Enseignement scientifique 1re

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Graphiques
P.269-271
LIVRET MATHS



2
Graphiques





Point de cours 1
Lecture et construction

Définition

Définir une fonction ff sur un ensemble de réels D\text{D} consiste à associer à chaque réel xDx \in \text{D} un unique réel y.y.
Pour signifier que yy est le réel associé à xx par la fonction ff, on note : y=f(x).y=f(x).
On note cette correspondance :
f:DRxf(x)\begin{aligned} f : \text{D} & \rightarrow \quad \mathbb{R} \\ x & \mapsto f(x) \end{aligned}

Définition

Il y a plusieurs modes de définition d’une fonction ff permettant d’associer à un réel xx de l’ensemble de définition D\text{D}, son image y.y. Par exemple, avec une courbe : la courbe représentative d’une fonction ff est l’ensemble des points A(x  ;  y)\mathrm{A}(x\;;\; y), tels que y=f(x).y=f(x).

Lecture et construction

1
Lecture d’un graphique.

ff est la fonction dont la représentation graphique est la suivante.

Lecture d’un graphique

a. Complétez le tableau de valeurs suivant par lecture graphique.

xx

- 4

- 1,5

0

f(x)f(x)

3

0

- 1


b. Complétez les phrases suivantes.
  • 0 est l' de - 1 par f.f.
  • 3 est lʼ de par f.f.
  • 2 semble avoir antécédents par f.f.
  • - 4 est un de 2 par f.f.

2
Exploitez une courbe représentative.

On a représenté une fonction ff en fonction de t.t.

Exploitez une courbe représentative

Estimez :
a. ff(2) ;

b. l’image de 3 par ff ;

c. par combien on multiplie ff(3) pour obtenir ff(4).


3
Lecture d’antécédents.

On a représenté une fonction ff en fonction de t.t.

Lecture d’antécédents

Estimez :
a. le nombre qui a pour image 30 ;

b. l’antécédent de 10 ;

4
Exploiter une courbe représentative.

On a représenté une fonction ff en fonction de x.x.

Exploiter une courbe représentative

Estimez :
a. l’image de 0 ;

b. l’antécédent de 30 ;

c. la solution de f(t)=f(t)= 15 ;

d. tt tel que f(t)=f(t)= 2 ×f\times f(2).


5
Demi-vie.

On a représenté une masse de matière (en g) en fonction du temps (en milliers d’années).

Demi-vie

Estimez :
a. la quantité initiale de matière ;

b. au bout de combien d’années reste-t-il 50 g de matière ?

c. en combien de temps la quantité de matière passe de 40 g à 20 g.


6
Carbone 14.

On a représenté la proportion d’atomes de carbone 14 dans un extrait de matière, en fonction du temps tt en années.

Carbone 14.

Estimez :
a. la proportion initiale d’atomes de carbone 14 ;

b. la durée au bout de laquelle la proportion de carbone 14 aura diminué de moitié ;

c. la durée au bout de laquelle cette proportion aura de nouveau diminué de moitié.


7
Lecture d’une amplitude.

La courbe suivante représente une amplitude en fonction du temps tt en secondes.

Lecture d’une amplitude.

a. Combien vaut l’amplitude au bout de 4 secondes ?

b. Pour quelle(s) valeur(s) de tt l’amplitude est-elle maximale ? Minimale ?


8
Lecture d’une période.

La courbe suivante représente une amplitude en fonction du temps tt en secondes.

Lecture d’une période

Quelle est la durée en secondes séparant deux points de la courbe de même amplitude ?


9
Tracer une courbe.

En vous aidant de la calculatrice, tracez la fonction f(t)=5×sin(2t+100)f(t)=5 \times \sin (2 t+100) dans un repère à l’échelle adaptée. La calculatrice étant configurée en degrés.

10
Tracer une courbe.

Pour chacune des fonctions suivantes.
  • f:x0,25xf : x \mapsto 0\text{,}25 x
  • g:x45x15g : x \mapsto \dfrac{4}{5} x-\dfrac{1}{5}
  • h:x2x21h : x \mapsto 2 x^{2}-1
  • p:xx23x+4p : x \mapsto x^{2}-3 x+4

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a. Complétez le tableau suivant.

xx

3- 3

2- 2

1- 1

00

11

22 33 44
f(x)f(x)
g(x)g(x)
h(x)h(x)
p(x)p(x)


b. Tracez une représentation graphique de la fonction.
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c. Dans quels cas auriez-vous pu la tracer avec moins de points ?



Point de cours 2
Calcul de coefficient directeur

Définition

  • Une fonction ff est dite affine s'il existe deux nombres mm et pp tel que pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=mx+p.f(x)=m x+p.
  • Les nombres mm et pp sont respectivement appelés le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de f.f.
  • Soit ff, une fonction affine définie pour tout xRx \in \mathbb{R} par f(x)=mx+p.f(x)=m x+p. Pour représenter ff, il suffit de placer deux points A(xA;yA)\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\,;\, y_{\mathrm{A}}\right) et B(xB;yB)\mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\,;\, y_{\mathrm{B}}\right) avec yA=mxA+py_{\mathrm{A}}=m x_{\mathrm{A}}+p et yB=mxB+p.y_{\mathrm{B}}=m x_{\mathrm{B}}+p.

Exemples
f(x)=34x+5f(x)=-\dfrac{3}{4} x+5

xx

0

4

f(x)f(x)

5

2



Le point d’intersection de l’axe des ordonnées et de la droite est le point de coordonnées (0 ; 5) d’où p=p = 5. Depuis ce point, on se décale de 4 unités vers la droite, puis on descend de 3 unités pour retrouver la droite : d’où m=34.m=\dfrac{-3}{4}.

Calcul de coefficient directeur

11
Fonctions affines.

Déterminez le coefficient directeur et lʼordonnée à lʼorigine de ces droites.


Fonctions affines

12
Identifier une droite.

Soit f:x3x+52f : x \mapsto-3 x+\dfrac{5}{2} et g:x14x+4.g : x \mapsto \dfrac{1}{4} x+4.
Identifiez les droites représentatives de ff et de gg parmi ces droites.


Fonctions affines

13
Coefficients directeurs.

Dans chaque cas, déterminez le coefficient directeur de la droite (AB).(\mathrm{AB}).

a. A(1;1)\mathrm{A}(1\,;\,1) et B(5;0).\mathrm{B}(-5\,;\, 0).


b. A(0,5;3)\mathrm{A}(-0\text{,}5\,;\,3) et B(0,5;2).\mathrm{B}(0\text{,}5\,;\, -2).


c. A(23;14)\text{A}\left(-\dfrac{2}{3}\,;\, \dfrac{1}{4}\right) et B(13;1,25)\mathrm{B}\left(\dfrac{1}{3}\, ;\, 1\text{,}25\right)



14
Équations de droites.

Associez à chaque équation la droite correspondante.

a. y=x2y=x-2

b. y=2xy=2-x

c. y=x+2y=x+2


Équations de
droites

15
Paramètres d’une fonction affine.

Les croix bleues appartiennent à une droite d’équation y=mx+p.y = mx + p.

Paramètres d’une fonction affine

a. Avec les indications de la figure, proposez des calculs pour déterminer m.m.

b. Quelle est l’ordonnée du point d’abscisse 5 ?

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