Le repaire des initiés

1. Relevez la fréquence fondamentale $f$ du son composé.

2. Établissez un tableau faisant correspondre, pour chaque $f_n$, l'amplitude $A_n$ d'après l'analyse spectrale du signal. Vous vous limiterez aux harmoniques d'amplitude non nulle.

3. D'après la relation générale fournie dans l'énoncé, complétez la relation en tenant compte de la valeur de la fréquence fondamentale et des valeurs des harmoniques d'amplitude non nulle :
$A(t)=A_0\cdot \sin (2\pi \cdot f\cdot t)+A_1\cdot \sin (4\pi \cdot f\cdot t)+\dots ;$

4. Tracez à la calculatrice ou sur un logiciel adapté l'amplitude du signal $A(t)$ en fonction du temps $t$ (les options d'affichage doivent correspondre à une abscisse comprise entre 0 et 0,01 s et une ordonnée comprise entre $-$1 et 1).

1. Rappelez la relation mathématique permettant de calculer la surface d'une sphère $S$ à partir de son rayon.

2. Exprimez l'intensité sonore $I$ à une distance $d$ du coyote sachant que toute la puissance sonore émise est répartie uniformément sur la surface d'une sphère de rayon $d.$

3. Déduisez l'expression du niveau d'intensité sonore $L$ dépendant de la distance $d$ au coyote.

4. Calculez les niveaux d'intensité sonore à une distance de 10 m, 100  m et 1 km.

Le violon est un instrument à cordes frottées. À l'aide d'un archet, le musicien exerce une excitation sur une corde qui permet de la faire vibrer. En fonction de la position des doigts sur le manche, le violoniste peut modifier la note de la corde en raccourcissant sa longueur $l$. Les autres caractéristiques de la corde restent inchangées.
On se propose dans cet exercice de déterminer la longueur optimale $l$ des cordes d'un violon pour un passage le plus aisé possible entre les notes (c'est-à-dire sans avoir à déplacer la main le long du manche). La troisième corde, accordée à vide pour obtenir un $la3$, doit présenter un écartement entre l'index (pour obtenir un $la$#$3$) et l'auriculaire (pour obtenir un $mi4$), techniquement réalisable sans avoir à bouger la main. On note $l_1$ et $f_1$ la longueur et la fréquence fondamentale de la corde associées à l'obtention du $la$#$3$ ; $l_2$ et $f_2$ les mêmes grandeurs associées à l'obtention du $mi4.$

1. Estimez l'écartement maximal possible, noté $e$ et exprimé en centimètres (cm), entre votre index et votre auriculaire.

2. Sachant que la fréquence fondamentale d'une corde vibrante est inversement proportionnelle à sa longueur, démontrez que $f_1\cdot l_1=f_2\cdot l_2$.

3. En précisant dans un premier temps la relation entre $l_1$, $l_2$ et $e$, déterminez l'expression de la longueur $l_2$ en fonction de $f_1$, $e$ et $f_2$.

4. En réutilisant le résultat de la question 2 pour le $la3$ et le $mi4$, démontrez que la longueur $l$ des cordes s'exprime $l=\frac{f_2\cdot f_1\cdot e}{f\cdot \left(f_2-f_1\right)}$ et calculez cette longueur pour l'écartement $e$ estimé à partir de vos doigts. Ce résultat est-il cohérent avec la dimension d'un violon traditionnel ?

1. Calculez la fréquence $f$ du son produit par un diapason.

2. Proposez une modification de $a$ ou de $l$ pour doubler la fréquence fondamentale $f$ du diapason.