Chapitre 4
Cours 2
Probabilités conditionnelles
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A
Rappels de probabilités
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Définitions
- On dit qu'une expérience est aléatoire lorsqu'on peut la reproduire dans les mêmes conditions et que le résultat, appelé issue, est imprévisible.
- L'ensemble des issues possibles est appelé univers de l'expérience aléatoire.
- On appelle événement une réunion d'issues.
Notation
L'univers d'une expérience aléatoire est souvent noté \Omega.
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Exemple
On choisit une personne au hasard parmi une liste de personnes et on note sa date d'anniversaire (jour et mois). L'univers de cette expérience est l'ensemble des 366 jours d'une année bissextile. Un événement serait, par exemple, « La personne choisie est née en août. », qui rassemble 31 issues : les jours du 1er au 31 août.
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Définition
Lors d'une expérience aléatoire sur un univers fini dont les issues sont équiprobables, on appelle probabilité d'un événement la proportion d'issues qui réalisent cet événement.
Notation
On note \text{P(A)} la probabilité d'un événement \text{A}.
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Exemple
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. La probabilité de l'événement « Tirer un as. » est la proportion d'as dans le jeu. Il y en a 4 sur 52 cartes, soit \frac{4}{52}, c'est‑à‑dire \frac{1}{13}.
Remarque
- La réunion sert souvent à traduire la notion « au moins ».
- Schématiquement :
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Propriété
Si \text{A} et \text{B} sont deux événements d'une expérience aléatoire, la probabilité de leur réunion vérifie : \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A})+\mathrm{P}(\mathrm{B})-\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}).
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Application et méthode - 3
Calculer des probabilités d'événements
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Un club de sport propose deux options en plus de l'abonnement à un cours collectif : l'accès aux salles de musculation et un suivi par un coach. Les 225 inscrits à ce cours sont répartis selon le tableau ci‑dessous.
On choisit au hasard un client.
1. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi les deux options à la fois ?
2. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi au moins une des deux options ? Arrondir à 0,1 % près.
On choisit au hasard un client.
1. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi les deux options à la fois ?
2. Quelle est la probabilité qu'il ait choisi au moins une des deux options ? Arrondir à 0,1 % près.
| Avec coach : \bf{C} | Sans coach : \overline{\bf{C}} | |
|---|---|---|
| Accès aux salles \bf{S} | 58 | 77 |
| Sans accès aux salles \overline{\bf{S}} | 38 | 52 |
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Solution
On compte au total 225 inscrits.
1. \mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{C})=\frac{58}{225} \approx 0,258. Il y a 25,8 % de chances que le client ait choisi les deux options.
2. \mathrm{P}(\mathrm{S} \cup \mathrm{C})=\frac{58+77+38}{225} \approx 0,769. Il y a 76,9 % de chances que le client ait choisi au moins l'une des deux options.
Pour s'entraîner : exercices et
1. \mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{C})=\frac{58}{225} \approx 0,258. Il y a 25,8 % de chances que le client ait choisi les deux options.
2. \mathrm{P}(\mathrm{S} \cup \mathrm{C})=\frac{58+77+38}{225} \approx 0,769. Il y a 76,9 % de chances que le client ait choisi au moins l'une des deux options.
Pour s'entraîner : exercices et
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Dans chaque cas, on détermine le nombre de clients
ayant la caractéristique demandée, puis on le divise par
le nombre total de clients.
Si on connaît les totaux de chaque ligne et de chaque colonne, on peut aussi utiliser la formule \mathrm{P}(\mathrm{S} \cup \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{S})+\mathrm{P}(\mathrm{C})-\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{C}).
Si on connaît les totaux de chaque ligne et de chaque colonne, on peut aussi utiliser la formule \mathrm{P}(\mathrm{S} \cup \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{S})+\mathrm{P}(\mathrm{C})-\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{C}).
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B
Probabilités conditionnelles
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Définition
Soient \text{A} et \text{B} deux événements d'une même expérience aléatoire. On appelle probabilité conditionnelle de \bf{A} relativement à \bf{B} la probabilité que \text{A} soit réalisé quand on sait que \text{B} est réalisé.
Notation
On note \text{P}_{\text{B}}(\text{A}) la probabilité conditionnelle de \text{A} relativement à \text{B}. On dit « probabilité de \text{A} sachant \text{B} ».
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Propriété
On considère l'ensemble \text{E} des issues d'une expérience aléatoire. On suppose que \text{E} est fini et que les issues sont équiprobables.
Soient \text{A} et \text{B} deux événements. On suppose que \mathrm{P}(\mathrm{B}) \neq 0.
Dans ces conditions, la probabilité conditionnelle de \text{A} relativement à \text{B} est :
Soient \text{A} et \text{B} deux événements. On suppose que \mathrm{P}(\mathrm{B}) \neq 0.
Dans ces conditions, la probabilité conditionnelle de \text{A} relativement à \text{B} est :
\text{P}_{\text{B}}(\text{A})=\frac{\text { Nombre d'issues réalisant à la fois } \text{A} \text { et } \text{B}}{\text { Nombre d'issues réalisant } \text{B}}=\frac{\operatorname{Card}(\text{A} \cap \text{B})}{\operatorname{Card}(\text{B})} .
Notation
Le nombre d'éléments d'un ensemble \text{E} est
noté \text{Card(E)}.
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Exemple
On choisit au hasard une destination parmi celles proposées par une agence de
voyages, réparties selon le continent et le type comme suit.
On note respectivement \text{E} et \text{U} les événements « La destination est européenne. » et « Le voyage est à destination d'une zone urbaine. ». La probabilité de voyager en zone urbaine sachant qu'on a choisi une destination en Europe est \text{P}_{\text{E}}(\text{U})=\frac{20}{48}=\frac{5}{12} \approx 0,42.
| Europe | Amérique du Nord | Asie | Amérique du Sud | |
|---|---|---|---|---|
| Zone urbaine | 20 | 15 | 19 | 3 |
| Zone rurale | 28 | 22 | 11 | 8 |
On note respectivement \text{E} et \text{U} les événements « La destination est européenne. » et « Le voyage est à destination d'une zone urbaine. ». La probabilité de voyager en zone urbaine sachant qu'on a choisi une destination en Europe est \text{P}_{\text{E}}(\text{U})=\frac{20}{48}=\frac{5}{12} \approx 0,42.
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Application et méthode - 4
Calculer une probabilité conditionnelle
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Dans une bibliothèque, les livres sont répartis selon le tableau ci‑dessous.
On choisit un livre au hasard dans la bibliothèque. On note respectivement
\text{R}, \text{B}, \text{M}, \text{J} et \text{A} les événements : « Choisir un roman. », « Choisir une BD. », « Choisir un manga. », « Choisir un livre jeunesse. » et
« Choisir un livre adultes. ».
Calculer, à 10^{-2} près, les probabilités conditionnelles des événements \text{R}, \text{B} et \text{M} relativement à l'événement \text{J}.
| Romans | BD | Mangas | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Jeunesse | 154 | 258 | 221 | |
| Adultes | 309 | 165 | 187 |
Calculer, à 10^{-2} près, les probabilités conditionnelles des événements \text{R}, \text{B} et \text{M} relativement à l'événement \text{J}.
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Solution
Le nombre de livres « Jeunesse » est 154+258+221=633.
La probabilité de choisir un roman sachant qu'on est dans la catégorie « Jeunesse » est donc \text{P}_{\text{J}}(\text{R})=\frac{154}{633} \approx 0,24.
De même, \text{P}_{\text{J}}(\text{B})=\frac{258}{633} \approx 0,41 et \text{P}_{\text{J}}(\text{M})=\frac{221}{633} \approx 0,35.
On peut vérifier : 0,24+0,41+0,35=1.
Pour s'entraîner : exercices et
La probabilité de choisir un roman sachant qu'on est dans la catégorie « Jeunesse » est donc \text{P}_{\text{J}}(\text{R})=\frac{154}{633} \approx 0,24.
De même, \text{P}_{\text{J}}(\text{B})=\frac{258}{633} \approx 0,41 et \text{P}_{\text{J}}(\text{M})=\frac{221}{633} \approx 0,35.
On peut vérifier : 0,24+0,41+0,35=1.
Pour s'entraîner : exercices et
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- Repérer la ligne ou la colonne du tableau par rapport à laquelle on conditionne. Ici, on travaille avec la ligne « Jeunesse ».
- Déterminer le nombre total d'éléments dans cette catégorie.
La probabilité de \text{R} relativement à \text{J} est \text{P}_{\text{J}}(\text{R})=\frac{\operatorname{Card}(\text{R} \cap \text{J})}{\operatorname{Card}(\text{J})}. - Vérifier que la somme des probabilités conditionnelles relativement au même événement vaut 1.
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