Exercice corrigé

La datation à l’uranium-plomb permet de déterminer assez précisément l’âge de la Terre, le plomb étant le produit final stable de la désintégration de l’uranium 238. Si l’on mesure la quantité de plomb 206 dans un échantillon de roche, en considérant qu’il n’y en avait pas initialement, on peut déterminer l’âge du minéral.

On s’intéresse à un échantillon de roche dont l’âge correspond à celui de la Terre. La courbe de décroissance radioactive théorique de cette roche est fournie dans le doc. 2. Le nombre de noyaux de plomb mesuré dans la roche à la date $t_{\text{Terre}}$, noté $N_{\text{Pb}}(t_{\text{Terre}})$, est égal à $2{,}5 \times 10^{12}$.

1. Indiquer le nombre initial $N_\text{U}(t_0)$de noyaux d’uranium.

2. Définir et déterminer graphiquement le temps de demi-vie $t_{1/2}$.

3. Exprimer le nombre de noyaux d’uranium 238 au cours du temps.

4. . Établir la relation entre le nombre de noyaux d’uranium 238 au moment de la formation de la roche, $N_\text{U}(t_0)$, $N_\text{U}(t_\text{Terre})$ et $N_\text{Pb}(t_\text{Terre})$.

5. Calculer le nombre $N_\text{U}(t_\text{Terre})$de noyaux d’uranium et déterminer l’âge de la Terre.

Doc. 1

Dérive des continents

Doc. 2

Courbe de décroissance radioactive

Protocole de réponse

1. Identifier sur le graphe la quantité $N_\text{U}$ à $t_0 = 0$ s.

2. Rappeler la définition du temps de demi-vie. Faire une lecture graphique en abscisse du temps pour lequel la quantité $N_\text{U}$ est égale à $\dfrac{N_{\text{U}}(t_0)}{2}$.

3. Restituer la formule en l’adaptant aux notations de l’énoncé.

4. Identifier chaque grandeur physique. Exprimer la relation en respectant la conservation du nombre de noyaux.

5. Restituer une formule du cours. Remplacer chaque terme en utilisant les unités adéquates pour chaque grandeur physique.

1. Par lecture graphique, $N_{\text{U}}(t_0) = 5{,}0 \times 10^{12}$ noyaux.

2. Le temps de demi-vie $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux d’un échantillon se sont désintégrés. Ici, on trouve pour $N_{\text{U}}(t_{1/2}) = \dfrac{N_{\text{U}}(t_0)}{2}$ un temps de demi-vie $t_{1/2} = 4{,}5 \times 10^9$ a.

3. On sait que la population d’un échantillon de noyaux radioactifs évolue selon la loi de décroissance radioactive :
$N_\text{U}(t) = N_\text{U}(t_0) \cdot \text{exp}(-\lambda \cdot t)$ avec $\lambda = \dfrac{\ln(2)}{t_{1/2}}$
4. En considérant qu’il n’y a pas de noyaux de plomb initialement présents dans la roche, on a la relation :

$N_{\text{U}} (t_{\text{Terre}}) = N_{\text{U}}(t_0) - N_{\text{Pb}} (t_{\text{Terre}})$
5. AN : $N_{\text{U}} (t_{\text{Terre}}) = 5{,}0 \times 10^{12} - 2{,}5 \times 10^{12} = 2{,}5 \times 10^{12}$

En utilisant la loi de décroissance, on trouve :

$t_{\text{Terre}} = \dfrac{\ln \bigg( \dfrac{N_{\text{U}}(t_0)}{N_{\text{U}}(t_{\text{Terre}})} \bigg)}{\ln(2)} \cdot t_{1/2}$

AN : $t_{\text{Terre}} = \dfrac{\ln \bigg( \dfrac{5{,}0 \times 10^{12}}{2{,}5 \times 10^{12}} \bigg)}{\ln(2)} \times 4{,}5 \times 10^9$ a

Mise en application

Découvrez l'exercice

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, Ôtzi, pour travailler cette notion.