Exercice résolu

Le cuivre pur est un des seuls métaux colorés avec l'or et l'osmium. Présent dans la croûte terrestre, il est probablement le premier métal qui a été utilisé par l'humain. Particulièrement malléable, il se travaille facilement. C'est par ailleurs un excellent conducteur thermique et électrique, et il est toujours très employé dans les domaines de l'électricité et de la construction en particulier.

Le cuivre cristallise selon une maille cubique à faces centrées de paramètre de maille a Les atomes de cuivre sont assimilés à des sphères tangentes de rayon R. La maille contient Z atomes.

1. La compacité est le rapport du volume total occupé par les atomes d'une maille par le volume de la maille elle-même. Le volume d'une sphère est donné par la formule : V=\dfrac{4}{3} \pi \cdot R^{3}. Le volume occupé par les atomes d'une maille est donc Z\,· V. Le volume d'une maille est a^{3}, la compacité est donc C=\dfrac{Z \cdot V}{a^{3}}=Z \dfrac{4}{3} \pi\left(\dfrac{R}{a}\right)^{3}.

2. La maille est représentée ci-contre (

document 1

). Dans la maille CFC, les atomes sont tangents sur chaque face. Sur la diagonale, de longueur a \sqrt{2}, on a a \sqrt{2}=4 R. D'où a=\dfrac{4 R}{\sqrt{2}}.

3. Seul un huitième du volume des atomes situés sur un sommet se trouve dans la maille, ces atomes comptent donc pour un huitième. De même, les atomes situés au centre d'une face comptent pour un demi (

document 2

).
Le nombre d'atomes présents dans une maille CFC est donc : Z=8 \times \dfrac{1}{8}+6 \times \dfrac{1}{2}=4.

4. En utilisant la

formule de la question 1

, on trouve alors :
C=\dfrac{4}{3} \pi \cdot Z \cdot\left(\dfrac{R}{a}\right)^{3}=\dfrac{16}{3} \pi\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{6} \pi \approx 0,74