Puissances et racines

Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois. Au lieu dʼécrire 2 $\times$ 2 $\times$ 2 $\times$ 2 $\times$ 2 $\times$ 2 , on peut écrire 26 et on lit « 2 puissance 6 ».

Pour tout nombre $a$ non nul et tout entier positif $n$, une puissance de $a$ à lʼexposant négatif $-n$ sʼécrit :
$a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{\frac{a\times a\times \dots \times a}{n\text{ fois }a}}$

Si $m$ et $n$ sont des entiers et $b$, un nombre non nul
$a^m\times a^n=a^{m+n}$
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

Si $n$ est un entier et $b$ un nombre non nul
$a^n\times b^n=(a\times b{)}^n$
$\frac{a^n}{b^n}={\left(\frac{a}{b}\right)}^n$

$2^3\times 3^2=8\times 9=72$

Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

6

Effectuez les opérations suivantes sans calculatrice.

Pour tout réel $x$, si $a$ est un nombre quelconque, la solution de l'équation $10^x=a$ est le « logarithme de $a$ », noté ${\log }_{10}(a)$ ou plus simplement $\log (a).$

$\log \left(10^x\right)=x$ , pour tout réel $x.$

• si $0<x<1$ alors $\log (x)$ est négatif.
• si $x$ est un nombre supérieur à $1$, alors $\log (x)$ est positif.

a. $\log (100)$

b. $\log (100000)$

c. $\log \left(10^7\right)$

a. $\log (0\text{,}1)$

b. $\log (0\text{,}0001)$

c. $\log \left(10^{-9}\right)$

Soit $a$ un nombre réel positif. La racine carrée de $a$ est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à $a$ :
pour tout $a⩾0$, $(\sqrt{a}{)}^2=a.$

Soit $a$ et $b$ des nombres réels positifs. On a alors :

• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
• si $b\ne 0$, on a : $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
• si $a\ne 0$ et $b\ne 0$, $\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$