LIVRET MATHS



4
Rappels de géométrie





12
Calculs de longueurs.

(MN)\text{(MN)} et (BC)\text{(BC)} sont parallèles. On donne AB=9\text{AB} = 9 cm, AC=12\text{AC} = 12 cm, BC=7\text{BC} = 7 cm, AM=3\text{AM} = 3 cm et OB=6\text{OB} = 6 cm. Calculez AN\text{AN}, MN\text{MN}, ON.\text{ON.}


Calculs de longueurs


5
Construction d’un triangle.

Le triangle STU\text{STU} est rectangle en S\text{S} tel que ST=8\text{ST} = 8 cm et SU=6\text{SU} = 6 cm.

a. Calculez TU2\mathrm{TU}^{2}, le carré de la longueur de l’hypoténuse.
Déduisez-en la longueur de l’hypoténuse.

b. Construisez le triangle STU\text{STU} et mesurez la longueur du côté [TU].[\text{TU}].

c. Comparez la longueur mesurée avec la longueur obtenue par le calcul.



11
Un quadrilatère.

(AB)\text{(AB)} et (CD)\text{(CD)} sont parallèles. Calculez MB.\text{MB.} Que pouvez-vous dire du quadrilatère ABDC\text{ABDC} ?


Un quadrilatère.


8
L’escabeau.

L’écartement au sol d’une échelle escabeau est de 1,20 m.

De quelle longueur doivent être les deux jambes de l’échelle pour que son sommet soit à 1,70 m de hauteur ? (Arrondissez au cm.)

Point de cours 2
Théorème de Pythagore

Théorème

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Théorème de Pythagore

Théorème

Dans un triangle ABC\text{ABC}, si l’égalité AB2=AC2+CB2\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{CB}^{2} est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.\text{C.}

Exemple
Le triangle SET\text{SET} tel que ET=13\text{ET} = 13 cm, SE=5\text{SE} = 5 cm et ST=12\text{ST} = 12 cm est-il rectangle ?
On sait que [ET][\mathrm{ET}] est le plus grand côté et que ET2=132=169\mathrm{ET}^{2}=13^{2}=169
SE2+ST2=52+122=25+144=169\mathrm{SE}^{2}+\mathrm{ST}^{2}=5^{2}+12^{2}=25+144=169
On constate que ET2=SE2+ST2.\mathrm{ET}^{2}=\mathrm{SE}^{2}+\mathrm{ST}^{2}.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SET\text{SET} est rectangle en S.\text{S.}


Point de cours 1
Volume des solides

Propriété

Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces rectangulaires. Il a 8 sommets et 12 arêtes.

Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs aa, bb et cc est donné par la formule : V=a×b×c.\mathrm{V}=a \times b \times c.

Volume des solides


Propriété

  • La sphère de centre O\text{O} et de rayon rr est formée de tous les points M\text{M} de lʼespace tels que OM=r.\text{OM}= r.
  • La boule de centre O\text{O} et de rayon rr est formée de tous les points M\text{M} de lʼespace tels que OM<r.\text{OM} \lt r.
  • Le volume de la boule de rayon rr est donné par la formule : V=43×π×r3.\mathrm{V}=\dfrac{4}{3} \times \pi \times r^{3}.

Volume des solides


Propriété

Le volume du cylindre de révolution de rayon rr et de hauteur hh est donné par la formule : V=π×r2×h.\mathrm{V}=\pi \times r^{2} \times h.

Volume des solides


Propriété

Le volume de la pyramide d’aire de base A\text{A} et de hauteur hh est donné par la formule : V=13×A×h.\mathrm{V}=\dfrac{1}{3} \times \mathrm{A} \times h.

Volume des solides

3
La pyramide.

Calculez le volume dʼune pyramide dont la base est un carré de 4 cm de côté dont la hauteur mesure 5 cm.

7
Triangles rectangles ?

Les triangles EFG\text{EFG} sont-ils rectangles ? Justifiez vos réponses.

a. EF=7\text{EF} = 7 cm, EG=2,4\text{EG} = 2\text{,}4 cm et FG=7,4\text{FG} = 7\text{,}4 cm.

b. EF=27\text{EF} = 27 cm, EG=120\text{EG} = 120 cm et FG=123\text{FG} = 123 cm.

2
Une lampe torche.

On modélise une lampe torche par la superposition de trois cylindres de révolution.

Une lampe torche modélisée


Exprimez le volume de cette lampe torche en fonction de hh et de r.r.
On factorisera le résultat par πr2h.\pi r^{2} h.

6
Une échelle contre un mur.

À quelle hauteur lʼéchelle touche-t-elle le mur ? Donnez un arrondi au cm.


Une échelle contre un mur

9
Calculez la longueur du troisième côté.

a.
Triangle rectangle



b.
Triangle rectangle



c.
Triangle rectangle


1
Donnez le volume en cm3 puis en m3.

a. Dʼun carton de 20 cm sur 45 cm sur 60 cm.

b. Dʼun ballon de volleyball de 11 cm de rayon.

c. Dʼune balle de tennis de 6,5 cm de diamètre.

d. Dʼun tronc dʼarbre cylindrique de 6 m de long et de rayon de 45 cm.

e. De la planète Terre qui peut être assimilée à une sphère dont le périmètre à lʼéquateur est dʼenviron 40 075 km.


4
La pyramide de cubes.

La pyramide de cubes


La pyramide constituée de petits cubes comporte 5 étages. Le volume dʼun petit cube est de 1 cm3.

a. Calculez le volume dʼune telle pyramide si elle comporte 10 étages.

b. Calculez le volume de la pyramide suivante.

c. Comparez les résultats des questions a. et b. Quʼen pensez-vous ?


La pyramide des cubes

Point de cours 3
Théorème de Thalès

Théorème

(AJ)\text{(AJ)} et (BK)\text{(BK)} sont deux droites sécantes en A.\text{A.}
Si les droites (AJ)\text{(AJ)} et (BK)\text{(BK)} sont parallèles, alors IAIJ=IBIK=ABJK.\dfrac{\mathrm{IA}}{\mathrm{IJ}}=\dfrac{\mathrm{IB}}{\mathrm{IK}}=\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{JK}}.

Théorème de Thalès

Théorème

Les points A\text{A}, I\text{I}, N\text{N} et B\text{B}, I\text{I}, M\text{M} sont alignés dans le même ordre.
Si INIA=IMTB\dfrac{\mathrm{IN}}{\mathrm{IA}}=\dfrac{\mathrm{IM}}{\mathrm{TB}}, alors les droites (AN)\text{(AN)} et (MB)\text{(MB)} sont parallèles.

Théorème de Thalès

10
Rapports de longueur.

Les droites de couleur sont parallèles. Donnez tous les rapports de longueurs égaux.

a.
Rapports de longueur



b.
Rapports de longueur

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