'D' puis le volume $V_3$ de la boite de chocolats.