LIVRET MATHS



3
Puissances et racines






15
Résolvez les équations suivantes et donnez une valeur approchée du résultat.

a. 10x=534110^{x}=5\,341

b. 10x=0,00008410^{x}=0\text{,}000\,084

c. 102x+1=6791040010^{2 x+1}=67\,910\,400

d. 103x=0,00004810^{-3 x}=0\text{,}000\,048


24
Résolvez les équations suivantes.

a. x3+108,6=651,8x^{3}+108\text{,}6=651\text{,}8

b. 316x761x3=700\dfrac{316 x^{7}}{61 x^{3}}=700

c. (100071)x6=41x2(1000-71) x^{6}=41 x^{2}


6
Effectuez les opérations suivantes sans calculatrice.

a. 1+321+3^{2}

b. 2×532 \times 5^{3}

c. (2×5)3(2 \times 5)^{3}

d. 21+522^{-1}+5^{-2}


19
Simplifications d’expressions.

Écrivez sous la forme aba \sqrt{b} avec aa et bb des nombres entiers strictement positifs, bb étant le plus petit possible.

a. 50\sqrt{50}

b. 200\sqrt{200}

c. 147\sqrt{147}

d. 54\sqrt{54}


22
Résolvez à la calculatrice les équations suivantes en utilisant la touche n\sqrt[n]{ }.

a. x6=240x^{6}=240

b. x5=125,6x^{5}=125\text{,}6

c. x10=807x^{10}=807

d. x5=114x^{5}=114

e. x3=35,6x^{3}=35\text{,}6

f. x8=32768x^{8}=32\,768


17
Quelques fractions.

Écrivez les expressions suivantes sans racine carrée au dénominateur.

a. 232\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

b. 2573\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}

c. 1+231+2\dfrac{1+2 \sqrt{3}}{1+\sqrt{2}}

d. 522+π+1\dfrac{5-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{\pi+1}}

e. 2356\dfrac{2-3 \sqrt{5}}{\sqrt{6}}

f. 1+5232\dfrac{1+5 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}}


Point de cours 2
Puissances de 10

Définition

Un nombre est écrit en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme :
a×10na \times 10^{n} avec aa un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10 et nn un nombre relatif.

Exemples
4,218×1034\text{,}218 \times 10^{3} est l’écriture scientifique de 4218.4\,218.

5,21×1085\text{,}21 \times 10^{-8} est l’écriture scientifique de 0,0000000521.0\text{,}0000000521.

8
Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants.

a. 437850000000437\,850\,000\,000

b. 0,000004160\text{,}00000416

c. 1593,281593\text{,}28

d. 0,000000001810\text{,}00000000181

e. 17,4×10917\text{,}4 \times 10^{9}

f. 9,8×100119\text{,}8 \times 100^{11}

g. 56,75321956\text{,}753219

h. 0,67842×1060\text{,}67842 \times 10^{6}


1
Écrivez le produit comme une puissance dʼun nombre.

a. 3×3×3×3×3×33 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3

b. 2×7×2×7×2×7×2×72 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7 \times 2 \times 7

c. (14)×(14)×(14)(-14) \times(-14) \times(-14)

d. π×π×π×π×π\pi \times \pi \times \pi \times \pi \times \pi



5
Lesquelles de ces expressions sont égales ?

Justifiez la réponse sans utiliser la calculatrice.

a. 21002^{100}

b. 1420×(2)60\dfrac{1}{4^{-20}} \times(-2)^{60}

c. 1002100^{2}

d. 54×245^{4} \times 2^{4}

e. (220)5\left(2^{20}\right)^{5}

f. 2002200^{2}

g. 50450^{4}

h. (2)99×2(-2)^{99} \times 2


Point de cours 3
Le logarithme décimal

Définition

Pour tout réel xx, si aa est un nombre quelconque, la solution de l’équation 10x=a10^x = a est le « logarithme de aa », noté log10(a)\log _{10}(a) ou plus simplement log(a).\log (a).

Propriété

log(10x)=x\log \left(10^{x}\right)=x , pour tout réel x.x.

Remarque
Autrement dit, le logarithme décimal « compte » les puissances de 10. Il donne un ordre de grandeur d’un nombre en termes de puissances de 10.

Propriété

Pour tous réels x>0x>0 et x>0x^{\prime}>0 :
  • log(x×x)=log(x)+log(x)\log \left(x \times x^{\prime}\right)=\log (x)+\log \left(x^{\prime}\right)
  • log(xx)=xx\log \left(\dfrac{x}{x^{\prime}}\right)=x-x^{\prime}

Propriété

  • si 0<x<10 \lt x \lt 1 alors log(x)\log (x) est négatif.
  • si xx est un nombre supérieur à 11, alors log(x)\log (x) est positif.

Exemples
  • log(1000)=3\log (1\,000)=3
  • La solution de 10x=1380010^{x}=13\,800 est x=log(13800)4,14.x=\log (13\,800) \approx 4\text{,}14.


11
Écrivez en notation scientifique les nombres suivants.

a. 232232

b. 75,775\text{,}7

c. 0,9580\text{,}958

d. 100000100000


4
Ces égalités sont-elles vraies ? Justifiez.

a. 63=33×236^{3}=3^{3} \times 2^{3}

b. 84=2×448^{4}=2 \times 4^{4}

c. 95=45+559^{5}=4^{5}+5^{5}

d. 108=((3+7)2)410^{8}=\left((3+7)^{2}\right)^{4}


12
Choisissez la bonne réponse.

Si un nombre est multiplié par 100, alors son log…

a. double.
b. est multiplié par 100.
c. augmente de 2.

3
Calculez en faisant attention aux priorités de calcul.

a. (5+3)4(5+3)^{4}

b. 54+345^{4}+3^{4}

c. (5+3)4(54+34)\dfrac{(5+3)^{4}}{\left(5^{4}+3^{4}\right)}

d. 5434+3454\dfrac{5^{4}}{3^{4}}+\dfrac{3^{4}}{5^{4}}

e. 5×345 \times 3^{4}

f. 54×345^{4} \times 3^{4}

g. (5×3)4(5 \times 3)^{4}



Point de cours 4
Racine carrée

Définition

Soit aa un nombre réel positif. La racine carrée de aa est l’unique nombre réel positif dont le carré est égal à aa :
pour tout a0a \geqslant 0, (a)2=a.(\sqrt{a})^{2}=a.

Propriété

Soit aa et bb des nombres réels positifs. On a alors :
  • ab=ab\sqrt{a b}=\sqrt{a} \sqrt{b}
  • si b0b \neq 0, on a : ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
  • si a0a \neq 0 et b0b \neq 0, a+b<a+b\sqrt{a+b} \lt \sqrt{a}+\sqrt{b}

Exemple
16+9=25=5\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 et 16+9=4+3=7\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7 et 5<7.5 \lt 7.

Propriété

Pour tout nombre réel aa, on a a2=a.\sqrt{a^{2}}=|a|.

2
Calculez les expressions suivantes.

a. 6310\dfrac{6^{3}}{10}

b. (10,7)3(1-0\text{,}7)^{3}

c. 20,732-0\text{,}7^{3}

d. 20,4+(2)420\text{,}4+(-2)^{4}

e. (8+2)4(8+2)^{4}

f. (610)3\left(\dfrac{6}{10}\right)^{3}

g. 150+(8+2)4150+(8+2)^{4}

h. 150+8+24150+8+2^{4}

i. 150(82)4150-(-8-2)^{4}


Point de cours 5
Racine n-ième

Propriété

L’équation xn=ax^{n}=a d’inconnue xx (où a0a \geq 0) a pour solution dans R+\mathbb{R}^{+}
x=anx=\sqrt[n]{a} (« racine n-ième » de aa) qui s’écrit également x=a1n.x=a^{\frac{1}{n}}.

Exemple
La solution de x3=6x^{3}=6 est le nombre x=631,82.x=\sqrt[3]{6} \approx 1\text{,}82.
En effet, on a 1,8236.1\text{,}82^{3} \approx 6.

Racine n-ième

25
Résolvez les équations suivantes.

a. (x2)3=116(x-2)^{3}=116

b. (2x+1)4+90=908(2 x+1)^{4}+90=908

c. (3x)3=0,001(3-x)^{3}=0\text{,}001


23
Démonstration.

Soit aa un nombre réel et nn un nombre entier naturel.
Démontrer que le nombre a1na^{\frac{1}{n}} est solution de l’équation xn=a.x^{n}=a.

10
Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants.

Justifier la réponse sans utiliser la calculatrice.

a. 8700000087\,000\,000

b. 0,000450\text{,}00045

c. 291×107291 \times 10^{-7}

d. 0,052×1050\text{,}052 \times 10^{5}

e. 89789×10989789 \times 10^{9}

f. 3000006×1063\,000\,006 \times 10^{-6}


18
Simplifications d’expressions.

Écrivez les expressions suivantes sous la forme a\sqrt{a} avec a>0.a > 0.

a. 7×6\sqrt{7} \times \sqrt{6}

b. 15÷5\sqrt{15} \div \sqrt{5}

c. 16+9\sqrt{16}+\sqrt{9}