Quelle condition la longueur c du côté d'un carreau doit-elle vérifier pour que les carreaux remplissent la surface sans qu'on ait besoin de les couper ?

Soient a et b deux entiers naturels non nuls avec a > b.
a) Montrer que les diviseurs communs à a et b sont exactement les diviseurs communs à b et r, où r désigne le reste de la division euclidienne de a par b.

Aide

Écrire la division euclidienne de a par b : elle permet d'écrire r comme combinaison linéaire de a et b.

b) On appelle \text{PGCD} de a et b le plus grand diviseur commun de a et b.
En déduire que le \text{PGCD} de a et b est égal au \text{PGCD} de b et r.

Pour tout réel x, on note \text{E}(x) la partie entière de x, l'unique entier tel que \text{E}(x) \leqslant x \lt \text{E}(x) + 1. On considère l'algorithme suivant.

\begin{array}{|l|l|} \hline \text { 1. } & a \leftarrow 250 \\ \text { 2. } & b \leftarrow 70 \\ \text { 3. } & r \leftarrow 250-70 \times \mathrm{E}\left(\frac{250}{70}\right) \\ \text { 4. } & \text { Tant que } r \neq 0 \text { faire : } \\ \text { 5. } & a \leftarrow b \\ \text { 6. } & b \leftarrow r \\ \text { 7. } & r \leftarrow a-b \times \mathrm{E}\left(\frac{a}{b}\right) \\ \text { 8. } & \text { Fin Tant que } \\ \text { 9. } & \text { Afficher } b \\ \hline \end{array}

a) À quoi les nombres 250-70 \times E\left(\frac{250}{70}\right) et a-b \times \mathrm{E}\left(\frac{a}{b}\right) (lignes 3 et 7) correspondent-ils ?

b) Exécuter cet algorithme à la main en recopiant et complétant le tableau suivant.

\boldsymbol{\color{white}a}	250
\boldsymbol{\color{white}b}	70
\boldsymbol{\color{white}r}

c) Pourquoi peut-on être sûr, sans l'exécuter, que cet algorithme se termine nécessairement ?

d) Que représente le nombre affiché en sortie ?
Que peut-on déduire sur les dimensions possibles du pavage ?

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Bilan

Cet algorithme de divisions successives porte aujourd'hui le nom d'Euclide. Euclide a en réalité décrit un algorithme voisin dans son livre Les Éléments pour expliciter une méthode de détermination du \mathbf{PGCD} de deux entiers naturels non nuls.

Soient \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} deux entiers naturels non nuls. Expliquer comment on peut déterminer l'ensemble des diviseurs communs à \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} connaissant leur \mathbf{PGCD}.

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B
Un problème de Bachet

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Objectif : Utiliser le théorème de Bézout en « remontant » l'algorithme d'Euclide.

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Deux bons compagnons ont 8 pintes de vin à partager entre eux également, lesquelles sont dans un vase contenant justement 8 pintes, et pour faire leur partage ils n'ont que deux autres vases dont l'un contient 5 pintes et l'autre 3. On demande comment ils pourront partager justement leur vin, ne se servant que de ces trois vases.

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Photographie de chopes à bière en verre suspendues à un support en bois.

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Remarque

Une pinte est une unité de mesure d'un volume.

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Ce problème est posé par Bachet de Méziriac (1581-1638) dans Problèmes plaisants et délectables (1612). L'énoncé ci-dessus est tiré d'une réédition commentée de 1874. Une des méthodes qu'il donne consiste à remplir le vase \text{V}_5 (de cinq pintes) et à le vider dans le vase \text{V}_3 (de trois pintes) et ce jusqu'à obtenir une quantité de quatre pintes dans l'un des vases.
Le problème revient donc à déterminer combien de fois il faut remplir entièrement \text{V}_5 et combien de fois il faut lui retirer trois pintes pour qu'il contienne quatre pintes.

Écrire le problème sous la forme mx-py=4 avec (m \ ; \ p ) \in \N^2 et déterminer un couple (x \ ; \ y ) solution.

Bachet raisonne en prenant le problème par la fin : quatre pintes, ce sont cinq pintes dont on a retiré une pinte. Comment retirer une pinte ? Il suffit par exemple que le vase de trois pintes en contienne déjà deux.
a) Comment mesurer un volume de deux pintes avec les vases \text{V}_3 et \text{V}_5 ?

b) Observer le schéma suivant et expliquer pourquoi à la fin du processus le vase \text{V}_5 contient un volume de 2\text{B}-2 \text{C}.

Schéma: algorithme répartissant des valeurs (V8, V5, V3) selon des règles mathématiques. Flèches indiquent le transfert de valeurs entre variables.

Cherchons maintenant à obtenir un volume de une pinte avec des vases de seize et neuf pintes.
a) Écrire l'algorithme d'Euclide pour déterminer le \text{PGCD} de 16 et 9.

Soient r_1 et r_2 les restes des deux premières divisions euclidiennes obtenues.

b) À l'aide de la troisième division euclidienne, écrire le nombre 1 comme combinaison linéaire de r_1 et r_2.

c) À l'aide de la deuxième division euclidienne, écrire le nombre 2 comme combinaison linéaire de 9 et r_1, puis justifier comment obtenir 1 = 7 \times 4 - 3 \times 9.

d) En déduire une combinaison linéaire de 9 et 16 égale à 1. Conclure.

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Bilan

Le théorème de Bézout indique que si le \mathbf{PGCD} de deux entiers naturels \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} est \boldsymbol{1}, alors il existe un couple d'entiers relatifs \boldsymbol{( u \ ; \ v)} tel que \boldsymbol{au + bv = 1}.
En prenant \boldsymbol{a = 12} et \boldsymbol{b = 5} et en s'appuyant sur le raisonnement de la question
3
, expliciter une démarche permettant de trouver \boldsymbol{u} et \boldsymbol{v} tels que \boldsymbol{12 u + 5v = 1}. Ce couple est-il unique ?

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