Couverture

Enseignement scientifique 1re

Feuilleter la version papier

















Chargement de l'audio en cours
Cacher

Cacher la barre d'outils

Plus

Plus


LIVRET MATHS



3
Puissances et racines






15
Résolvez les équations suivantes et donnez une valeur approchée du résultat.

a. 10x=534110^{x}=5\,341

b. 10x=0,00008410^{x}=0\text{,}000\,084

c. 102x+1=6791040010^{2 x+1}=67\,910\,400

d. 103x=0,00004810^{-3 x}=0\text{,}000\,048


24
Résolvez les équations suivantes.

a. x3+108,6=651,8x^{3}+108\text{,}6=651\text{,}8

b. 316x761x3=700\dfrac{316 x^{7}}{61 x^{3}}=700

c. (100071)x6=41x2(1000-71) x^{6}=41 x^{2}


6
Effectuez les opérations suivantes sans calculatrice.

a. 1+321+3^{2}

b. 2×532 \times 5^{3}

c. (2×5)3(2 \times 5)^{3}

d. 21+522^{-1}+5^{-2}


19
Simplifications d’expressions.

Écrivez sous la forme aba \sqrt{b} avec aa et bb des nombres entiers strictement positifs, bb étant le plus petit possible.

a. 50\sqrt{50}

b. 200\sqrt{200}

c. 147\sqrt{147}

d. 54\sqrt{54}


22
Résolvez à la calculatrice les équations suivantes en utilisant la touche n\sqrt[n]{ }.

a. x6=240x^{6}=240

b. x5=125,6x^{5}=125\text{,}6

c. x10=807x^{10}=807

d. x5=114x^{5}=114

e. x3=35,6x^{3}=35\text{,}6

f. x8=32768x^{8}=32\,768


17
Quelques fractions.

Écrivez les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur.

a. 232\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

b. 2573\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}

c. 1+231+2\dfrac{1+2 \sqrt{3}}{1+\sqrt{2}}

d. 522+π+1\dfrac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{\pi+1}}

e. 2356\dfrac{2-3 \sqrt{5}}{\sqrt{6}}

f. 1+5232\dfrac{1+5 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}


Point de cours 2
Puissances de 10

Définition

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme :
a×10na \times 10^{n} avec aa un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10 et nn un nombre relatif.

Exemples
4,218×1034\text{,}218 \times 10^{3} est l’écriture scientifique de 4218.4\,218.

5,21×1085\text{,}21 \times 10^{-8} est l’écriture scientifique de 0,0000000521.0\text{,}0000000521.

8
Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants.

a. 437850000000437\,850\,000\,000

b. 0,000004160\text{,}00000416

c. 1593,281593\text{,}28

d. 0,000000001810\text{,}00000000181

e. 17,4×10917\text{,}4 \times 10^{9}

f. 9,8×100119\text{,}8 \times 100^{11}

g. 56,75321956\text{,}753219

h. 0,67842×1060\text{,}67842 \times 10^{6}


1
Écrivez le produit comme une puissance dʼun nombre.

a. 3×3×3×3×3×33 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3

b. 2×7×2×7×2×7×2×72 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7

c. (14)×(14)×(14)(-14) \times(-14) \times(-14)

d. π×π×π×π×π\pi \times \pi \times \pi \times \pi \times \pi



5
Lesquelles de ces expressions sont égales ?

Justifiez la réponse sans utiliser la calculatrice.

a. 21002^{100}

b. 1420×(2)60\dfrac{1}{4^{-20}} \times(-2)^{60}

c. 1002100^{2}

d. 54×245^{4} \times 2^{4}

e. (220)5\left(2^{20}\right)^{5}

f. 2002200^{2}

g. 50450^{4}

h. (2)99×2(-2)^{99} \times 2


Point de cours 3
Le logarithme décimal

Définition

Pour tout réel xx, si aa est un nombre quelconque, la solution de l’équation 10x=a10^x = a est le « logarithme de aa », noté log10(a)\log _{10}(a) ou plus simplement log(a).\log (a).

Propriété

log(10x)=x\log \left(10^{x}\right)=x , pour tout réel x.x.

Remarque
Autrement dit, le logarithme décimal « compte » les puissances de 10. Il donne un ordre de grandeur d’un nombre en termes de puissances de 10.

Propriété

Pour tous réels x>0x>0 et x>0x^{\prime}>0 :
  • log(x×x)=log(x)+log(x)\log \left(x \times x^{\prime}\right)=\log (x)+\log \left(x^{\prime}\right)
  • log(xx)=xx\log \left(\dfrac{x}{x^{\prime}}\right)=x-x^{\prime}

Propriété

  • si 0<x<10 \lt x \lt 1 alors log(x)\log (x) est négatif.
  • si xx est un nombre supérieur à 11, alors log(x)\log (x) est positif.

Exemples
  • log(1000)=3\log (1\,000)=3
  • La solution de 10x=1380010^{x}=13\,800 est x=log(13800)4,14.x=\log (13\,800) \approx 4\text{,}14.


11
Écrivez en notation scientifique les nombres suivants.

a. 232232

b. 75,775\text{,}7

c. 0,9580\text{,}958

d. 100000100000


4
Ces égalités sont-elles vraies ? Justifiez.

a. 63=33×236^{3}=3^{3} \times 2^{3}

b. 84=2×448^{4}=2 \times 4^{4}

c. 95=45+559^{5}=4^{5}+5^{5}

d. 108=((3+7)2)410^{8}=\left((3+7)^{2}\right)^{4}


12
Choisissez la bonne réponse.

Si un nombre est multiplié par 100, alors son log…

a. double.
b. est multiplié par 100.
c. augmente de 2.

3
Calculez en faisant attention aux priorités de calcul.

a. (5+3)4(5+3)^{4}

b. 54+345^{4}+3^{4}

c. (5+3)4(54+34)\dfrac{(5+3)^{4}}{\left(5^{4}+3^{4}\right)}

d. 5434+3454\dfrac{5^{4}}{3^{4}}+\dfrac{3^{4}}{5^{4}}

e. 5×345 \times 3^{4}

f. 54×345^{4} \times 3^{4}

g. (5×3)4(5 \times 3)^{4}



Point de cours 4
Racine carrée

Définition

Soit aa un nombre réel positif. La racine carrée de aa est l’unique nombre réel positif dont le carré est égal à aa :
pour tout a0a \geqslant 0, (a)2=a.(\sqrt{a})^{2}=a.

Propriété

Soit aa et bb des nombres réels positifs. On a alors :
  • ab=ab\sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}
  • si b0b \neq 0, on a : ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
  • si a0a \neq 0 et b0b \neq 0, a+b<a+b\sqrt{a+b} \lt \sqrt{a}+\sqrt{b}

Exemple
16+9=25=5\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 et 16+9=4+3=7\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7 et 5<7.5 \lt 7.

Propriété

Pour tout nombre réel aa, on a a2=a.\sqrt{a^{2}}=|a|.

2
Calculez les expressions suivantes.

a. 6310\dfrac{6^{3}}{10}

b. (10,7)3(1-0\text{,}7)^{3}

c. 20,732-0\text{,}7^{3}

d. 20,4+(2)420\text{,}4+(-2)^{4}

e. (8+2)4(8+2)^{4}

f. (610)3\left(\dfrac{6}{10}\right)^{3}

g. 150+(8+2)4150+(8+2)^{4}

h. 150+8+24150+8+2^{4}

i. 150(82)4150-(-8-2)^{4}


Point de cours 5
Racine n-ième

Propriété

L’équation xn=ax^{n}=a d’inconnue xx (où a0a \geq 0) a pour solution dans R+\mathbb{R}^{+}
x=anx=\sqrt[n]{a} (« racine n-ième » de aa) qui s’écrit également x=a1n.x=a^{\frac{1}{n}}.

Exemple
La solution de x3=6x^{3}=6 est le nombre x=631,82.x=\sqrt[3]{6} \approx 1\text{,}82.
En effet, on a 1,8236.1\text{,}82^{3} \approx 6.

Racine n-ième

25
Résolvez les équations suivantes.

a. (x2)3=116(x-2)^{3}=116

b. (2x+1)4+90=908(2 x+1)^{4}+90=908

c. (3x)3=0,001(3-x)^{3}=0\text{,}001


23
Démonstration.

Soit aa un nombre réel et nn un nombre entier naturel.
Démontrer que le nombre a1na^{\frac{1}{n}} est solution de l’équation xn=a.x^{n}=a.

10
Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants.

Justifier la réponse sans utiliser la calculatrice.

a. 8700000087\,000\,000

b. 0,000450\text{,}00045

c. 291×107291 \times 10^{-7}

d. 0,052×1050\text{,}052 \times 10^{5}

e. 89789×10989789 \times 10^{9}

f. 3000006×1063\,000\,006 \times 10^{-6}


18
Simplifications d’expressions.

Écrivez les expressions suivantes sous la forme a\sqrt{a} avec a>0.a > 0.

a. 7×6\sqrt{7} \times \sqrt{6}

b. 15÷5\sqrt{15} \div \sqrt{5}

c. 16+9\sqrt{16}+\sqrt{9}

d. 434 \sqrt{3}


9
Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants.

a. 207×5720^{7} \times 5^{7}

b. 2003×0,000522200^{3} \times 0\text{,}00052^{2}

c. 5×103×(2×102)35 \times 10^{3} \times\left(2 \times 10^{-2}\right)^{3}

d. 51×1035^{-1} \times 10^{3}

e. 28×1040,4×107\dfrac{28 \times 10^{4}}{0\text{,}4 \times 10^{7}}


7
Énergie et vitesse d’un objet.

L’énergie cinétique d’un objet est calculée par la moitié du produit de sa masse par le carré de sa vitesse.

Quelle est la vitesse d’un objet de masse 5 kg et dont l’énergie cinétique est 90 J (J = joule) ?

14
Calculez les logarithmes suivants.

a. log(0,1)\log (0\text{,}1)

b. log(0,0001)\log (0\text{,}000\,1)

c. log(109)\log \left(10^{-9}\right)


21
Résolvez mentalement les équations suivantes.

a. x2=16x^{2}=16

b. x5=32x^{5}=32

c. x4=10000x^{4}=10\,000

d. x3=27x^{3}=27


20
Déterminez le nombre nn tel que :

a. 3n=813^{n}=81

b. 2n=10242^{n}=1\,024

c. (32)n=11,390625\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}=11\text{,}390\,625


16
Sans calculatrice.

Effectuez les calculs suivants.

a. 4\sqrt{4}

b. (6)2\sqrt{(-6)^{2}}

c. 112\sqrt{11}^{2}

d. 54\sqrt{5^{4}}


Point de cours 1
Les puissances

Définition

Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois. Au lieu dʼécrire 2 ×\times 2 ×\times 2 ×\times 2 ×\times 2 ×\times 2 , on peut écrire 26 et on lit « 2 puissance 6 ».

Définition

Pour tout nombre aa non nul et tout entier positif nn, une puissance de aa à lʼexposant négatif n-n sʼécrit :
an=1an=1a×a××an fois a a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}=\dfrac{1}{\dfrac{a \times a \times \ldots \times a}{n \text { fois } a}}

Exemples

154=54\dfrac{1}{5^{4}}=5^{-4} et 73=1737^{3}=\dfrac{1}{7^{-3}}

Remarque 1
Quelle que soit la valeur de aa, a0=1.a^{0}=1.
Remarque 2
ana^{-n} est l’inverse de an.a^{n}.

Propriété

Si mm et nn sont des entiers et bb, un nombre non nul
am×an=am+na^{m} \times a^{n}=a^{m+n}
anbn=(ab)n\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}

Propriété

Si nn est un entier et bb un nombre non nul
an×bn=(a×b)na^{n} \times b^{n}=(a \times b)^{n}
anbn=(ab)n\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}

Remarque 3
Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

Exemple
23×32=8×9=722^{3} \times 3^{2}=8 \times 9=72

13
Calculez les logarithmes suivants.

a. log(100)\log (100)

b. log(100000)\log (100\,000)

c. log(107)\log \left(10^{7}\right)

Connectez-vous pour ajouter des favoris

Pour pouvoir ajouter ou retrouver des favoris, nous devons les lier à votre compte.Et c’est gratuit !

Livre du professeur

Pour pouvoir consulter le livre du professeur, vous devez être connecté avec un compte professeur et avoir validé votre adresse email académique.

Votre avis nous intéresse !
Recommanderiez-vous notre site web à un(e) collègue ?

Peu probable
Très probable

Cliquez sur le score que vous voulez donner.

Dites-nous qui vous êtes !

Pour assurer la meilleure qualité de service, nous avons besoin de vous connaître !
Cliquez sur l'un des choix ci-dessus qui vous correspond le mieux.

Nous envoyer un message




Nous contacter?