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Enseignement scientifique 1re

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Le coin des experts




9
L’accordage d’une guitare

Lier qualitativement la fréquence fondamentale d’une corde vibrante avec sa longueur


Questions

1. Précisez comment évolue la fréquence fondamentale du son émis par une corde vibrante dont on diminue la longueur. Comment peut-on exprimer mathématiquement cette relation ?


2. Exprimez la longueur de la corde lnl_{\text{n}} entre la frette en contact et le chevalet, en fonction de la fréquence fondamentale émise f,f', la fréquence fondamentale ff de la corde à vide et ll la longueur de la corde à vide.


3. Démontrez que 12n12=ff \dfrac{1}{2^{\frac{\text{n}}{12}}}=\dfrac{f'}{f}
On admet par la suite que n=12log(2)log(ff)\text{n}=\dfrac{12}{\log (2)} \cdot \log \left(\dfrac{f'}{f}\right)


4. Calculez chaque numéro de frette n\text{n} sur laquelle il est nécessaire de poser son doigt pour pouvoir augmenter la fréquence fondamentale du son produit par la corde de façon à obtenir la même fréquence fondamentale que la corde suivante.

Titre
1
Photographie d’une guitare classique.

Numéro de la corde (de gauche à droite sur la photographie) Fréquence fondamentale à obtenir pour un bon accordage (Hz)
1 82,41
2 110,00
3 146,83
4 196,00
5 246,94
6 329,63
2
Fréquence fondamentale à obtenir pour chaque corde de la guitare.

L’accordage d’un instrument est un impératif pour tous les musiciens. Si celui-ci se révèle plus simple avec les nouvelles technologies (accordeur électronique, application sur smartphone), il n’en demeure pas moins qu’il est nécessaire pour un bon musicien de savoir s’accorder à l’oreille.

Tous les musiciens ne sont pas capables de reconnaître une fréquence fondamentale à sa seule écoute. Pour autant, en connaissant quelques règles sur les fréquences fondamentales des sons produits par la vibration des cordes, on peut facilement accorder les cordes d’une guitare entre elles pour obtenir un son mélodieux.

À chaque fois que l’on appuie sur une corde de la guitare, on diminue la longueur de la partie vibrante. Comme le manche est pourvu d’un certain nombre de frettes (barres métalliques perpendiculaires à l’axe du manche), les fréquences possibles sont quantifiées, c’est-à-dire qu’il n’est pas possible d’obtenir n’importe quelle fréquence, mais des fréquences définies par la distance entre le chevalet et les frettes. Ces distances lnl_{\text{n}} évoluent de la manière suivante en fonction de l,l, la longueur de la corde et n\text{n} un entier naturel correspondant au numéro de la frette :
ln=l2n12l_{\mathrm{n}}=\dfrac{l}{2^{\frac{\text{n}}{12}}}

Or, pour accorder deux cordes consécutives sur la guitare, il suffit d’appuyer sur la corde de fréquence la plus basse au niveau de l’une de ses frettes et d’accorder la seconde pour atteindre la même fréquence.

Instant
maths

Retrouvez des rappels de cours et des exercices d’application sur le logarithme décimal et sa réciproque p. 274 et sur la manipulation d’équations p. 268.

8
Le niveau d’intensité sonore dans un concert

Relier intensité sonore et niveau d’intensité sonore

Version initiés (C) ici.


Lors d’un concert, il est primordial que l’ensemble du public puisse percevoir correctement la musique. Les spectateurs à l’avant ne doivent pas être incommodés par le niveau d’intensité sonore, tandis que ceux derrière ne doivent pas être lésés par un niveau trop faible.

On considère un concert pour lequel une foule compacte forme un demi-disque de telle manière que l’ensemble des spectateurs se trouve à une portée de 100 m maximum et 5 m minimum de l’enceinte. Cette enceinte produit un son qui se propage de manière homogène uniquement dans la demi-sphère face à elle.

Une foule devant la scène et des spectateurs plus éloignés
lors d’un concert.
Une foule devant la scène et des spectateurs plus éloignés lors d’un concert.

Questions

1. Sachant que le son dans un concert peut atteindre 120 dB au plus près des enceintes à l’avant, calculez l’intensité sonore I1I_{1} perçue par les premiers spectateurs.


2. Sachant que l’intensité sonore est une puissance par unité de surface, en déduire l’expression de I2I_{2} en fonction de I1I_{1} et des distances considérées.


3. Calculez la perte, en décibels, du niveau d’intensité sonore perçu entre le public à l’avant et le public à l’arrière lors d’un concert.

D
La production d’un signal composé

Lire et utiliser l’analyse spectrale d’un son composé

Version initiale (le repaire des initiés exercice 4) ici.

Un son composé est caractérisé par une fréquence fondamentale ff (la plus basse) et par des fréquences harmoniques (multiples de ff). Lorsque l’on réalise l’analyse spectrale d’un signal associé à un son composé, on obtient le graphique ci-contre.

Il est possible de représenter graphiquement ce signal en fonction du temps à la calculatrice en traçant la somme des sinusoïdes de fréquences multiples de ff à partir de :

A(t)=A0sin(2 πft)++Ansin(2 (n+1)πft)A(t) = A_0 \cdot \sin(2 \ \pi \cdot f \cdot t) + … + A_n \cdot \sin(2 \ (n + 1) \cdot \pi \cdot f \cdot t)

Dans cette relation, tt correspond au temps exprimé en secondes (s), AnA_n les amplitudes en volts (V) du fondamental et de chaque harmonique, fnf_n les fréquences multiples de ff en hertz (Hz) et A(t)A(t) l’amplitude du signal associé au son composé en fonction du temps en volts (V).

Spectre en fréquences
Spectre en fréquences obtenu après analyse spectrale d’un signal associé à un son composé.

Questions

1. D’après la relation générale fournie dans l’énoncé, complétez la relation suivante :

A(t)=A0sin(2 πft)+A1sin(4 πft)+A(t) = A_0 \cdot \sin(2 \ \pi \cdot f \cdot t) + A_1 \cdot \sin(4 \ \pi \cdot f \cdot t ) + …


2. Tracez à la calculatrice l’amplitude du signal A(t)A(t) en fonction du temps tt sur une fenêtre d’affichage adéquate et représentez son allure.

Lancer le module Geogebra

7
La synthèse d’un timbre

Exploiter un signal périodique


Signal périodique associé au son composé étudié
1
Signal périodique associé au son composé étudié.

Questions

1. Déterminez la fréquence fondamentale ff du son produit par le synthétiseur.


2. Déduisez les fréquences harmoniques fnf_{\text{n}}.


3. Tracez à la calculatrice ou à l’aide d’un logiciel adapté l’évolution de l’amplitude du signal périodique au cours du temps en tenant compte du fondamental et des trois harmoniques suivantes.
Lancer le module Geogebra
4. Expliquez pourquoi l’allure obtenue n’est pas tout à fait similaire à la représentation graphique fournie.

Le signal périodique suivant est associé à un son composé produit par un synthétiseur. Cet instrument permet de configurer l’amplitude de toutes les harmoniques, comme on le souhaite, pour obtenir n’importe quel timbre.

Par exemple, le signal périodique ci-contre est associé à un son composé auquel on attribue, à chaque harmonique de rang n\text{n}, une amplitude AnA_{\text{n}}.

Par convention, le rang n=\mathrm{n}= 0 correspond au fondamental. L’expression de l’amplitude de chaque sinusoïde constitutive de ce son composé en fonction du temps tt s’exprime comme le produit de l’amplitude AnA_{\text{n}} et du sinus de 2πfnt2 \pi \cdot f_{\text{n}} \cdot t

Rang nn 0 1 2 3
Amplitude (V)
0,4 0,3 0,2 0,1
2
Amplitudes des trois premières harmoniques du signal et du fondamental.
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