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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 4
Entraînement 2

Probabilités conditionnelles

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Différenciation

Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  et

Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;  ; et

Parcours 3 : exercices  ;  ; et

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Exercice 59
[Calculer.]

On choisit au hasard un fonctionnaire dans une administration qui en compte 65 de catégorie A, dont 15 en temps partiel, et 78 de catégorie B, dont 26 en temps partiel.

Quelle est la probabilité de choisir un fonctionnaire de catégorie A à temps partiel ?
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Exercice 60
[Communiquer.]

On choisit au hasard un fonctionnaire dans une administration qui en compte 65 de catégorie A dont 15 en temps partiel et 85 de catégorie B dont 33 en temps partiel. On note \text{A} l'événement « La personne choisie est de catégorie A. », \text{B} l'événement « La personne est de catégorie B. » et \text{C} l'événement « La personne choisie travaille à temps complet. ».

1. Interpréter par une phrase l'événement \text{A} \cap \text{C}.

2. Interpréter par une phrase l'événement \overline{\text{C}}.

3. Compléter le tableau d'effectifs suivant.

\bf{A}\bf{B}Total
\bf{C}
\overline{\bf{C}}
Total


4. En déduire la probabilité de l'événement \text{A} \cup \overline{\text{C}} et interpréter ce résultat.
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Exercice 61
Tableur
[Calculer.]

Pour tester un médicament, on note, pour chaque patient cobaye, s'il a reçu le médicament testé ou un placebo et s'il ressent certains symptômes. On note 0 pour non et 1 pour oui.
On a résumé les résultats obtenus pour quatre patients.

Placeholder pour PlaceboPlacebo
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1. Proposer une formule à entrer en E2 qui affiche 1 si le patient de la ligne 2 a reçu le médicament et a des maux de tête et 0 sinon.

Aide
On pourra utiliser la commande : \color{purple}\bf{SI(condition \: ; valeur\:si\:vrai\:; valeur\:si\:faux).}

2. Proposer une formule à entrer en F2 qui affiche 1 si le patient de la ligne 2 a un des trois symptômes et 0 sinon.

3. Proposer une formule à entrer en G2 qui affiche 1 si le patient de la ligne 2 a reçu le placebo et n'a aucun des trois symptômes.
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Exercice 62
[Calculer.]

Lors du test d'un médicament sur 300 personnes, 80 ont reçu sans le savoir un médicament placebo. Les effets secondaires relevés sont les suivants.

Maux de têteMaux de ventreAucun effet secondaireTotal
Médicament2518177220
Placebo1266280
Total3724239300

On choisit au hasard un participant du test.
On note \text{A} l'événement « Le patient ressent des effets secondaires. » et \text{B} l'événement « Le patient a reçu un placebo. ».

Placeholder pour MédicamentMédicament
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1. Calculer les probabilités des événements \text{A} et \text{B}.


2. Calculer et interpréter \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B}). Arrondir à 0,01 près.


3. Calculer et interpréter \mathrm{P}(\mathrm{B} \cup \mathrm{A}). Arrondir à 0,01 près.
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Exercice 63
[Calculer.]

Dans une usine de montage, 7 % des appareils sortants ont un défaut de fabrication. Dans 75 % des cas, ce défaut est visible et le produit est écarté. Certains appareils, sans défaut, sont retirés par erreur.
Sur un lot de 400 appareils, 32 sont écartés.

1. Calculer la fréquence de produits écartés.

2. Compléter le tableau suivant.

DéfautCorrectTotal
Écarté
32
Gardé
368
Total
400


3. On choisit un appareil au hasard parmi les produits écartés. Quelle est la probabilité qu'il ait un défaut ?

4. Quelle est la probabilité qu'un produit non écarté ait malgré tout un défaut ?
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Exercice 64
[Raisonner.]

Dans une ville A, 30 % des habitants n'ont pas de voiture, contre 10 % dans la ville B voisine et 16 % dans la ville C. Or les habitants de A représentent 12 % de cette agglomération, les habitants de la ville B en représentent 38 % et ceux de C en représentent 50 %.
On interroge un habitant de l'agglomération au hasard.

1. Calculer la probabilité qu'il vienne de la ville A et n'ait pas de voiture.

2. Calculer la probabilité qu'il n'ait pas de voiture.
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Exercice 65
[Calculer.]

On souhaite tester la présence d'ions sulfate dans une solution. On y verse successivement du chlorure de baryum puis du chlorure d'hydrogène.
Dans 80 % des échantillons, il se forme un précipité blanc et, dans 25 % des cas, ce précipité se dissout avec le chlorure d'hydrogène, ce qui montre qu'il n'est pas dû à des ions sulfate.
Cependant, il arrive une fois sur 100 que, malgré la présence d'ions sulfate, le précipité ne se forme pas.

1. On note respectivement \text{B} et \text{S} les événements « Il se forme un précipité blanc. » et « La solution contient des ions sulfate. ». Compléter le tableau de fréquence suivant.

\bf{S}\overline{\bf{S}}Total
\bf{B}
\overline{\bf{B}}
Total
1

2. Calculer la probabilité que la solution contienne des ions sulfate.

3. Sachant que la solution ne précipite pas, quelle est la probabilité qu'elle contienne tout de même des ions sulfate ?


Placeholder pour FlaconsFlacons
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Exercice 66
[Raisonner.]

Environ 26 % des étudiants français suivent leur scolarité en Île‑de‑France. 51 % des étudiants d'Île‑de‑France et 62 % des étudiants de province sont inscrits dans une université.
On choisit un étudiant français au hasard. On note \text{F} l'événement « L'étudiant choisi est inscrit en Île‑de‑France. » et \text{U} l'événement « L'étudiant choisi est inscrit dans une université. ».

1. Donner les valeurs de \mathrm{P}_{\mathrm{F}}(\mathrm{U}) et \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{F}}}(\mathrm{U}). Justifier en citant l'énoncé.

2. Déterminer la probabilité qu'un étudiant soit inscrit en province et celle qu'un étudiant soit inscrit dans une université de province.
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Exercice 67
[Représenter.]

Dans une ville, 18 % de la population habite dans le centre historique, 34 % habite dans le quartier HLM et le reste habite dans les zones résidentielles.
40 % des personnes habitant le centre historique sont propriétaires, contre 2 % des habitants du quartier HLM et 60 % des habitants de la zone résidentielle.
On interroge au hasard un habitant de cette ville.

1. Quelle est la probabilité qu'il soit propriétaire ?

2. Sachant qu'il est propriétaire, quelle est la probabilité qu'il habite dans le centre historique ? En HLM ?

3. Représenter la répartition des propriétaires dans les différents quartiers sur un diagramme circulaire.

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Exercice 68
[Calculer.]


Placeholder pour ChampsChamps
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Un agriculteur embauche des salariés et des saisonniers pour les travaux de récolte ou des travaux d'entretien, selon le tableau suivant.

SalariésSaisonniersTotal
Récolte
72
Entretien
16
Total12
96

1. Compléter le tableau, sachant qu'un salarié sur trois travaille en récolte.

2. On choisit une personne au hasard travaillant pour cet agriculteur. Quelle est la probabilité qu'elle fasse des travaux d'entretien ?

3. On choisit un saisonnier au hasard. Quelle est la probabilité qu'il travaille à la récolte ?

4. On choisit un récolteur au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit salarié ?
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Dans la vie professionnelle
De nombreux domaines utilisent les statistiques et les probabilités : en biologie, on utilise les probabilités pour prendre en compte les variations de comportement des phénomènes naturels (réplication de l'ADN, propagation d'un virus, évolution de la faune et de la flore, etc.), en économie, on utilise les statistiques pour évaluer les risques financiers, gérer les stocks, décider d'une stratégie.
Le traitement de données utilise les probabilités pour détecter des erreurs de mesures, des « bruits ». Enfin, l'intelligence artificielle et l'apprentissage automatisé se basent sur les statistiques.
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Exercice 69
[Modéliser.]

Un parc d'attractions a relevé les modes de transport utilisés et les distances de provenance des visiteurs.

\lt 100 km100‑250 km> 250 km
Voiture865509122
Train175341416

On choisit au hasard un visiteur du parc. On note respectivement \text{V} et \text{A} les événements « Le visiteur est venu en voiture. » et « Le visiteur a parcouru moins de 100 km. ».

1. Calculer et interpréter \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{V}) et \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{A}}}(\mathrm{V}).


2. Pour réduire les émanations de gaz à effet de serre des visiteurs, on met en place des bus venant des trois grandes villes situées à moins de 100 km du parc.
a. L'impact environnemental d'un bus est donné par :
masse transportée(tonnes) \times 0,271 \times distance(km).

Si la masse moyenne d'une personne est de 65 kg, quel est l'impact environnemental sur 100 km d'un bus transportant 50 personnes ?


b. En déduire l'impact environnemental pour 865 visiteurs (soit 18 bus).


c. L'impact environnemental d'un voyage en voiture pour une personne est égal, en moyenne, à
0,065 \times 2,823 \times distance(km).

Quel est l'impact de 865 personnes parcourant 100 km en voiture ?
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Exercice 70
[Calculer.]

Un spectacle propose 1 650 places à la vente, en guichet ou sur Internet. Les places ont toutes été vendues, la semaine précédant le spectacle ou le jour même, selon le tableau suivant.

InternetGuichet
Jour même486270
Semaine705189

On choisit un spectateur au hasard et on note \text{A} l'événement « Le spectateur a acheté son billet dans la semaine. » et \text{G} l'événement « Le spectateur a acheté son billet au guichet. ».

1. Sachant que le spectateur choisi a acheté sur Internet, quelle est la probabilité qu'il ait acheté son billet le jour même ?


2. Calculer et interpréter \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{G}).
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Exercice 71
Exercice inversé

Proposer un tableau croisé d'effectifs étudiant deux caractères \text{A} et \text{B} et vérifiant \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0,2 et \mathrm{P}_{\overline{\mathrm{B}}}(\mathrm{A})=0,25.

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Exercice 72
Exercice inversé

Inventer une situation où deux issues \text{A} et \text{B} sont indépendantes, c'est‑à‑dire où \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{B}).
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