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Puissances et racines
P.272-275

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LIVRET MATHS



3
Puissances et racines





Point de cours 1
Les puissances

Définition

Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois. Au lieu dʼécrire 2 ×\times 2 ×\times 2 ×\times 2 ×\times 2 ×\times 2 , on peut écrire 26 et on lit « 2 puissance 6 ».

Définition

Pour tout nombre aa non nul et tout entier positif nn, une puissance de aa à lʼexposant négatif n-n sʼécrit :
an=1an=1a×a××an fois a a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}=\dfrac{1}{\dfrac{a \times a \times \ldots \times a}{n \text { fois } a}}

Exemples

154=54\dfrac{1}{5^{4}}=5^{-4} et 73=1737^{3}=\dfrac{1}{7^{-3}}

Remarque 1
Quelle que soit la valeur de aa, a0=1.a^{0}=1.
Remarque 2
ana^{-n} est l’inverse de an.a^{n}.

Propriété

Si mm et nn sont des entiers et bb, un nombre non nul
am×an=am+na^{m} \times a^{n}=a^{m+n}
anbn=(ab)n\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}

Propriété

Si nn est un entier et bb un nombre non nul
an×bn=(a×b)na^{n} \times b^{n}=(a \times b)^{n}
anbn=(ab)n\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}

Remarque 3
Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

Exemple
23×32=8×9=722^{3} \times 3^{2}=8 \times 9=72

1
Écrivez le produit comme une puissance dʼun nombre.

a. 3×3×3×3×3×33 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3

b. 2×7×2×7×2×7×2×72 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7

c. (14)×(14)×(14)(-14) \times(-14) \times(-14)

d. π×π×π×π×π\pi \times \pi \times \pi \times \pi \times \pi

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2
Calculez les expressions suivantes.

a. 6310\dfrac{6^{3}}{10}

b. (10,7)3(1-0\text{,}7)^{3}

c. 20,732-0\text{,}7^{3}

d. 20,4+(2)420\text{,}4+(-2)^{4}

e. (8+2)4(8+2)^{4}

f. (610)3\left(\dfrac{6}{10}\right)^{3}

g. 150+(8+2)4150+(8+2)^{4}

h. 150+8+24150+8+2^{4}

i. 150(82)4150-(-8-2)^{4}

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3
Calculez en faisant attention aux priorités de calcul.

a. (5+3)4(5+3)^{4}

b. 54+345^{4}+3^{4}

c. (5+3)4(54+34)\dfrac{(5+3)^{4}}{\left(5^{4}+3^{4}\right)}

d. 5434+3454\dfrac{5^{4}}{3^{4}}+\dfrac{3^{4}}{5^{4}}

e. 5×345 \times 3^{4}

f. 54×345^{4} \times 3^{4}

g. (5×3)4(5 \times 3)^{4}

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4
Ces égalités sont-elles vraies ? Justifiez.

a. 63=33×236^{3}=3^{3} \times 2^{3}

b. 84=2×448^{4}=2 \times 4^{4}

c. 95=45+559^{5}=4^{5}+5^{5}

d. 108=((3+7)2)410^{8}=\left((3+7)^{2}\right)^{4}

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5
Lesquelles de ces expressions sont égales ?

Justifiez la réponse sans utiliser la calculatrice.

a. 21002^{100}

b. 1420×(2)60\dfrac{1}{4^{-20}} \times(-2)^{60}

c. 1002100^{2}

d. 54×245^{4} \times 2^{4}

e. (220)5\left(2^{20}\right)^{5}

f. 2002200^{2}

g. 50450^{4}

h. (2)99×2(-2)^{99} \times 2

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6
Effectuez les opérations suivantes sans calculatrice.

a. 1+321+3^{2}

b. 2×532 \times 5^{3}

c. (2×5)3(2 \times 5)^{3}

d. 21+522^{-1}+5^{-2}

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7
Énergie et vitesse d’un objet.

L’énergie cinétique d’un objet est calculée par la moitié du produit de sa masse par le carré de sa vitesse.

Quelle est la vitesse d’un objet de masse 5 kg et dont l’énergie cinétique est 90 J (J = joule) ?
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Point de cours 2
Puissances de 10

Définition

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme :
a×10na \times 10^{n} avec aa un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10 et nn un nombre relatif.

Exemples
4,218×1034\text{,}218 \times 10^{3} est l’écriture scientifique de 4218.4\,218.

5,21×1085\text{,}21 \times 10^{-8} est l’écriture scientifique de 0,0000000521.0\text{,}0000000521.

8
Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants.

a. 437850000000437\,850\,000\,000

b. 0,000004160\text{,}00000416

c. 1593,281593\text{,}28

d. 0,000000001810\text{,}00000000181

e. 17,4×10917\text{,}4 \times 10^{9}

f. 9,8×100119\text{,}8 \times 100^{11}

g. 56,75321956\text{,}753219

h. 0,67842×1060\text{,}67842 \times 10^{6}

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9
Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants.

a. 207×5720^{7} \times 5^{7}

b. 2003×0,000522200^{3} \times 0\text{,}00052^{2}

c. 5×103×(2×102)35 \times 10^{3} \times\left(2 \times 10^{-2}\right)^{3}

d. 51×1035^{-1} \times 10^{3}

e. 28×1040,4×107\dfrac{28 \times 10^{4}}{0\text{,}4 \times 10^{7}}

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10
Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants.

Justifier la réponse sans utiliser la calculatrice.

a. 8700000087\,000\,000

b. 0,000450\text{,}00045

c. 291×107291 \times 10^{-7}

d. 0,052×1050\text{,}052 \times 10^{5}

e. 89789×10989789 \times 10^{9}

f. 3000006×1063\,000\,006 \times 10^{-6}

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11
Écrivez en notation scientifique les nombres suivants.

a. 232232

b. 75,775\text{,}7

c. 0,9580\text{,}958

d. 100000100000

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Point de cours 3
Le logarithme décimal

Définition

Pour tout réel xx, si aa est un nombre quelconque, la solution de l’équation 10x=a10^x = a est le « logarithme de aa », noté log10(a)\log _{10}(a) ou plus simplement log(a).\log (a).

Propriété

log(10x)=x\log \left(10^{x}\right)=x , pour tout réel x.x.

Remarque
Autrement dit, le logarithme décimal « compte » les puissances de 10. Il donne un ordre de grandeur d’un nombre en termes de puissances de 10.

Propriété

Pour tous réels x>0x>0 et x>0x^{\prime}>0 :
  • log(x×x)=log(x)+log(x)\log \left(x \times x^{\prime}\right)=\log (x)+\log \left(x^{\prime}\right)
  • log(xx)=xx\log \left(\dfrac{x}{x^{\prime}}\right)=x-x^{\prime}

Propriété

  • si 0<x<10 \lt x \lt 1 alors log(x)\log (x) est négatif.
  • si xx est un nombre supérieur à 11, alors log(x)\log (x) est positif.

Exemples
  • log(1000)=3\log (1\,000)=3
  • La solution de 10x=1380010^{x}=13\,800 est x=log(13800)4,14.x=\log (13\,800) \approx 4\text{,}14.

12
Choisissez la bonne réponse.

Si un nombre est multiplié par 100, alors son log…

a. double.
b. est multiplié par 100.
c. augmente de 2.
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13
Calculez les logarithmes suivants.

a. log(100)\log (100)

b. log(100000)\log (100\,000)

c. log(107)\log \left(10^{7}\right)

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14
Calculez les logarithmes suivants.

a. log(0,1)\log (0\text{,}1)

b. log(0,0001)\log (0\text{,}000\,1)

c. log(109)\log \left(10^{-9}\right)

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15
Résolvez les équations suivantes et donnez une valeur approchée du résultat.

a. 10x=534110^{x}=5\,341

b. 10x=0,00008410^{x}=0\text{,}000\,084

c. 102x+1=6791040010^{2 x+1}=67\,910\,400

d. 103x=0,00004810^{-3 x}=0\text{,}000\,048

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Point de cours 4
Racine carrée

Définition

Soit aa un nombre réel positif. La racine carrée de aa est l’unique nombre réel positif dont le carré est égal à aa :
pour tout a0a \geqslant 0, (a)2=a.(\sqrt{a})^{2}=a.

Propriété

Soit aa et bb des nombres réels positifs. On a alors :
  • ab=ab\sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}
  • si b0b \neq 0, on a : ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
  • si a0a \neq 0 et b0b \neq 0, a+b<a+b\sqrt{a+b} \lt \sqrt{a}+\sqrt{b}

Exemple
16+9=25=5\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 et 16+9=4+3=7\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7 et 5<7.5 \lt 7.

Propriété

Pour tout nombre réel aa, on a a2=a.\sqrt{a^{2}}=|a|.

16
Sans calculatrice.

Effectuez les calculs suivants.

a. 4\sqrt{4}

b. (6)2\sqrt{(-6)^{2}}

c. 112\sqrt{11}^{2}

d. 54\sqrt{5^{4}}

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17
Quelques fractions.

Écrivez les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur.

a. 232\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

b. 2573\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}

c. 1+231+2\dfrac{1+2 \sqrt{3}}{1+\sqrt{2}}

d. 522+π+1\dfrac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{\pi+1}}

e. 2356\dfrac{2-3 \sqrt{5}}{\sqrt{6}}

f. 1+5232\dfrac{1+5 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}

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18
Simplifications d’expressions.

Écrivez les expressions suivantes sous la forme a\sqrt{a} avec a>0.a > 0.

a. 7×6\sqrt{7} \times \sqrt{6}

b. 15÷5\sqrt{15} \div \sqrt{5}

c. 16+9\sqrt{16}+\sqrt{9}

d. 434 \sqrt{3}

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19
Simplifications d’expressions.

Écrivez sous la forme aba \sqrt{b} avec aa et bb des nombres entiers strictement positifs, bb étant le plus petit possible.

a. 50\sqrt{50}

b. 200\sqrt{200}

c. 147\sqrt{147}

d. 54\sqrt{54}

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Point de cours 5
Racine n-ième

Propriété

L’équation xn=ax^{n}=a d’inconnue xx (où a0a \geq 0) a pour solution dans R+\mathbb{R}^{+}
x=anx=\sqrt[n]{a} (« racine n-ième » de aa) qui s’écrit également x=a1n.x=a^{\dfrac{1}{n}}.

Exemple
La solution de x3=6x^{3}=6 est le nombre x=631,82.x=\sqrt[3]{6} \approx 1\text{,}82.
En effet, on a 1,8236.1\text{,}82^{3} \approx 6.

Racine n-ième

20
Déterminez le nombre nn tel que :

a. 3n=813^{n}=81

b. 2n=10242^{n}=1\,024

c. (32)n=11,390625\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n}=11\text{,}390\,625

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21
Résolvez mentalement les équations suivantes.

a. x2=16x^{2}=16

b. x5=32x^{5}=32

c. x4=10000x^{4}=10\,000

d. x3=27x^{3}=27

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22
Résolvez à la calculatrice les équations suivantes en utilisant la touche n\sqrt[n]{ }.

a. x6=240x^{6}=240

b. x5=125,6x^{5}=125\text{,}6

c. x10=807x^{10}=807

d. x5=114x^{5}=114

e. x3=35,6x^{3}=35\text{,}6

f. x8=32768x^{8}=32\,768

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23
Démonstration.

Soit aa un nombre réel et nn un nombre entier naturel.
Démontrer que le nombre a1na^{\dfrac{1}{n}} est solution de l’équation xn=a.x^{n}=a.
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24
Résolvez les équations suivantes.

a. x3+108,6=651,8x^{3}+108\text{,}6=651\text{,}8

b. 316x761x3=700\dfrac{316 x^{7}}{61 x^{3}}=700

c. (100071)x6=41x2(1000-71) x^{6}=41 x^{2}

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25
Résolvez les équations suivantes.

a. (x2)3=116(x-2)^{3}=116

b. (2x+1)4+90=908(2 x+1)^{4}+90=908

c. (3x)3=0,001(3-x)^{3}=0\text{,}001

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