Le repaire des initiés




5
Le hurlement du coyote

Utiliser la relation liant niveau d’intensité sonore à l’intensité sonore, puissance par unité de surface


Le coyote Canis latrans est une espèce de canidés essentiellement présente en Amérique du Nord. Le terme Canis latrans signifie en français chien aboyeur car le coyote est réputé pour ses hurlements lui permettant de communiquer sur de longues distances. Un hurlement comme celui-ci a une puissance sonore PP d’environ 10‑2 W.
On effectue l’approximation suivante : le son produit par le coyote se propage de manière sphérique, sans changement de milieu de propagation.

Un coyote en train de hurler
Un coyote en train de hurler.

Questions

1. Rappelez la relation mathématique permettant de calculer la surface d’une sphère SS à partir de son rayon.


2. Exprimez l’intensité sonore II à une distance dd du coyote sachant que toute la puissance sonore émise est répartie uniformément sur la surface d’une sphère de rayon d.d.


3. Déduisez l’expression du niveau d’intensité sonore LL dépendant de la distance dd au coyote.


4. Calculez les niveaux d’intensité sonore à une distance de 10 m, 100  m et 1 km.


6
Le placement des doigts sur le violon

Relier la fréquence fondamentale d’une corde vibrante à sa longueur


Instant
maths

Retrouvez des rappels de cours et des exercices d’application sur le calcul littéral p. 267.
Voir les réponses

Questions

1. Estimez l’écartement maximal possible, noté ee et exprimé en centimètres (cm), entre votre index et votre auriculaire.


2. Sachant que la fréquence fondamentale d’une corde vibrante est inversement proportionnelle à sa longueur, démontrez que f1l1=f2l2f_{1} \cdot l_{1}=f_{2} \cdot l_{2}.


3. En précisant dans un premier temps la relation entre l1l_{1}, l2l_{2} et ee, déterminez l’expression de la longueur l2l_{2} en fonction de f1f_{1}, ee et f2f_{2}.


4. En réutilisant le résultat de la question 2 pour le la3la3 et le mi4mi4, démontrez que la longueur ll des cordes s’exprime l=f2f1ef(f2f1)l=\dfrac{f_{2} \cdot f_{1} \cdot e}{f \cdot\left(f_{2}-f_{1}\right)} et calculez cette longueur pour l’écartement ee estimé à partir de vos doigts. Ce résultat est-il cohérent avec la dimension d’un violon traditionnel ?

Positions des doigts pour obtenir une note sur le manche d’un violon
2
Positions des doigts pour obtenir une note sur le manche d’un violon.

Note la3la3 lala#33 mi4mi4
Fréquence (Hz)
440,00 466,16 659,26
1
Quelques correspondances notes-fréquences.

Le placement des doigts sur le violon

Le violon est un instrument à cordes frottées. À l’aide d’un archet, le musicien exerce une excitation sur une corde qui permet de la faire vibrer. En fonction de la position des doigts sur le manche, le violoniste peut modifier la note de la corde en raccourcissant sa longueur ll. Les autres caractéristiques de la corde restent inchangées.
On se propose dans cet exercice de déterminer la longueur optimale ll des cordes d’un violon pour un passage le plus aisé possible entre les notes (c’est-à-dire sans avoir à déplacer la main le long du manche). La troisième corde, accordée à vide pour obtenir un la3la3, doit présenter un écartement entre l’index (pour obtenir un lala#33) et l’auriculaire (pour obtenir un mi4mi4), techniquement réalisable sans avoir à bouger la main. On note l1l_{1} et f1f_{1} la longueur et la fréquence fondamentale de la corde associées à l’obtention du lala#33 ; l2l_{2} et f2f_{2} les mêmes grandeurs associées à l’obtention du mi4.mi4.

4
La production d’un signal composé

Lire et utiliser l’analyse spectrale d’un son composé


Spectre en fréquences
Spectre en fréquences obtenu après analyse spectrale d’un signal associé à un son composé.

Questions

1. Relevez la fréquence fondamentale ff du son composé.


2. Établissez un tableau faisant correspondre, pour chaque fnf_{n}, l’amplitude AnA_{n} d’après l’analyse spectrale du signal. Vous vous limiterez aux harmoniques d’amplitude non nulle.
Couleurs
Formes
Dessinez ici


3. D’après la relation générale fournie dans l’énoncé, complétez la relation en tenant compte de la valeur de la fréquence fondamentale et des valeurs des harmoniques d’amplitude non nulle :
A(t)=A0sin(2πft)+A1sin(4πft)  +  A(t)=A_{0} \cdot \sin (2 \pi \cdot f \cdot t)+A_{1} \cdot \sin (4 \pi \cdot f \cdot t)\;+\;


4. Tracez à la calculatrice ou sur un logiciel adapté l’amplitude du signal A(t)A(t) en fonction du temps tt (les options d’affichage doivent correspondre à une abscisse comprise entre 0 et 0,01 s et une ordonnée comprise entre -1 et 1).
Lancer le module Geogebra

Un son composé est caractérisé par une fréquence fondamentale ff (la plus basse) et par des fréquences harmoniques (multiples de ff). Lorsque l’on réalise l’analyse spectrale d’un signal associé à un son composé, on obtient le graphique ci-contre.

Il est possible de représenter graphiquement ce signal en fonction du temps à la calculatrice en traçant la somme des sinusoïdes de fréquences multiples de ff à partir de :

A(t)=A0sin(2πft)++Ansin(2(n+1)πft)A(t)=A_{0} \cdot \sin (2 \pi \cdot f \cdot t)+\ldots+A_{\text{n}} \cdot \sin (2(n+1) \cdot \pi \cdot f \cdot t)

Dans cette relation, tt correspond au temps exprimé en secondes (s), AnA_{\text{n}} les amplitudes en volts (V) du fondamental et de chaque harmonique et A(t)A(t) l’amplitude du signal associé au son composé en fonction du temps envolts (V).
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