L'atelier des apprentis

Aristarque de Samos (310‑230 av. J.‑C.) a observé les éclipses de Lune (passage de la Lune dans l’ombre de la Terre). Il a constaté que le diamètre de la Lune pouvait se reporter trois fois dans le disque d’ombre de la Terre.

Questions

1. Schématisez le Soleil, la Terre et les trois positions de la Lune dans l’ombre de la Terre.


2. Déduisez-en l’expression du rayon de la Lune en fonction du rayon $R_{\text{T}}$ de la Terre.


3. La durée d’une éclipse de Lune est de 4 heures. Quelle est la vitesse de déplacement de la Lune sur son orbite en fonction du rayon de la Terre ?


4. Sachant que la Lune a besoin d’environ 1 mois (700 heures) pour faire un tour complet sur son orbite autour de la Terre, quelle est la longueur de l’orbite de la Lune autour de la Terre en fonction du rayon de la Terre ?


5. Calculez alors la distance Terre-Lune sachant que le rayon de la Terre est de 6 370 km.

Armel Le Cléac’h arrive vainqueur du Vendée Globe 2016-2017 après 74 j 3 h 35 min 46 s le 19 janvier 2017 à 16 h 37 aux Sables d’Olonne. Juste avant son arrivée sur la côte, deux observateurs sont postés aux extrémités $\text{A}$ et $\text{B}$ d’un muret de 29 m de longueur. Ils mesurent au même moment les angles que font les extrémités du muret avec la pointe $\text{M}$ du mât du bateau. L’angle $\widehat{\text{MAB}}$ vaut 78°, l’angle $\widehat{\text{MBA}}$ vaut 45°.

Questions

1. Faites un schéma légendé de la situation en indiquant les angles mesurés. Déduire et indiquer l’angle $\widehat{\text{AMB}}$.


2.En utilisant les relations entre les sinus des angles et les longueurs dans un triangle, utilisées dans l’activité 3, écrire les relations de proportionnalité existant entre AB, sin($\widehat{\text{ABM}}$), AM, sin($\widehat{\text{MBA}}$), MB, sin($\widehat{\text{MAB}}$).


3. Par triangulation, calculez alors les longueurs AM et MB qui séparent les observateurs aux extrémités du muret du mât du bateau.


4. Deux pointeurs laser visent le sommet $M$ du mât à partir des points A et B. Ils mesurent respectivement $AM = 24,6 m$ et $BM = 33,9 m.$ Comparez ces valeurs avec celles calculées précédemment en indiquant la précision de chacune des méthode. La précision d’une distance mesurée $d$ est égale à $\frac{Δd}{d}, Δd$ étant l’incertitude, dernier chiffre d’un instrument de mesure; la précision s’exprime le plus souvent en %.

Pour planifier ses vacances, Mélina calcule des distances entre plusieurs villes.

Questions

1. Réalisez un schéma représentant la demi-sphère Nord de la Terre et positionnez Monaco et Berne, ainsi que leurs latitudes et longitudes. Faites apparaître l’arc du cercle entre ces villes sur le schéma.


2. Calculez la plus courte distance qui les sépare.


3. En constatant que Monaco et Pise sont sur le même parallèle, calculez la distance qui les sépare le long de ce parallèle.


4. Ces distances calculées permettent-elles de savoir s'il est plus court d'atteindre Pise ou Berne depuis Monaco ?